6.3.1 二项式定理（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3.1 二项式定理（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-23 08:10:07 | ||
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文档简介
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.(a+b)2n,n∈N*的展开式的项数是( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3
3.设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
4.用二项式定理展开= .
5.(2019海南海口实验中学高三上月考)3+9+27+…+3n= (n∈N*).
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
6.(2020河北石家庄高二下阶段测试)的展开式中x7的系数是( )
A.5 103 B.21 C.-945 D.945
7.(2020湖南岳阳高二上期末)若的展开式的常数项为60,则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
8.(2020四川绵阳中学高三4月线上学习评估)(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为( )
A.± B. C.-2 D.2
9.(2020四川成都双流中学高三月考)若(1-)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,则sin=( )
A. B.或- C. D.或-
10.(2020辽宁本溪高三下线上模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(2020辽宁大连高三第一次模拟)的展开式中x2y4的系数为 .
12.(2020山东枣庄高三上期末)的展开式中的常数项等于 ,有理项共有 项.
13.已知(n∈N*)的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5.
(1)求n的值;
(2)求展开式的常数项.
题组三 赋值法求系数和
14.(2020山东济宁高二下质量检测)若(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( )
A. B. C.- D.
15.(2020山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
16.(2020陕西宝鸡高考模拟检测)若(n∈N*)的展开式的各项系数之和为32,则展开式中x的系数为 .
17.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其中m≠0,且a6+14a3=0.
(1)求实数m的值;
(2)求a2+a4+a6+a8+a10.
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(2020山东济宁高二下质量检测,)的展开式中x2的系数为( )
A.-84 B.84
C.-280 D.280
2.(2020广东珠海高三教学质量检测,)(x+1)·的展开式的常数项为( )
A.-40 B.40
C.-80 D.80
3.(2020山东枣庄第三中学高二下月考,)在的展开式中,x2的系数为( )
A.30 B.45
C.60 D.90
4.(2020陕西榆林二中高三月考,)若(ax-1)的展开式中含的项的系数为21,则实数a的值为( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
5.(2020辽宁沈阳二中高二下月考,)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a6=( )
A.-28 B.-448
C.112 D.448
6.(2019河北邯郸第一中学高三期中,)(x+2y)·(x-y)5的展开式中x3y3的系数为 .
7.(2020天津杨村第一中学高三上一模,)(a+x)(1+x)4的展开式中,若x的奇数次幂的项的系数之和为32,则a= .
题组二 赋值法求系数和
8.(2020山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3=( )
A.-5 B.-20
C.15 D.35
9.(2020浙江杭州高级中学高三下模拟,)已知(x+2)5(2x-5)=a0+a1x+…+a6x6,则a0= ,a5= .
10.(2020湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
11.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
12.()在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
13.()已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4= .
14.()已知=56,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求++…+的值.
题组三 二项式定理的应用
15.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107
C.108 D.109
16.(2019江西九江高二期末,)1-90+902-903+…+9010除以88的余数是( )
A.2 B.1
C.86 D.87
17.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 020+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1
C.11 D.12
18.(2020山东青岛莱西一中高二下期中,)求302 020被7除的余数.
答案全解全析
6.3.1 二项式定理
基础过关练
1.B 根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.
2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30
=(3-1)7=27=128.
4.答案 1++++
解析 解法一:=++++=1++++.
解法二:=(x+1)4=
(x4+x3+x2+x+x0)
=1++++.
5.答案 4n-1
解析 3+9+27+…+3n=+3+9+27+…+3n-1=(1+3)n-1=4n-1.
6.D 的展开式的通项是
Tr+1=(3x3)7-r=(-1)r37-r,
令21-=7,解得r=4,所以展开式中x7的系数是(-1)437-4=945.故选D.
7.A 的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r,
令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2a=60,解得a=4.故选A.
8.D (2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-rar=25-rarx5-r,
因为x2的系数与x3的系数相同,所以22a3=23a2,即4a3=8a2,又a≠0,所以a=2.故选D.
9.C ∵(1-)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,
∴2=+(n≥3),解得n=7,
∴sin=sin=sin=.故选C.
10.C 的展开式的通项为Tr+1=(x6)n-r== ,
令6n-r=0 ,得n=r.
又n∈N*,所以当r=4 时,n取得最小值5.
故选C.
11.答案 60
解析 的展开式的通项为Tr+1=(2y)r=22r-6x6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
12.答案 15;4
解析 的展开式的通项为Tr+1=()6-r=.
当=0时,r=2,
此时常数项为=15.
