6.2.3　组合6.2.4组合数（Word含解析）

6.2.3　组合
6.2.4　组合数
基础过关练
题组一　对组合概念的理解
1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个,则下列问题是组合问题的为(　　)
A.相加,可以得到多少个不同的和
B.相乘,可以得到多少个不同的积
C.相减,可以得到多少个不同的差
D.相除,可以得到多少个不同的商
2.判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学;
(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法
(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法
题组二　组合数公式及其性质的应用
3.若=,则x=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.4
C.-1或4 D.1或5
4.(2020山东烟台高二下月考)已知-=,则n=(　　)
A.14 B.15 C.13 D.12
5.(多选)(2020山东德州高二下月考)下列关系中,能成立的是(　　)
A.= B.=
C.m!= D.+m=
6.不等式-<的解集为　　　　　　　.
7.++…+=　　　　.
8.(1)求值+;
(2)已知-=,求.
9.证明:·=·.
题组三　无限制条件的组合问题
10.(2020辽宁阜新实验中学高二上期末)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(　　)
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
11.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有　　　　种.(用数字作答)
12.(2020浙江绍兴高三上期末)已知集合A=B={0,1,2,9},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有　　　　种.
13.(2020湖南长沙雅礼中学高三月考)平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无3点共线,以这些点为顶点,可以得到多少个不同的三角形(位置不同的三角形视为不同的三角形)
题组四　有限制条件的组合问题
14.(2020北京朝阳高三上期末)从3名教师和5名学生中选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动.要求至少有一名教师入选,且入选教师人数不多于入选学生人数,则不同的选派方案的种数是(　　)
A.20 B.40 C.60 D.120
15.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高三上期末)某市为了提高整体教学质量,在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体,现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习,若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部,则共有多少种选派方法(　　)
A.160 B.80 C.40 D.20
16.(2019山东师范大学附属中学高三模拟)正方体A1B1C1D1-ABCD中,Pi(i=1,2,…,12)是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面A1C1B平行的直线有(　　)
A.36条 B.21条 C.12条 D.6条
17.(2019辽宁沈阳实验中学高二下月考)如图,机器人亮亮沿着单位网格从A地移动到B地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从点A移动到点B最近的走法共有　　　　种.
18.(2020山西省实验中学高三上质量检测)将7个大小、材质完全相同的小球分别编号为1,2,4,5,6,9,10,现从中取出3个,则它们的编号之和为奇数的取法共有　　　　种.
19.蓝天救援队有男救援员8名,女救援员4名,现选派5名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加,共有多少种不同的选法
(2)若救援员甲、乙均不能参加,共有多少种不同的选法
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加,共有多少种不同的选法
能力提升练
题组一　有限制条件的组合问题
1.(2019河南濮阳高三模拟考试,)安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,不安排义工A照顾老人甲,且不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有(　　)
A.30种 B.40种 C.42种 D.48种
2.(2020湖南师范大学附属中学高三月考,)若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同),现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里,并搅拌均匀,再让这5人在箱子里各摸一张,恰有1人摸到自己写的卡片的种数为(　　)
A.20 B.90 C.15 D.45
3.(多选)(2020山东章丘四中高二上期末,)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法总数应为(　　)
A. B.++
C.-- D.(++)
4.(2020海南华侨中学高二上期末,)现有6名学生,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,剩下1人既会唱歌又会跳舞,选出2人唱歌,2人跳舞,共有　　　　种不同的选法.(请用数学作答)
5.(2020云南师大附中高三下适应性考试,)作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中,望楼传递信息的一种方式如下:如图所示,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一行,每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递　　种信息.(用数字作答)
6.(2020辽宁本溪高级中学高二下线上月考,)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种
题组二　排列与组合的综合问题
7.(2019山东济南外国语中学高二上期末,)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)
A.300 B.216 C.180 D.162
8.(2020山东师范大学附属中学高三期末,)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是(　　)
A.90 B.120 C.210 D.216
9.(2020辽宁盘锦辽河油田第一高级中学高二下月考,)如果一个四位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数”(如1 036),则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数的个数为(　　)
A.12 B.44 C.58 D.76
10.(2020江西抚州第一中学高二下月考,)如图,一个地区分为5个区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有　　　　　种.
