6.2.1　排列6.2.2　排列数（Word含解析）

6.2　排列与组合
6.2.1　排列
6.2.2　排列数
基础过关练
题组一　排列的相关概念
1.(2020湖南湘潭高二模拟)从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(　　)
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙丙,乙丙甲
C.甲乙,甲丙,乙丙,乙甲,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
2.(多选)下列问题中,属于排列问题的有(　　)
A.10本不同的书分给10名同学,每人一本
B.10位同学去做春季运动会志愿者
C.10位同学参加不同项目的运动会比赛
D.10个没有任何三点共线的点构成的线段
3.判断下列问题是不是排列问题,如果是,请列出其所有排列;如果不是,请说明理由.
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票
(2)从集合M={1,2,…,9}中任取两个相异的元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1
题组二　排列数与排列数公式
4.(2020山东莱州第一中学高二上月考)2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 980等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
5.(2019安徽合肥第一中学高二下第二次段考)=(　　)
A. B. C. D.
6.(2020山西长治第二中学高二下月考)不等式-n<7的解集为(　　)
A.{n|-1C.{3,4} D.{4}
7.已知=10,则n的值为　　　　.
8.求证:-=m.
9.(1)解不等式:3≤2+6;
(2)解方程:=140.
题组三　无限制条件的排列问题
10.(2020天津宝坻高二下期中)从6名同学中选出正、副组长各1名,不同的选法有(　　)
A.11种 B.15种 C.30种 D.36种
11.(2020福建福州第一中学高二下阶段测试)一部纪录片在4个单位轮映,每单位放映一场,则不同的轮映次序有(　　)
A.24种 B.16种 C.12种 D.6种
12.3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到多少个不同的三位数
题组四　有限制条件的排列问题
13.(2020天津河北区高三停课不停学期间线上测试)用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数,其中偶数的个数为(　　)
A.120 B.72
C.60 D.48
14.(2020辽宁丹东高三总复习阶段测试)四个人站成一排,其中甲、乙相邻的站法有(　　)
A.18种 B.12种
C.8种 D.6种
15.(2020山东烟台高三上期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为(　　)
A.216 B.480
C.504 D.624
16.某班星期三上午要上语文、数学、物理、历史、外语这五门课,若数学必须排在历史前面,则五门课程不同的排法有(　　)
A.60种 B.30种
C.120种 D.24种
17.(2020北京昌平高三上期末)2019年11月5日,第二届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)开幕,共有155个国家和地区,26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动,每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中,甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有　　　　 种.
18.(2020山东烟台高二下月考)现有3名男生,4名女生.
(1)若排成前后两排,前排4人,后排3人,则共有多少种不同的排法
(2)若全体排成一排,甲不站最左端也不站最右端,则共有多少种不同的排法
(3)若全体排成一排,甲、乙站在两端,则共有多少种不同的排法
19.(2020山西康杰中学高二下月考)某学校将要举行校园歌手大赛,现有3男3女参加,需要安排他们的出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果3个女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果3位男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
能力提升练
题组一　排列的应用
1.(2020广东深圳罗湖高三上期末,)中国古代的五音一般指五声音阶,依次为:宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上,排成一个5个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧,那么不同音序的排列种数为(　　)
A.120 B.90 C.80 D.60
2.(2020山东潍坊现代中学高二下月考,)从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同的工作,若乙和丙只能从事前两项工作,其余三人均能从事这三项工作,则不同的选派方案有(　　)
A.36种 B.12种
C.18种 D.24种
3.(2020河北沧州一中高二月考,)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是(　　)
A.12 B.24 C.30 D.36
4.(2020天津南开中学高二上期末,)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(　　)
A.60种 B.48种
C.30种 D.24种
5.(2020河北邯郸高三上期末,)现有排成一排的5个不同的盒子,将红、黄、蓝色的3个小球全部放入这5个盒子中,若每个盒子最多放一个小球,则恰有两个空盒相邻的不同放法共有　　　　种.(结果用数字表示)
6.(2020重庆巴蜀中学高二上期末,)某单位安排5位员工在10月3日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天,则不同的安排方案共有　　　　种.(用数字作答)
7.(2020重庆南开中学高三质量检测,)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻,且0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为　　　　.(用数字作答)
8.(2020江苏无锡锡东高级中学高二下期末,)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序
题组二　排列与概率的综合应用
9.(2020河北秦皇岛高三期中,)“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.若将“仁、义、礼、智、信”排成一排,则“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为(　　)
A. B. C. D.
10.(2019湖北华中师大一附中高二期末,)若将1,2,3,a,b,c排成一排,则字母a不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是　　　　.
