6.3.2　二项式系数的性质（Word含解析）

6.3.2　二项式系数的性质
基础过关练
题组一　杨辉三角
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20 B.21
C.22 D.23
2.下图中的数满足:①第n行首尾两数均为n;②图中的递推关系与杨辉三角类似,则第n(n≥2)行的第2个数是　　　　.
1
2　2
3　4　3
4　7　7　4
5 11 14 11 5
……
3.(2020广东江门一中高二上期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为　　　　.
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
……
1　10　45　…　45　10　1
4.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5 10 10 5　1
……
题组二　二项式系数的性质
5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为(　　)
A. B. C.- D.-
6.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
7.在(1-3x)n(n∈N*)的展开式中,偶数项的二项式系数的和为128,则展开式的中间项为(　　)
A.-4 536x4 B.-5 670x4 C.5 670x4 D.4 536x4
8.(2020山东烟台高二下月考)若(n∈N*)的展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.120
9.在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)各二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.
10.已知(n∈N*)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
能力提升练
题组一　杨辉三角
1.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如=+,=+,=+,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　.
　
　　
　　　
　　　　
……
2.(2020安徽合肥一中、安庆一中等六校高三上第一次素质测试,)我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,记作数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则S67=　　　　.
题组二　二项式系数的性质
3.(2020重庆第八中学高三下月考,)(mx+)n(n∈N*)的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.40 B.30 C.20 D.10
4.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考,)已知在(n∈N*)的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,则展开式的有理项的项数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选)(2020山东烟台高三新高考模拟,)已知(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　)
A.展开式的奇数项的二项式系数的和为256
B.展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
6.(多选)(2020山东东营胜利一中高二下月考,)已知n为满足S=a++++…+(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值,则的展开式中,二项式系数最大的项为(　　)
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
7.(2020上海浦东华东师范大学第二附属中学高二下月考,)已知(n∈N*)的展开式的二项式系数和比(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
8.(2020河北衡水高二下月考,)在(n≠7,且n∈N*)的展开式中,
(1)若所有二项式系数之和为256,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,求展开式中各项的系数的绝对值之和.
答案全解全析
6.3.2　二项式系数的性质
基础过关练
1.C　观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
2.答案　
解析　由题图中数字的规律可知,第n(n≥2)行的第2个数是1+2+3+…+(n-1)+1=+1=.
3.答案　1 024
解析　由题图得最后一行各数之和为+++…+=210=1 024.
4.答案　34
解析　∵在第n(n≥14,n∈N*)行中,即(a+b)n的展开式中,第14个与第15个二项式系数分别为和,∴∶=2∶3,即=,∴n=34.
5.B　(2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为=,故选B.
6.B　第6项的二项式系数为,又=,所以第6项与第16项的二项式系数相同,故选B.
7.C　偶数项的二项式系数的和为2n-1=128=27,即n=8,故展开式的中间项为T5=×(-3x)4=5 670x4.故选C.
8.B　∵++…+=2n=64,
∴n=6,
∴该式为,其展开式的通项为
Tr+1=x6-2r,
令6-2r=0,得r=3,
∴常数项为T4==20,
故选B.
9.解析　(1)(2x-3y)10的展开式中各二项式系数的和为+++…+=210=1 024.
(2)令x=1,y=1,得(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,
所以各项系数的和为1.
(3)(2x-3y)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为+++…+=29=512,
偶数项的二项式系数的和为++…+=29=512.
10.解析　由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为.
(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项为Tr+1=()8-r·=(-2)r,
令4-=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.
(3)展开式中的第r项,第r+1项,第r+2项的系数的绝对值分别为·2r-1,·2r,·,设第r+1项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N*).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792.
由n=8知第5项的二项式系数最大,即T5=1 120x-6.
能力提升练
1.答案　
解析　将杨辉三角中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为=.
2.答案　2 048
解析　将数列{an}中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角.如图所示:
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
……
使得行数与该行的项数相等,则第k行最后一项在数列{an}中的项数为,
设a67位于第k(k∈N*)行,则<67≤,解得k=12,
且第11行最后一项在数列{an}中的项数为=66,
∴a67位于杨辉三角的第12行第1个,
而第一行各项的和为20=1,第二行各项的和为21=2,第三行各项的和为22=4,
依此类推,第k行各项的和为2k-1,
∴S67=(20+21+22+…+210)+=+1=211=2 048.
3.D　(mx+)n的展开式中,各二项式系数和为2n=32,∴n=5.
令x=1,可得各项系数的和为(m+1)5=243=35,∴m=2,
∴(mx+)n=(2x+)5,其展开式的通项为Tr+1=·25-r·,令5-=3,可得r=4,
故展开式中x3的系数为×2=10,故选D.
4.C　∵的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,∴n=16,
∴=,其展开式的通项为Tr+1=()16-r=(-2)r·,
当∈Z时,Tr+1为有理项,
∵0≤r≤16且r∈Z,∴r=4,10,16符合要求,
∴有理项有3项,分别为第5,11,17项.
故选C.
5.BCD　由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,
又展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1,
所以=(x2+)10,
其展开式的各二项式系数的和为210=1 024,则奇数项的二项式系数的和为×1 024=512,故A错误;
由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,所以展开式的各项的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与二项式系数相等且最大,故B正确;
若展开式中存在常数项,则展开式中存在x的指数为0的项,由通项Tr+1=x2(10-r)·=,可得当20-r=0,即r=8时,符合要求,故C正确;
由通项Tr+1=可得,当20-r=15时,r=2,所以展开式中含x15项的系数为=45,故D正确.
故选 BCD.
6.AB　S=a++++…+
=a++++…+-1=a+227-1=(9-1)9+a-1=99-98+97-96+95-94+93-92+9-+a-1
=9(98-97+…+)+a-2,
∵a≥3,∴S能被9整除的正整数a的最小值是a-2=9,∴a=11.
∴n=11,
∴=,其展开式的二项式系数最大的项为第6,7项.
故选AB.
7.解析　(+x2)2n的展开式的二项式系数和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,所以=.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即(2x)50=250.
(2)的展开式的通项为Tr+1=(2x)100-r=·2100-r·(-1)r·x100-2r,其系数的绝对值为·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第k+1项,则解得≤k≤,∵k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·(2x)67·=-·267·x34.
8.解析　(1)由已知得++…+=256,
∴2n=256,∴n=8,
∴展开式中二项式系数最大的项是第5项,即=.
(2)易得的展开式的通项为Tr+1=(r=0,1,…,n),
∵第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,
∴×14=×9,解得n=10或n=7(舍去),
因为的展开式中各项的系数的绝对值之和与的展开式中各项的系数之和相等,
所以对于,令x=1,得=,即的展开式中各项的系数的绝对值之和为.