当为整数时,对应的项为有理项,
因为r∈N且r≤6,所以r可取0,2,4,6,故共有4项为有理项.
13.解析 的展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r=(-1)r2n-r.
(1)由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得∶=2∶5,
解得n=6.
(2)由(1)知Tr+1=(-1)r26-r,
令6-r=0,解得r=4,
所以展开式的常数项为(-1)4×26-4×=60.
14.B 由题意知==15,解得n=6或n=-5(舍去),故=,令x=1,得所有项系数之和为=.
15.B 易得(1-3x)9的展开式的通项为Tr+1=(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|
=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
16.答案 2 025
解析 依题意,令x=1,得(5-3)n=32,解得n=5,则该式为,其展开式的通项为Tr+1==55-r·(-3)r·,
令r-5=1,得r=4,所以x的系数为55-4×(-3)4×=2 025.
故答案为2 025.
17.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为Tr+1=(mx)r=mrxr,所以a3=m3,a6=m6,
依题意得m6+14m3=0,即210m6+14×120m3=0,整理得m3(m3+8)=0,因为m≠0,所以m3=-8,所以m=-2.
(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2)10=1.①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2)10=310.②
①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+310,
即a0+a2+a4+a6+a8+a10=.
又a0=(-2)0=1,
所以a2+a4+a6+a8+a10=-1==29 524.
能力提升练
1.C 易得(1-2x)7的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk,则的展开式的通项为(-2)kxk-1,令k-1=2,得k=3,所以x2的系数为(-2)3=-280.故选C.
2.A 的展开式的通项为Tr+1=
(2x)5-r=(-1)r25-rx5-2r,
令5-2r=-1,得r=3,
令5-2r=0,得r=(舍去),
所以(x+1)的展开式的常数项为(-1)3×22×=-40.故选A.
3.B 的展开式的通项为Tr+1=,r≤10,r∈N.
的展开式的通项为Tk+1=xr-2 021k,k≤r,k∈N,
令r-2 021k=2,可得r=2+2 021k,
只有k=0,r=2满足题意,
故x2的系数为×=45,
故选B.
4.A 的展开式的通项为Tr+1== ,
令=-,得r=3,
此时(ax-1)的展开式中含的项的系数为a=7a,
令=,得r= N,舍去,
所以(ax-1)的展开式中含的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.
5.A 由x(x-2)8=[(x-1)+1][(x-1)-1]8知,
当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取(x-1)5(-1)3,其系数为-56,
当第一个因式取1时,第二个因式取
(x-1)6(-1)2,其系数为28,
故a6=-56+28=-28.
故选A.
6.答案 10
解析 (x+2y)(x-y)5=(x+2y)(x5-x4y+x3y2-x2y3+x1y4-y5),
故它的展开式中x3y3的系数为-+2=10,故答案为10.
7.答案 3
解析 因为(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,所以(a+x)(1+x)4的展开式中含x的奇数次幂的项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.
8.A 由题意,令x=1,可得a0+a1+…+a7=(1+1)(a-1)6=2×(a-1)6=0,解得a=1,
∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x×(1-x)6,
∴展开式中x3的系数为(-1)3+(-1)2=-20+15=-5,故选A.
9.答案 -160;15
解析 令x=0,得25×(-5)=a0,即a0=-160.
a5为x5的系数,由(x+2)5(2x-5)=2x(x+2)5-5(x+2)5可知,x5的系数为×21×2+×(-5)=15,即a5=15.
10.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,
令x=,得×=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
故答案为512.
11.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27.
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,①
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,②
①+②得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
∴a0+a2+…+a8=-940.
12.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.
13.答案 -8
解析 等式两边同时对x求导,可得8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4=-8.
14.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵=56,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56×
,
整理可得=1,
即n2-11n-60=0,
解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=,可得=a0++++…+=0,
∴++…+=-1.
15.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-×26×0.05+×25×0.052-…-0.057≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
16.B 1-90+902-903+…+9010=(1-90)10=(1+88)10=1+88+882+883+…+8810=1+88(+88+882+…+889),所以1-90+902-903+…+9010除以88的余数是1,故选B.
17.D 因为51=52-1,所以512 020=(52-1)2 020=522 020-522 019+…-521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
18.解析 302 020=(28+2)2 020=282 020+×282 019×2+…+×28×22 019+22 020=28×(282 019+×282 018×2+…+×22 019)+22 020,
故只需求出22 020被7除的余数即可,
因为22 020=2×8673=2×(7+1)673=2×(7673+×7672+×7671+…+×7+1)=2×7×(7672+×7671+×7670+…+)+2,所以余数为2.
