7.2　离散型随机变量及其分布列（Word含解析）

7.2　离散型随机变量及其分布列
基础过关练
题组一　随机变量及离散型随机变量的概念
1.(2020辽宁省实验中学高二下期中)下列随机变量X不是离散型随机变量的是(　　)
A.某机场候机室中一天的游客数量为X
B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C.某水文站观察到一天中长江的水位为X
D.某立交桥一天经过的车辆数为X
2.(2020天津武清高二下期中)同时抛掷3枚硬币,正面朝上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为(　　)
A.3 B.0 C.1、2、3 D.0、1、2、3
3.(2020河北沧州一中高二下阶段测试)抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>4”表示试验的结果为(　　)
A.第一枚为5点,第二枚为1点
B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点
C.第一枚为6点,第二枚为1点
D.第一枚为4点,第二枚为1点
4.一串钥匙有5把,且只有其中的一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值为(　　)
A.5 B.2 C.3 D.4
5.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5回小球”的事件为(　　)
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
6.在某次考试中需回答三个问题,考试规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则某同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为　　　　.
7.在一个盒子中放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.写出随机变量X的可能取值,并说明随机变量X所表示的随机试验的结果.
题组二　离散型随机变量的分布列
8.(2020广东实验中学高二下期中)从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为X,则X的分布列为(　　)
X 0 1 2
P
　　　A
X 1 2 3
P
　　　B
X 0 1 2
P
　　　C
X 0 1 2
P
　　　D
9.一盒中有12个乒乓球,其中9个新球,3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　)
A. B. C. D.
10.(2020云南昆明高二期中)袋中装有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(1)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;
(2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为X,求X的分布列.
11.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如表所示.
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
空气 质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数属于[0,100]的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=假设该企业9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元,求X的分布列.
题组三　离散型随机变量分布列的性质
12.(2020河北阜平一中高二月考)离散型随机变量X的分布列如表所示,则c等于(　　)
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 c
A.0.1 B.0.24 C.0.01 D.0.76
13.(2020四川乐山高三调研)离散型随机变量X的分布列如表所示,则P(|X-2|=1)=　　　　.
X 1 2 3 4
P m
14.(2020北京第二中学高二上期末)离散型随机变量X的分布列如表所示.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则x=　　　　,P(X≤3)=　　　　.
15.(2020河北张家口第一中学高二下月考)已知离散型随机变量X的分布列P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求P;
(3)求P.
16.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组四　两点分布
17.(2020安徽亳州第二中学高二下期末)已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为(　　)
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
A. B. C.或 D.
18.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于(　　)
A.0 B. C. D.
19.已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为　　　　.
能力提升练
题组一　离散型随机变量分布列的性质及其应用
1.(2020北京丰台十二中高二下月考,)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=a(11-2k)(k=1,2,3,4,5),其中a是常数,则P的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.(2020陕西西安庆安高级中学高二下月考,)设离散型随机变量X的分布列如表所示,则下列各式成立的是(　　)
X -1 0 1 2 3
P 0.10 a 0.10 0.20 0.40
A.P(X<1.5)=0.4 B.P(X>-1)=1
C.P(X<3)=1 D.P(X<0)=0
3.(2019山西运城康杰中学高二期末,)离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,c为常数, 则 P的值为　　　　.
4.(2020山东烟台高二下期末,)设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=m,k=1,2,3,则m的值为　　　　.
5.(2020浙江新高考名校联考,)已知离散型随机变量X的分布列如表所示,当+取最小值时,x=　.
X 1 2 3
P x y
题组二　求离散型随机变量的分布列
6.(2020湖南株洲高二上期中,)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)求随机变量X的分布列.
7.(2020北京顺义牛栏山一中高三模拟,)由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5 860　6 520　7 326　6 798　7 325　8 430　8 215　7 453　7 446　6 754
7 638　6 834　6 460　6 830　9 860　8 753　9 450　9 860　7 290　7 850
对这20个数据按组距为1 000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x).
组别 步数分组 频数
A 5 500≤x<6 500 2
B 6 500≤x<7 500 10
C 7 500≤x<8 500 m
D 8 500≤x<9 500 2
E 9 500≤x<10 500 n
(1)写出m,n的值;
(2)从A,E两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为X,求X的分布列.
8.(2020江西南昌第二中学高三一模,)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需花费100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
深度解析
答案全解全析
7.2　离散型随机变量
及其分布列
基础过关练
1.C　选项A、B、D中的随机变量X的可能取值都可以一一列出,因此它们都是离散型随机变量;
C中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,无法一一列出,故不是离散型随机变量.故选C.
2.D　同时抛掷3枚硬币,正面朝上的个数可能为0、1、2、3.故选D.
3.C　由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”,差的最大值为6-1=5,而X>4只有一种情况,即X=5,此时第一枚为6点,第二枚为1点,故选C.
4.D　由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,故X的最大值为4,故选D.