11.(2020山西高三线上模拟考试,)某部门共有4名员工,某次活动期间,周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名员工值班,若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工,则该活动值班岗位的不同安排方式有多少种
答案全解全析
6.2.3　组合
6.2.4　组合数
基础过关练
1.B　判断一个问题是不是组合问题,关键是看该问题是否与顺序有关,由于减法与除法不满足交换律,取出的两个数就与顺序有关,因此不是组合问题,故C、D不是组合问题;加法与乘法满足交换律,与取出的两个数的顺序无关,但是由于给出的8个数中,5+11=3+13、11+19=13+17等,故相加,可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题,只有相乘,可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题,故选B.
2.解析　(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关,所以它是组合问题.
(2)因为车票与起点、终点顺序有关,例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同,所以它是排列问题.
(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,所以它是组合问题.
(4)因为从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给三个人去做,所以它是排列问题.
(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.
3.B　∵=,
∴x-2=2x-1或x-2+2x-1=9,
解得x=-1或x=4.
经检验,只有x=4符合题意,∴x的值是4.
故选B.
4.D　由题知,+=,由组合数的性质知,+=,
所以=,所以6+7=n+1,得n=12.
故选D.
5.BCD　对于A,令n=3,m=1,可得等式=不成立,故A错误;
对于B,由组合数的计算公式知=,故B正确;
对于C,由排列数与组合数的定义知=×=m!,故C正确;
对于D,+m=+==,故D正确.
故选BCD.
6.答案　{5,6,7,8,9,10,11}
解析　将原不等式化简得
-<,
易知x≥5,整理得x2-11x-12<0,∴5≤x<12.
又∵x∈N*,∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.
7.答案　165
解析　由组合数的性质可得,
++…+=++…+=++…+===165.
8.解析　(1)由题意得,解得4≤n≤5,∵n∈N*,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=+=5;当n=5时,原式=+=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得,-=,
即10m=(7-m)(6-m),
整理得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,∴==28.
9.证明　·=·=,
·=·=,
所以·=·.
10.C　从6名男医生中选出2名男医生有种选法,从5名女医生中选出1名女医生有种选法,所以不同的选法有=15×5=75种,故选C.
11.答案　60
解析　分三步:第一步,一等奖有种可能的结果;第二步,二等奖有种可能的结果;第三步,三等奖有种可能的结果,故共有=60种可能的结果.
12.答案　15
解析　因为f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,
所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或4个元素,
因此值域的不同情况有+++=15种.
13.解析　第一类:从共线的4个点中选取2个点,另外8个点中选1个点作为三角形的顶点,共有=48个不同的三角形;
第二类:从共线的4个点中选取1个点,另外8个点中选2个点作为三角形的顶点,共有=112个不同的三角形;
第三类:共线的4个点不选,仅从另外8个点中选3个点作为三角形的顶点,共有=56个不同的三角形.
由分类加法计数原理,知不同的三角形共有48+112+56=216个.
14.C　由题意可分成两类:
(1)1名教师和3名学生,共=30种方案;
(2)2名教师和2名学生,共=30种方案.
故不同的选派方案的种数是30+30=60.
故选C.
15.C　先派3名教师和1名中层干部去其中一所学校,有种选派方法,剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校,只有1种方法,所以共有=40种选派方法.故选C.
16.B　∵与平面A1C1B平行的平面有平面P1P4P8,平面P10P11P6,平面P9P5P2P3P7P12,
∴从这3个平面上任取两个棱的中点的连线均与平面A1C1B平行,∴共有++=21条直线与平面A1C1B平行.故选B.
17.答案　80
解析　分三步:①从A到C,亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;
②从C到D,亮亮要移动六步,其中三步是向右移动,三步是向上移动,此时有种走法;
③从D到B,由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知,共有=80种不同的走法.故答案为80.
18.答案　19
解析　由题知,7个小球中编号为奇数的小球有3个,编号为偶数的小球有4个,
所以取出的3个小球的编号之和为奇数有以下两类:
第一类,3个小球的编号中有1个为奇数,2个为偶数,对应的不同取法共有=3×6=18种;
第二类,3个小球的编号中有3个为奇数,0个为偶数,对应的不同取法共有=1×1=1种.
根据分类加法计数原理,三个小球的编号之和为奇数的取法共有18+1=19种.
19.解析　(1)共有12名救援员,若甲、乙必须参加,则再从剩下的10名中选3名即可,有=120种不同的选法.
(2)若甲、乙两人均不能参加,则从剩下的10名中选5名即可,有=252种不同的选法.