6.3.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.(a+b)2n,n∈N*的展开式的项数是( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3
3.设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
4.用二项式定理展开= .
5.(2019海南海口实验中学高三上月考)3+9+27+…+3n= (n∈N*).
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
6.(2020河北石家庄高二下阶段测试)的展开式中x7的系数是( )
A.5 103 B.21 C.-945 D.945
7.(2020湖南岳阳高二上期末)若的展开式的常数项为60,则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
8.(2020四川绵阳中学高三4月线上学习评估)(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为( )
A.± B. C.-2 D.2
9.(2020四川成都双流中学高三月考)若(1-)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,则sin=( )
A. B.或- C. D.或-
10.(2020辽宁本溪高三下线上模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(2020辽宁大连高三第一次模拟)的展开式中x2y4的系数为 .
12.(2020山东枣庄高三上期末)的展开式中的常数项等于 ,有理项共有 项.
13.已知(n∈N*)的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5.
(1)求n的值;
(2)求展开式的常数项.
题组三 赋值法求系数和
14.(2020山东济宁高二下质量检测)若(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( )
A. B. C.- D.
15.(2020山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
16.(2020陕西宝鸡高考模拟检测)若(n∈N*)的展开式的各项系数之和为32,则展开式中x的系数为 .
17.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其中m≠0,且a6+14a3=0.
(1)求实数m的值;
(2)求a2+a4+a6+a8+a10.
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(2020山东济宁高二下质量检测,)的展开式中x2的系数为( )
A.-84 B.84
C.-280 D.280
2.(2020广东珠海高三教学质量检测,)(x+1)·的展开式的常数项为( )
A.-40 B.40
C.-80 D.80
3.(2020山东枣庄第三中学高二下月考,)在的展开式中,x2的系数为( )
A.30 B.45
C.60 D.90
4.(2020陕西榆林二中高三月考,)若(ax-1)的展开式中含的项的系数为21,则实数a的值为( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
5.(2020辽宁沈阳二中高二下月考,)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a6=( )
A.-28 B.-448
C.112 D.448
6.(2019河北邯郸第一中学高三期中,)(x+2y)·(x-y)5的展开式中x3y3的系数为 .
7.(2020天津杨村第一中学高三上一模,)(a+x)(1+x)4的展开式中,若x的奇数次幂的项的系数之和为32,则a= .
题组二 赋值法求系数和
8.(2020山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3=( )
A.-5 B.-20
C.15 D.35
9.(2020浙江杭州高级中学高三下模拟,)已知(x+2)5(2x-5)=a0+a1x+…+a6x6,则a0= ,a5= .
10.(2020湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
11.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
12.()在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
13.()已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4= .
14.()已知=56,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求++…+的值.
题组三 二项式定理的应用
15.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107
C.108 D.109
16.(2019江西九江高二期末,)1-90+902-903+…+9010除以88的余数是( )
A.2 B.1
C.86 D.87
17.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 020+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1
C.11 D.12
18.(2020山东青岛莱西一中高二下期中,)求302 020被7除的余数.
答案全解全析
6.3.1 二项式定理
基础过关练
1.B 根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.
2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30
=(3-1)7=27=128.
4.答案 1++++
解析 解法一:=++++=1++++.
解法二:=(x+1)4=
(x4+x3+x2+x+x0)
=1++++.
5.答案 4n-1
解析 3+9+27+…+3n=+3+9+27+…+3n-1=(1+3)n-1=4n-1.
6.D 的展开式的通项是
Tr+1=(3x3)7-r=(-1)r37-r,
令21-=7,解得r=4,所以展开式中x7的系数是(-1)437-4=945.故选D.
7.A 的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r,
令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2a=60,解得a=4.故选A.
8.D (2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-rar=25-rarx5-r,
因为x2的系数与x3的系数相同,所以22a3=23a2,即4a3=8a2,又a≠0,所以a=2.故选D.
9.C ∵(1-)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,
∴2=+(n≥3),解得n=7,
∴sin=sin=sin=.故选C.
10.C 的展开式的通项为Tr+1=(x6)n-r== ,
令6n-r=0 ,得n=r.
又n∈N*,所以当r=4 时,n取得最小值5.
故选C.
11.答案 60
解析 的展开式的通项为Tr+1=(2y)r=22r-6x6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
12.答案 15;4
解析 的展开式的通项为Tr+1=()6-r=.
当=0时,r=2,
此时常数项为=15.
当为整数时,对应的项为有理项,
因为r∈N且r≤6,所以r可取0,2,4,6,故共有4项为有理项.