11.(2020山东枣庄高二专题模拟,)5名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生2人,女生2人.
(1)求两名女生相邻而站的概率;
(2)求教师不站中间且女生不站两端的概率.
答案全解全析
6.2　排列与组合
6.2.1　排列
6.2.2　排列数
基础过关练
1.C　若选出的是甲、乙,则站法有甲乙、乙甲;若选出的是甲、丙,则站法有甲丙、丙甲;若选出的是乙、丙,则站法有乙丙、丙乙.故选C.
2.AC　由排列与顺序有关,可知A、C是排列,B、D不是排列.
3.解析　(1)是排列问题.列出每一个起点和终点的情况,如图所示.
故应该有12种机票.
(2)不是排列问题.焦点在x轴上的椭圆,其方程中的a,b必有a>b,即取出的两个数哪个是a,哪个是b是确定的.
4.D　2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 980
====.
故选D.
5.A　===.
故选A.
6.C　由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,
整理得n2-4n-5<0,解得-1由题可知,n-1≥2且n∈N*,
所以n=3或n=4,
即原不等式的解集为{3,4}.
故选C.
7.答案　8
解析　∵=10,∴n≥3,n∈N,
∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),
∴2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.
8.证明　因为-
=-
=·
=·
=m·=m,
所以-=m.
9.解析　(1)易知x≥3,x∈N.因为=x(x-1)(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
(2)易知所以x≥3,x∈N,由=140得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
化简,得4x2-35x+69=0,解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
10.C　从6名同学中选出正、副组长各1名,不同的选法有=30种.
11.A　本题可以把4个单位看成4个不同的位置,故有=24种不同的轮映次序.故选A.
12.解析　“组成三位数”这件事,分两步完成:
第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,.
第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法.
根据分步乘法计数原理,可以得到×2×2×2=48个不同的三位数.
13.B　由于五位数为偶数,因此个位数必为偶数,可在2,4,6中任选一个数,有3种选择,其他数位任意排列,由分步乘法计数原理可知,所求偶数的个数为3=3×24=72.故选B.
14.B　将甲、乙“捆绑”看成1个元素,与其他2人进行全排列,再将甲、乙二人进行排列,故四人站成一排,甲、乙二人相邻的站法有=12种.
故选B.
15.C　当课程“御”排在第一周时,有=120种排法;当课程“御”“乐”均不排在第一周,且“御”不排在最后一周时,有××=384种排法.所有可能的排法种数为120+384=504.故选C.
16.A　因为数学必须排在历史前面,所以不用考虑数学、历史的顺序,
故五门课程不同的排法共有=60种.
故选A.
17.答案　144
解析　先安排丁、戊、己,共有=6种排法,排好后有4个空位,再安排甲、乙、丙插入4个空位中,共有=24种排法.
则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有=144种.
18.解析　(1)分两步完成,先选4人站前排,有种排法,余下3人站后排,有种排法,共有=5 040种不同的排法.
(2)解法一(元素分析法):先排甲,有5种排法,其余6人有种排法,共有5=3 600种排法.
解法二(位置分析法):因为甲不站两端,所以先从甲以外的6个人中任选2个人站在两端,有种站法;再让剩下的5个人站在中间5个位置,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=3 600种不同的排法.
(3)首先让甲、乙站两端,有种站法;再让其他人站中间5个位置,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=240种不同的排法.
19.解析　(1)根据题意,分2步进行分析:
①先将3名男生排成一排,有种情况,
②男生排好后有4个空位,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,
则有×=144种不同的出场顺序.
(2)根据题意,将6人排成一排,有种情况,
其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序,
则有=360种不同的出场顺序.
(3)根据题意,分3步进行分析:
①先将3名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况;
②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列,有种情况,排好后有4个空位;
③女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有3种.
根据分步乘法计数原理,有3=108种不同的出场顺序.
