初中数学北师大版八年级下册第四章第三节 公式法 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·泰安期中）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．4x2+y2 B．-4x2-y2 C．-4x2+y2 D．-4x+y2
2．（2021·兰州）因式分解： （ ）
A． B．
C． D．
3．（2021七下·吴兴期末）下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八下·武侯期末）若a，b，c分别是 ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（2021八上·陵城月考）a4b－6a3b+9a2b分解因式的正确结果是（ ）
A．a b（a －6a+9） B．a b（a+3）（a－3）
C．b（a －3） D．a b（a－3）
6．（2021八上·德阳月考）若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2-2ab+b2+ac-bc =0，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．（2021八上·莱州期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
8．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八下·修水期末）分解因式：7a2﹣63＝
10．（2021八上·泰安期中）4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为
11．（2021八下·武侯期末）已知x+y＝2，则 （x2+2xy+y2）的值为 .
12．（2021八上·九台期末）下列因式分解正确的是 （填序号）
①；②；③；④
13．（2021七上·杨浦期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．
请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ．
14．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
15．（2021八上·静安月考）在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ ，3x2﹣5x+2＝ ．
16．（2019七上·静安期中）观察下列各式：
(x 1)(x+1)=x 1
(x 1)(x +x+1)=x 1
(x 1)(x +x +x+1)=x 1…
根据以上规律， 求1+2+2 +…+ .
三、计算题
17．（2021八上·襄汾期末）因式分解
（1）
（2）
18．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
19．（2019八上·泰安期中）利用因式分解进行计算
（1）
（2）
四、解答题
20．（2021八上·东平月考）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）（a2+4）2﹣16a2
21．（2021八上·泰安期中）第一环节：自主阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2+2x-4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y)
……分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法。
第二环节：利用这种方法解决下列问题。
因式分解：x2y-4y-2x2+8．
第三环节：拓展运用。
已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．
22．（2021八上·沈丘期末）如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
五、综合题
23．先阅读，再解答下列问题.
已知（a2+b2）-8（a2+b2）2+16=0，求a2+b2的值.
错解：设（a2+b2）2=m，
则原式可化为m2-8m+16=0，
即（m-4）2=0，解得m=4.
由（a2+b2）2=4，得a2+b2=±2
（1）上述解答过程错在哪里？为什么？
（2）请你用上述方法分解因式：（a+b）2-14（a+b）+49
24．（2021七下·杭州开学考）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式： .
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
25．（2021九上·隆昌期中）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式.
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式.
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式.
（3）若a、b、c分别是 ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 ABC的形状，并说明理由.
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、多项式4x2+y2，不符合平方差公式的结构特征，故A不符合题意；
B、多项式-4x2-y2，不符合平方差公式的结构特征，故B不符合题意；
C：-4x2+y2=（y-2x）（y+2x）， 能用平方差公式分解因式，故C符合题意；
D、-4x+y2，不符合平方差公式的结构特征，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】观察可知：多项式中的各项含有公因式x，提公因式后的多项式符合平方差公式特征，然后再根据平方差公式分解即可.
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：16a2+8a+1=（4a+1）2，故选项A符合题意；
B、a2-3a+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项B错误；
C、4a2+4a-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项C错误；
D、a2-8a-169不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式法分解因式的式子特点：a2±2ab+b2=（a±b）2，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2-2ab+b2=0，
∴（a-b）2=0，则a-b=0，
∴a=b，
∵b2-c2=0，即（b+c）（b-c）=0，
∴b=c或b=-c，
∵三角形的边为正数，
∴b=c=a，即△ABC是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式由a2-2ab+b2=0，可得到a=b；再利用平方差公式可证得b=c或b=-c，由此可推出a=b=c，可判断出△ABC的形状.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】a4b-6a3b+9a2b=a2b（a2-6a+9）=a2b（a-3）2．
故答案为：D．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ a2-2ab+b2+ac-bc=0，
∴（a-b）2+c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-b+c）=0，
∵a-b+c≠0，
∴a=b，
∴ 这个三角形是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（a-b）（a-b+c）=0，根据三角形三边关系得出a-b+c≠0，得出a=b，即可得出这个三角形是等腰三角形.
