7.1.2　全概率公式（Word含解析）

7.1.2　全概率公式
基础过关练
题组一　全概率公式
1.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为,若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.(多选)(2020山东六市部分学校高三下线上考试)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用事件A1,A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球,白球和黑球;再从乙罐中随机取出一球,用事件B表示从乙罐中取出的球是红球,则下列结论正确的是(　　)
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
3.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组,然后从乙小组中随机抽出1人,则从乙小组中抽出女生的概率是　　　　.
4.(2020山东聊城一中高二模拟)某保险公司把被保险人分为3类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,那么一个被保险人在一年内出事故的概率为　　　　.
5.(2020山东青岛二中高二月考)已知甲袋中有6个红球,4个白球;乙袋中有8个红球,6个白球.随机取一个袋,再从该袋中随机取一球,求该球是红球的概率.
6.(2020辽宁沈阳东北育才中学高二月考)甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔,乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒,然后从乙文具盒中任取两支,求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率.
题组二　贝叶斯公式*
7.李老师一家要外出游玩几天,家里有一盆花交给邻居帮忙照顾,如果这几天内邻居记得浇水,那么花存活的概率为0.8,如果这几天内邻居忘记浇水,那么花存活的概率为0.3,假设李老师对邻居不了解,即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5,几天后李老师回来发现花还活着,则邻居记得浇水的概率为　　　　.
8.(2020山东滕州一中高二月考)设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.001.若从该城市居民中随机选出一人,通过胸透被诊断为肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率.
9.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率.
答案全解全析
7.1.2　全概率公式
基础过关练
1.B　该校一篮球运动员进行投篮练习,记“他第1球投进”为事件A,“他第2球投进”为事件B,
由题知,P(B|A)=,P(B|)=,
又知P(A)=,所以P()=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=×+×==.
故选B.
2.BD　由题意知A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,P(B|A1)===,故B正确;同理,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=,故A不正确;易知C不正确.
故选BD.
3.答案　
解析　根据题意,记事件A1为从甲小组中抽出的1人为男生,事件A2为从甲小组中抽出的1人为女生,事件B为从乙小组中抽出的1人为女生,
则P(A1)=,P(A2)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
4.答案　0.175
解析　设事件B1表示“谨慎的”被保险人,B2表示“一般的”被保险人,B3表示“冒失的”被保险人,则B1,B2,B3构成了Ω的一个划分,设事件A表示被保险人在一年内出事故,则由全概率公式得
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.05×0.2+0.15×0.5+0.3×0.3=0.175.
5.解析　记事件A1为“该球取自甲袋”,事件A2为“该球取自乙袋”,事件B为“该球是红球”,由题意可得,
P(B|A1)==,P(B|A2)==,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
6.解析　记事件Ai为从甲文具盒中取出放入乙文具盒中的黑色笔数为i,i=0,1,2.
记事件B为最后取出的两支笔都为黑色笔,
则P(A0)==,P(A1)==,
P(A2)==.
而P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==.
因此P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×+×+×=.
7.答案　
解析　设事件B表示“邻居记得浇水”,表示“邻居忘记浇水”,A表示“花还活着”,由题意得,P(B)=0.5,P()=0.5,P(A|B)=0.8,P(A|)=0.3,则
P(B|A)=
==.
8.解析　设事件A表示“被诊断为肺结核”,C表示“患有肺结核”.
由题意得,P(C)=0.001, P()=0.999,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.002.
由贝叶斯公式得,
P(C|A)=
=.
9.解析　设事件B表示“中途停车修理”,A1表示“经过的是货车”,A2表示“经过的是客车”,则B=A1B∪A2B,由题意得,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得,
P(A1|B)=
==.