13.解析 的展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r=(-1)r2n-r.
(1)由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得∶=2∶5,
解得n=6.
(2)由(1)知Tr+1=(-1)r26-r,
令6-r=0,解得r=4,
所以展开式的常数项为(-1)4×26-4×=60.
14.B 由题意知==15,解得n=6或n=-5(舍去),故=,令x=1,得所有项系数之和为=.
15.B 易得(1-3x)9的展开式的通项为Tr+1=(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|
=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
16.答案 2 025
解析 依题意,令x=1,得(5-3)n=32,解得n=5,则该式为,其展开式的通项为Tr+1==55-r·(-3)r·,
令r-5=1,得r=4,所以x的系数为55-4×(-3)4×=2 025.
故答案为2 025.
17.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为Tr+1=(mx)r=mrxr,所以a3=m3,a6=m6,
依题意得m6+14m3=0,即210m6+14×120m3=0,整理得m3(m3+8)=0,因为m≠0,所以m3=-8,所以m=-2.
(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2)10=1.①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2)10=310.②
①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+310,
即a0+a2+a4+a6+a8+a10=.
又a0=(-2)0=1,
所以a2+a4+a6+a8+a10=-1==29 524.
能力提升练
1.C 易得(1-2x)7的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk,则的展开式的通项为(-2)kxk-1,令k-1=2,得k=3,所以x2的系数为(-2)3=-280.故选C.
2.A 的展开式的通项为Tr+1=
(2x)5-r=(-1)r25-rx5-2r,
令5-2r=-1,得r=3,
令5-2r=0,得r=(舍去),
所以(x+1)的展开式的常数项为(-1)3×22×=-40.故选A.
3.B 的展开式的通项为Tr+1=,r≤10,r∈N.
的展开式的通项为Tk+1=xr-2 021k,k≤r,k∈N,
令r-2 021k=2,可得r=2+2 021k,
只有k=0,r=2满足题意,
故x2的系数为×=45,
故选B.
4.A 的展开式的通项为Tr+1== ,
令=-,得r=3,
此时(ax-1)的展开式中含的项的系数为a=7a,
令=,得r= N,舍去,
所以(ax-1)的展开式中含的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.
5.A 由x(x-2)8=[(x-1)+1][(x-1)-1]8知,
当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取(x-1)5(-1)3,其系数为-56,
当第一个因式取1时,第二个因式取
(x-1)6(-1)2,其系数为28,
故a6=-56+28=-28.
故选A.
6.答案 10
解析 (x+2y)(x-y)5=(x+2y)(x5-x4y+x3y2-x2y3+x1y4-y5),
故它的展开式中x3y3的系数为-+2=10,故答案为10.
7.答案 3
解析 因为(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,所以(a+x)(1+x)4的展开式中含x的奇数次幂的项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.
8.A 由题意,令x=1,可得a0+a1+…+a7=(1+1)(a-1)6=2×(a-1)6=0,解得a=1,
∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x×(1-x)6,
∴展开式中x3的系数为(-1)3+(-1)2=-20+15=-5,故选A.
9.答案 -160;15
解析 令x=0,得25×(-5)=a0,即a0=-160.
a5为x5的系数,由(x+2)5(2x-5)=2x(x+2)5-5(x+2)5可知,x5的系数为×21×2+×(-5)=15,即a5=15.
10.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,
令x=,得×=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
故答案为512.
11.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27.
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,①
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,②
①+②得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
∴a0+a2+…+a8=-940.
12.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.
13.答案 -8
解析 等式两边同时对x求导,可得8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4=-8.
14.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵=56,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56×
,
整理可得=1,
即n2-11n-60=0,
解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=,可得=a0++++…+=0,
∴++…+=-1.
15.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-×26×0.05+×25×0.052-…-0.057≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
16.B 1-90+902-903+…+9010=(1-90)10=(1+88)10=1+88+882+883+…+8810=1+88(+88+882+…+889),所以1-90+902-903+…+9010除以88的余数是1,故选B.
17.D 因为51=52-1,所以512 020=(52-1)2 020=522 020-522 019+…-521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
18.解析 302 020=(28+2)2 020=282 020+×282 019×2+…+×28×22 019+22 020=28×(282 019+×282 018×2+…+×22 019)+22 020,
故只需求出22 020被7除的余数即可,
因为22 020=2×8673=2×(7+1)673=2×(7673+×7672+×7671+…+×7+1)=2×7×(7672+×7671+×7670+…+)+2,所以余数为2.