(3)由总的选法数减去5名都是男救援员的选法数,得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员参加的选法数,即有-=736种不同的选法.
能力提升练
1.C　6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有=90种安排方法,
其中义工A照顾老人甲的安排方法有=30种,
义工B照顾老人乙的安排方法有=30种,
义工A照顾老人甲,同时义工B照顾老人乙的安排方法有=12种,
所以符合题意的不同的安排方法有90-30-30+12=42种.故选C.
2.D　根据题意,分2步:
第一步,先从5个人里选1人恰好摸到自己写的卡片,有种选法,
第二步,对于剩余的4人,因为每个人都不能选自己写的卡片,所以第一个人有3种选法,卡片被选走的那个人也有3种选法,剩下的2人选法唯一,所以不同的选法有××=45种.
故选D.
3.BC　(1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,所以男、女生至少各有1人参加的选法总数为++.
(2)任选4人的方法数为,减去其中全部为男生或全部为女生的方法数+,故不同的选法总数应为--.经检验,A,D不正确,
故选BC.
4.答案　12
解析　根据题意,分三种情况:(1)既会唱歌又会跳舞的人未选中,有种选法;(2)选中既会唱歌又会跳舞的人唱歌,有种选法;(3)选中既会唱歌又会跳舞的人跳舞,有种选法.
故选法总数为++=12.
5.答案　34
解析　显然,紫色小方格最多有3个.分类讨论:
(1)若无紫色小方格,则只有1种结果;
(2)若有且只有1个紫色小方格,则有=9种结果;
(3)若有且只有2个紫色小方格,先选出有紫色小方格的那两行,有=3种选法,这两行的排法有=6种,此种情况下共有18种结果;
(4)若有且只有3个紫色小方格,则有=6种结果.
综上,一共有34种结果,即一共可以传递34种信息.
6.解析　(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法可分为三类:红球4个,红球3个和白球1个,红球2个和白球2个.
若取出的为4个红球,则取法有1种;
若取出的为3个红球和1个白球,则取法有×=24种;
若取出的为2个红球和2个白球,则取法有×=90种.
根据分类加法计数原理,红球的个数不比白球少的取法有1+24+90=115种.
(2)使总分不少于7分有三种情况,4个红球和1个白球,3个红球和2个白球,2个红球和3个白球.
若取出的为4个红球和1个白球,则取法有=6种;
若取出的为3个红球和2个白球,则取法有×=60种;
若取出的为2个红球和3个白球,则取法有×=120种.
根据分类加法计数原理,总分不少于7分的取法有6+60+120=186种.
7.C　根据题意,分两类:当偶数取2,4时,组成的四位数有=72个;当偶数取0,2或0,4时,考虑首位,只有三个数可排,故组成的四位数有2=108个.
因此共有72+108=180个没有重复数字的四位数.故选C.
8.C　因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,且每级台阶最多站2人,
所以可分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在一级台阶上,共有=120种站法;
第二类,有2人站在同一级台阶上,剩余1人独自站在一级台阶上,共有=90种站法.
所以不同的站法总数是120+90=210.
故选C.
9.B　分情况讨论:
(1)个位数字为1,则前三位的数字可能为027,036,045,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为××3=12,前三位的数字还可能为234,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为=6;
(2)个位数字为3,则前三位的数字可能为016,025,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为××2=8,前三位的数字还可能为124,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为=6;
(3)个位数字为5,则前三位的数字可能为014,023,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为××2=8;
(4)个位数字为7,则前三位的数字可能为012,此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为×=4.
综上所述,由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数共有12+6+8+6+8+4=44个.
故选B.
10.答案　72
解析　由题意,选用3种颜色时,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,涂色方法有=24种;4种颜色全选时,②④同色或③⑤同色,涂色方法有=48种,所以共24+48=72种不同的涂色方法.
11.解析　由题意可知,4个值班岗位有三类不同的排法:
第一类:4个员工各排1个岗位,排法有=24种;
第二类:1个员工被安排2个值班岗位,另2个员工各安排1个值班岗位,还有1个员工没有安排值班.排2个岗位的员工人选有种,且必然是周六一个岗位,周日一个岗位,故排法有种,其余两个岗位排法有种,所以排法有=96种;
第三类:2个员工各安排2个值班岗位,4人中被安排值班岗位的人选有=6种,周六、周日的安排各有种可能,故此类排法有=24种.
综上,该活动值班岗位的不同安排方式有24+96+24=144种.