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
9．【答案】7（a﹣3）（a+3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：7a2﹣63，
＝7（a2﹣9），
＝7（a﹣3）（a+3）．
故答案为：7（a﹣3）（a+3）．
【分析】先提取公因式7，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】5或﹣3
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵4x2-（k-1）x+1是完全平方式，
∴k-1=±4，
∴k=5或-3.
【分析】根据完全平方式的结构特征，得出k-1=±4，即可得出k的值.
11．【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=2，
∴ （x2+2xy+y2）= （x+y）2= ×22=2，
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为 （x+y）2，再整体代入求值.
12．【答案】①④
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①，符合题意；
②，计算不符合题意；
③，计算不符合题意；
④，符合题意；
故答案为：①④．
【分析】①提取公因式x，再判断；②利用完全平方公式分解即可；③利用平方差公式分解，再判断；④利用完全平方公式分解，再判断.
13．【答案】
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】﹣64x3＋y3
故答案为：
【分析】利用材料中所给的立方差公式进行因式分解即可。
14．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
15．【答案】；（3x-2）（x-1）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x2-3= x2- ；
3x2-5x+2=（3x-2）（x-1）．
故答案为： ；（3x-2）（x-1）．
【分析】利用平方差公式及十字相乘法分解因式即可。
16．【答案】22018-1
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：1+2+2 +…+22016+22017
=（2-1）(1+2+2 +…+ 22016+22017 )
=22018-1
故答案为：22018-1
【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
18．【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=3+7+11+15+19
=55
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)原式中每一项均符合平方差公式的形式，故应用平方差公式展开，将原式变形为 ，约分即可得到最终结果；（2）将原式分组变形为式 ，则能够运用平方差公式进行简便计算．
20．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）将当作整体，利用完全平方公式因式分解得到，再利用完全平方公式因式分解即可；
（3）提取公因式-2m即可得到答案；
（4）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
21．【答案】解：第二环节：x2y﹣4y﹣2x2+8
＝（x2y﹣4y）﹣（2x2﹣8）
＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x+2）（x﹣2）
b2+2ab＝c2+2ac，
第三环节：
b2﹣c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（b+c）（b﹣c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，
即b＝c，
所以，△ABC是等腰三角形
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；等腰三角形的判定；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】 第二环节、根据分组分解法先分组，再根据提公因式法和平方差公式进行因式分解，即可得出答案；
第三环节、先把原式变形为b2-c2-2ab-2ac＝0，再根据分组分解法得出（2a+b+c）（b-c）＝0，得出b＝c，即可得出△ABC是等腰三角形.
22．【答案】证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n 32-2n 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 3n-10 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.
23．【答案】（1）解：错误：设（a2+b2）2=m，应注意m≥0，且a2+b2≥0，所以由（m-4）2=0，解得m=4由（a2+b2）2=4，得a2+b2=2.
（2）解：设a+b=m，则原式可化为m2-14m+49，即（m-7）2.
∴（a+b）2-14（a+b）+49=（a+b-7）2.
【知识点】因式分解﹣公式法；偶次幂的非负性；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据平方的非负性可得a2+b2≥0且m≥0，据此判断；
（2）设a+b=m，则原式可化为m2-14m+49，然后利用完全平方公式分解即可.
24．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
故答案为：50
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，
则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
【分析】（1）大正方形的面积=各部分面积和，据此即得等式；
（2） 由于a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ，据此即可求解；
（3） 用2个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形、5个小长方形拼成一个矩形即可.
25．【答案】（1）解：x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9.
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）.
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形.