5.C　根据题意可知,如果没有抽到红球,则将黑球放回,然后继续抽取,抽取次数X的可能取值为1,2,3,…,所以“放入袋中5回小球”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
6.答案　-300,-100,100,300
解析　若答对0个问题,则得分为-300;若答对1个问题,则得分为-100;若答对2个问题,则得分为100;若问题全答对,则得分为300.
7.解析　因为x,y的可能取值均为1,2,3,所以|x-2|=0或1,|y-x|=0或1或2,
所以X的可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片号码为x,第二次抽到的卡片号码为y,则随机变量X取各值的意义如下:
X=0表示(2,2);
X=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
X=2表示(1,2),(3,2);
X=3表示(1,3),(3,1).
8.A　由题意得X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 1 2
P
故选A.
9.D　因为从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X=4,即旧球增加一个,所以取出的三个球为1个新球,2个旧球,所以P(X=4)==,故选D.
10.解析　(1)摸出的2个小球为异色球的种数为+=19,从8个小球中摸出2个小球的种数为=28,故所求概率 P=.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3.符合条件的摸法有以下三种:
①摸得1个红球,1个黑球,1个白球,共有=12种不同摸法,
②摸得2个红球,1个其他颜色球,共有=24种不同摸法,
③摸得的3个球均为红球,共有=4种不同摸法,
故符合条件的不同摸法有40种.
故P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
可得X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P
11.解析　(1)设Y为选取的3天中空气质量为优的天数,
则P(Y=2)==,
P(Y=3)==,
则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为+=.
(2)根据题意可知X的可能取值为0,220,1 480,
P(X=0)=P(0≤x≤100)==,
P(X=220)=P(100P(X=1 480)=P(250可得X的分布列如表所示.
X 0 220 1 480
P
12.A　由离散型随机变量分布列的性质知,0.2+0.3+0.4+c=1,解得c=0.1.故选A.
13.答案　
解析　易知++m+=1,解得m=.由|X-2|=1得X=3或X=1,故P(|X-2|=1)=P(X=3)+P(X=1)=+=.
14.答案　0.1;0.55
解析　易知0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得x=0.1,
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.25=0.55.
15.解析　由题意得随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性质得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.
(2)解法一:P=P+P+P(X=1)=++=.
解法二:P=1-P=1-=.
(3)∵∴P=P+P
=+=.
16.解析　(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
则P(Y=0)=,
P(Y=1)=+==,
P(Y=4)=+==,
P(Y=9)=.
可得随机变量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y17.A　由离散型随机变量分布列的性质知,解得c=,故选A.
18.D　设失败率为p,则成功率为2p,
∴X的分布列如表所示.
X 0 1
P p 2p
∴p+2p=1,解得p=,
∴P(X=1)=,故选D.
19.答案　
X 0 1
P
解析　由题意得,X的可能取值为0,1,
P(X=0)==,
P(X=1)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 1
P
能力提升练
1.D　由题意得a(9+7+5+3+1)=1,解得a=,
∴P=P(X=3)+P(X=4)=+=,故选D.
2.A　根据分布列的性质可得,0.10+a+0.10+0.20+0.40=1,解得a=0.20,
所以P(X<1.5)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.10+0.20+0.10=0.4,
故A成立;
P(X>-1)=1-P(X=-1)=1-0.10=0.9,
故B不成立;
P(X<3)=1-P(X=3)=1-0.40=0.6,故C不成立;
P(X<0)=P(X=-1)=0.10,故D不成立.
故选A.
3.答案　
解析　∵P(X=k)=,k=1,2,3,4,
∴+++=1,解得c=,
∴P=P(X=1)+P(X=2)=+=.
4.答案　
解析　由题意得,P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
由离散型随机变量分布列的性质知,
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,
即++=1,解得m=.
5.答案　
解析　由题意得,x+y=(x>0,y>0),
所以+=2(x+y)·=2≥2×(5+4)=18,
当且仅当y=2x,即x=,y=时取等号,此时+取得最小值18.
6.解析　(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件A,
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”,
∴P()==,∴P(A)=1-=.
(2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)===,
P(X=5)===.
可得X的分布列如表所示.
X 2 3 4 5
P
7.解析　(1)根据20个数据可得步数在[7 500,8 500)范围的有4个,所以m=4,步数在[9 500,10 500)范围的有2个,所以n=2.
(2)A,E两个组别共有4个数据:5 860,6 460,9 860,9 860.从中任取两个数据有6种取法,X的可能取值为 0,600,3 400,4 000,
P(X=0)=,P(X=600)=,
P(X=3 400)==,
P(X=4 000)==.
可得X的分布列如表所示.
X 0 600 3 400 4 000
P
8.解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=×=.
(2)由题意可知,随机变量X的可能取值为200,300,400.
则P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)==.
可得X的分布列如表所示.
X 200 300 400
P
解题反思　求P(X=400)时,可利用离散型随机变量分布列的性质,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.