能力提升练
1.C　若“角”在两端,则“宫”“羽”一定在“角”的同侧,此时有2=48种排法;
若“角”在第二或第四个位置,则有2××=24种排法;
若“角”在第三个位置,则有2××=8种排法.
故可排成48+24+8=80种不同音序.故选C.
2.A　利用分类加法计数原理,分三种情况:
(1)选派乙和丙2人从事翻译、导游工作,再从剩下的3人中选1人从事礼仪工作,则排法种数是3;
(2)选派乙、丙中的1人从事翻译或导游中的一项工作,再从剩下的3人中选派2人从事余下的两项工作,则排法种数是2×2×;
(3)乙和丙都没有被选派,三项工作分配给丙、丁、戊三人,则排数种数是.
综上所述,不同的选派方案共有3+2×2×+=36种.故选A.
3.C　将六个圆从左到右依次标序号为1,2,3,4,5,6,因为每种颜色只能涂两个圆,所以只有五种涂法:(1,3),(2,5),(4,6);(1,4),(2,5),(3,6);(1,4),(2,6),(3,5);(1,5),(2,4),(3,6);(1,6),(2,4),(3,5).每种涂法中分配颜色有=6种方法,故不同的涂色方案的种数是5×6=30,故选C.
4.B　因为A必须坐最北面的椅子,所以A的位置固定.
B、C两人只能选择相邻的两个座位,且二人的位置可以互换,有4种排法,其余三人坐剩余的三把椅子,有种排法,根据分步乘法计数原理,可得六人按要求排列的不同座次有4=48种.故选B.
5.答案　24
解析　恰有两个空盒相邻的情况有4种,每种相邻情况下,将红、黄、蓝色的3个小球放入另外3个盒子中,有种放法.因此,共有4=24种不同放法.
6.答案　72
解析　先排甲、乙之外的3人,有种排法,然后将甲、乙插入到这3人形成的4个空中,有种方法,所以不同的安排方案有=72种.
7.答案　60
解析　根据题意分情况讨论:(1)先将数字0和5捆绑在一起,且5排在0的前面,再和数字1,3进行排列,共有种排法,排好后形成4个空,最后将数字2,4插空,因为偶数不能相邻,所以2,4不能插入与0相邻的空里,故有种排法.
因此,满足此条件的六位数的个数为=36.
(2)先将数字0和5捆绑在一起,且0排在5的前面,再和数字1,3进行排列,因为0不能排在最前面,所以共有种排法,最后将数字2,4插空,同(1),共有种排法.
因此,满足此条件的六位数的个数为=24.
综上,满足条件的六位数的个数为36+24=60.
8.解析　(1)第一步,将4个舞蹈节目“捆绑”起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排列,有=5 040种方法;
第二步,“松绑”,给4个舞蹈节目排序,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,一共有5 040×24=120 960种安排顺序.
(2)第一步,将6个演唱节目排成一列,有=720种方法,排好后形成7个空;
第二步,将4个舞蹈节目插入7个空中,有=840种方法.
根据分步乘法计数原理,一共有720×840=604 800种安排顺序.
(3)加入2个节目后共有12个节目,若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有种排法,但原来的10个节目已定好顺序,所以节目演出的顺序有==132种.
9.A　将“仁、义、礼、智、信”排成一排,无限制条件时有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有种,故所求概率为=,故选A.
10.答案　
解析　将1,2,3,a,b,c排成一排,一共有种不同排法,将1,2,3中任取2个数字作为一个“整体”,有种方法,先将a,b,c进行排列(不考虑a是否在两端),有种排法,再将“整体”与另一个数字插入a,b,c形成的4个空中,有种方法,再将其中a在两端的情形去除掉,则字母a不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻有(-)种不同的排法,所以其概率为=.
11.解析　5名师生站成一排照相留念共有=120种站法.
(1)记“两名女生相邻而站”为事件A,将两名女生“捆绑”视为一个整体与其余3个人全排列,有种排法,再将两名女生排序有种站法,所以共有=48种不同站法, 则P(A)==,
即两名女生相邻而站的概率为.
(2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B,事件B分两类:
①教师站在一端,另一端由男生站,有=24种站法;
②两端全由男生站,教师站除两端和正中间外的2个位置之一,有=8种站法,
所以事件B共包含24+8=32种站法,
则P(B)==,
即教师不站中间且女生不站两端的概率为.