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
【知识点】因式分解﹣公式法；等边三角形的判定；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方；
（2）利用配方法进行变形，再利用平方差公式分解即可；
（3） △ABC为等边三角形，理由 ：将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形为（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， 再根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，从而判断即可；
（4）利用配方法将原式变形为（x+2）2+（y﹣3）2+2，再据偶次幂的非负性进行判断即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第四章第三节 公式法 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·泰安期中）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．4x2+y2 B．-4x2-y2 C．-4x2+y2 D．-4x+y2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、多项式4x2+y2，不符合平方差公式的结构特征，故A不符合题意；
B、多项式-4x2-y2，不符合平方差公式的结构特征，故B不符合题意；
C：-4x2+y2=（y-2x）（y+2x）， 能用平方差公式分解因式，故C符合题意；
D、-4x+y2，不符合平方差公式的结构特征，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021·兰州）因式分解： （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】观察可知：多项式中的各项含有公因式x，提公因式后的多项式符合平方差公式特征，然后再根据平方差公式分解即可.
3．（2021七下·吴兴期末）下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：16a2+8a+1=（4a+1）2，故选项A符合题意；
B、a2-3a+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项B错误；
C、4a2+4a-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项C错误；
D、a2-8a-169不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式法分解因式的式子特点：a2±2ab+b2=（a±b）2，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2021八下·武侯期末）若a，b，c分别是 ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2-2ab+b2=0，
∴（a-b）2=0，则a-b=0，
∴a=b，
∵b2-c2=0，即（b+c）（b-c）=0，
∴b=c或b=-c，
∵三角形的边为正数，
∴b=c=a，即△ABC是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式由a2-2ab+b2=0，可得到a=b；再利用平方差公式可证得b=c或b=-c，由此可推出a=b=c，可判断出△ABC的形状.
5．（2021八上·陵城月考）a4b－6a3b+9a2b分解因式的正确结果是（ ）
A．a b（a －6a+9） B．a b（a+3）（a－3）
C．b（a －3） D．a b（a－3）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】a4b-6a3b+9a2b=a2b（a2-6a+9）=a2b（a-3）2．
故答案为：D．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。
6．（2021八上·德阳月考）若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2-2ab+b2+ac-bc =0，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ a2-2ab+b2+ac-bc=0，
∴（a-b）2+c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-b+c）=0，
∵a-b+c≠0，
∴a=b，
∴ 这个三角形是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（a-b）（a-b+c）=0，根据三角形三边关系得出a-b+c≠0，得出a=b，即可得出这个三角形是等腰三角形.
7．（2021八上·莱州期中）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故答案为：B．
【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。
8．（2020七下·温州期中）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
二、填空题
9．（2021八下·修水期末）分解因式：7a2﹣63＝
【答案】7（a﹣3）（a+3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：7a2﹣63，
＝7（a2﹣9），
＝7（a﹣3）（a+3）．
故答案为：7（a﹣3）（a+3）．
【分析】先提取公因式7，再利用平方差公式因式分解即可。
10．（2021八上·泰安期中）4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为
【答案】5或﹣3
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵4x2-（k-1）x+1是完全平方式，
∴k-1=±4，
∴k=5或-3.
【分析】根据完全平方式的结构特征，得出k-1=±4，即可得出k的值.
11．（2021八下·武侯期末）已知x+y＝2，则 （x2+2xy+y2）的值为 .
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=2，
∴ （x2+2xy+y2）= （x+y）2= ×22=2，
故答案为：2.
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为 （x+y）2，再整体代入求值.
12．（2021八上·九台期末）下列因式分解正确的是 （填序号）
①；②；③；④
【答案】①④
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①，符合题意；
②，计算不符合题意；
③，计算不符合题意；
④，符合题意；
故答案为：①④．
【分析】①提取公因式x，再判断；②利用完全平方公式分解即可；③利用平方差公式分解，再判断；④利用完全平方公式分解，再判断.
13．（2021七上·杨浦期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．
请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】﹣64x3＋y3
故答案为：
【分析】利用材料中所给的立方差公式进行因式分解即可。
14．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
15．（2021八上·静安月考）在实数范围内因式分解：x2﹣3＝ ，3x2﹣5x+2＝ ．
【答案】；（3x-2）（x-1）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x2-3= x2- ；
3x2-5x+2=（3x-2）（x-1）．
故答案为： ；（3x-2）（x-1）．
【分析】利用平方差公式及十字相乘法分解因式即可。
16．（2019七上·静安期中）观察下列各式：
(x 1)(x+1)=x 1
(x 1)(x +x+1)=x 1
(x 1)(x +x +x+1)=x 1…
根据以上规律， 求1+2+2 +…+ .
【答案】22018-1
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：1+2+2 +…+22016+22017
=（2-1）(1+2+2 +…+ 22016+22017 )
=22018-1
故答案为：22018-1
【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.
三、计算题
17．（2021八上·襄汾期末）因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
18．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
19．（2019八上·泰安期中）利用因式分解进行计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=3+7+11+15+19
=55
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)原式中每一项均符合平方差公式的形式，故应用平方差公式展开，将原式变形为 ，约分即可得到最终结果；（2）将原式分组变形为式 ，则能够运用平方差公式进行简便计算．
四、解答题
20．（2021八上·东平月考）分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）（a2+4）2﹣16a2
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式 ．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）将当作整体，利用完全平方公式因式分解得到，再利用完全平方公式因式分解即可；
（3）提取公因式-2m即可得到答案；
（4）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
21．（2021八上·泰安期中）第一环节：自主阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2-4y2+2x-4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y)
……分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法。
第二环节：利用这种方法解决下列问题。
因式分解：x2y-4y-2x2+8．
第三环节：拓展运用。
已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，试判断△ABC的形状．
【答案】解：第二环节：x2y﹣4y﹣2x2+8
＝（x2y﹣4y）﹣（2x2﹣8）
＝y（x2﹣4）﹣2（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x2﹣4）
＝（y﹣2）（x+2）（x﹣2）
b2+2ab＝c2+2ac，
第三环节：
b2﹣c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（b+c）（b﹣c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，
即b＝c，
所以，△ABC是等腰三角形
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；等腰三角形的判定；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】 第二环节、根据分组分解法先分组，再根据提公因式法和平方差公式进行因式分解，即可得出答案；
第三环节、先把原式变形为b2-c2-2ab-2ac＝0，再根据分组分解法得出（2a+b+c）（b-c）＝0，得出b＝c，即可得出△ABC是等腰三角形.
22．（2021八上·沈丘期末）如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【答案】证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n 32-2n 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 3n-10 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.
五、综合题
23．先阅读，再解答下列问题.
已知（a2+b2）-8（a2+b2）2+16=0，求a2+b2的值.
错解：设（a2+b2）2=m，
则原式可化为m2-8m+16=0，
即（m-4）2=0，解得m=4.
由（a2+b2）2=4，得a2+b2=±2
（1）上述解答过程错在哪里？为什么？
（2）请你用上述方法分解因式：（a+b）2-14（a+b）+49
【答案】（1）解：错误：设（a2+b2）2=m，应注意m≥0，且a2+b2≥0，所以由（m-4）2=0，解得m=4由（a2+b2）2=4，得a2+b2=2.
（2）解：设a+b=m，则原式可化为m2-14m+49，即（m-7）2.
∴（a+b）2-14（a+b）+49=（a+b-7）2.
【知识点】因式分解﹣公式法；偶次幂的非负性；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据平方的非负性可得a2+b2≥0且m≥0，据此判断；
（2）设a+b=m，则原式可化为m2-14m+49，然后利用完全平方公式分解即可.
24．（2021七下·杭州开学考）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式： .
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
故答案为：50
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，
则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
【分析】（1）大正方形的面积=各部分面积和，据此即得等式；
（2） 由于a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ，据此即可求解；
（3） 用2个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形、5个小长方形拼成一个矩形即可.
25．（2021九上·隆昌期中）（阅读材料）把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式.
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式.
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式.
（3）若a、b、c分别是 ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 ABC的形状，并说明理由.
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
【答案】（1）解：x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9.
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）.
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形.
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数.
【知识点】因式分解﹣公式法；等边三角形的判定；偶次幂的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方；
（2）利用配方法进行变形，再利用平方差公式分解即可；
（3） △ABC为等边三角形，理由 ：将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形为（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， 再根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，从而判断即可；
（4）利用配方法将原式变形为（x+2）2+（y﹣3）2+2，再据偶次幂的非负性进行判断即可.
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