7.4.1　二项分布（Word含解析）

7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
题组一　伯努利试验及其概率计算
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④
2.(2020天津河北区高三下模拟)某同学通过普通话二级测试的概率是,若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是,则n=(　　)
A.1 B.2 C.6 D.7
4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是、.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二　二项分布的分布列及概率计算
5.设随机变量X~B,则P(X=3)等于(　　)
A. B. C. D.
6.(2020四省八校双教研联盟高三上联考)设随机变量X~B,则P(27.(2019山西临汾一中高二下期中)某处有3个水龙头,调查表明每个水龙头被打开的概率均为0.1,各个水龙头是否被打开互不影响,随机变量X表示水龙头同时被打开的个数,则P(X=2)=　　　　.(用数字作答)
8.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
9.(2020山东菏泽高二下期末)假设某种人寿保险规定:若投保人没活过65岁,则保险公司要赔偿10万元;若投保人活过65岁,则保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付4万元.已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,随机抽取其中的4个投保人,设其中活过65岁的人数为X,保险公司支出给这4人的总金额为Y万元.(参考数据:0.94=0.656 1)
(1)求X的分布列,并写出Y与X的关系;
(2)求P(Y≥22).
题组三　二项分布的期望与方差
10.(2020浙江湖州中学高二下月考)已知随机变量X~B,则E(X),D(X)分别为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A., B.,
C., D.,
11.(2020山东泰安二中高三上月考)已知随机变量X,Y满足X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别为(　　)
A.6,2.4 B.6,5.6
C.2,2.4 D.2,5.6
12.(2020河北辛集中学高三下模拟)在3重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生的次数X的期望和方差分别为(　　)
A.和 B.和
C.和 D.和
13.(2019河南洛阳高二质量检测)设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若E(X)=,则P(Y≥3)=　.
14.(2020北京朝阳高三上期末)某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株,设X为其中成活的株数,若D(X)=2.1,P(X=3)15.由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.
(1)若α的各数位上的数字不重复,求α是偶数的概率;
(2)若α的各数位上的数字可以重复,记随机变量X表示各数位上数字是0的个数,求X的分布列及数学期望.
16.某学校要招聘志愿者,参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列、数学期望和方差.
能力提升练
题组一　二项分布的概率
1.(2020天津塘沽一中高三二模,)袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋中一次性摸出两个球,记下号码并放回,若两个号码的和是3的倍数,则获奖.现有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.(2020湖南长沙长郡中学高三一模,)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏.其游戏规则:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)(2020河北衡水枣强中学高二上期末,)一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球,其中有n个红球,若有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于,则n的值可能为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2019河北示范性高中高三下联考,)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当n=　　　　时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为　　　　.
题组二　二项分布的期望与方差
5.(2020山东莱州一中高二下阶段检测,)某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则:盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取两张卡片,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽取两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用X表示获奖的人数,那么E(X)+D(X)=(　　)
A. B. C. D.
6.(2020湖北武汉二中高二下月考,)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=4,D(X)=q,则+的最小值为(　　)
A.2 B. C. D.4
7.(2020重庆西南大学附属中学高三上期末,)网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查,得到不同年龄段的网民在网上购物的情况,并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:
年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
频数 15 45 45 30 8 7
在网上购 物的人数 12 33 35 15 3 2
若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年,把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人,把年龄大于或等于65岁的视为老年人,将频率视为概率.
(1)在青少年、中年人、老年人中,哪个群体网上购物的概率最大
(2)现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人,设其中网上购物的人数为X,求X的分布列及期望.
答案全解全析
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
1.C　由伯努利试验的概念知①②③正确,④错误.
2.C　由题意知,该同学连续测试3次,只有第3次通过的概率P=×=.故选C.
3.B　由题意知,摸到红球的概率为,摸到白球的概率为,则有放回地摸球2次,恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率为×=,解得n=2或n=(舍去),故选B.
4.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1.
则P(A1)=××=.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=××+××=,
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为.
5.A　由二项分布的概率公式可得,P(X=3)=××=,故选A.
6.答案　
解析　因为随机变量X~B,
所以P(2=+=.
7.答案　0.027
解析　由题意得P(X=2)=×0.12×0.9=0.027.
8.解析　(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为=.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为
+=,所以可看作3重伯努利试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
9.解析　(1)由于每个投保人能活过65岁的概率都为0.9,因此X服从二项分布,即X~B(4,0.9),则P(X=k)=0.9k×(1-0.9)4-k(k=0,1,2,3,4),故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.000 1 0.003 6 0.048 6 0.291 6 0.656 1
因为4个投保人中,活过65岁的人数为X,则没活过65岁的人数为4-X,
因此Y=10(4-X)+4X,
即Y=40-6X(X=0,1,2,3,4).
(2)由Y≥22得40-6X≥22,即X≤3,
所以P(Y≥22)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-P(X=4)=1-0.656 1=0.343 9.
所以P(Y≥22)=0.343 9.
10.D　因为随机变量X~B,
所以E(X)=2×=,
D(X)=2××=.
故选D.
11.C　∵X~B(10,0.6),
∴E(X)=10×0.6=6,
D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
∵X+Y=8,∴Y=8-X,
∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=2,
D(Y)=D(8-X)=D(X)=2.4.
故选C.
12.A　由题意,设事件A在每次试验中发生的概率为p,
因为事件A至少发生一次的概率为,
所以1-(1-p)3=,解得p=,
则X~B,
所以E(X)=3×=,
D(X)=3××=.
故选A.
13.答案　
解析　∵X~B(2,p),∴E(X)=2p=,
∴p=,∴Y~B,
∴P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=+=.
14.答案　0.7
解析　由题意可知X~B(10,p),
∴
即
解得p=0.7.
15.解析　(1)由0,1,2,3,4组成的五位数共有-=96个,
其中是偶数的分为两类:
第一类,个位是0,有=24个;
第二类,个位是2或4,有=36个,
所以α是偶数的概率P==.
(2)因为首位一定不为0,第2位至第5位上数字为0的概率均是,且相互独立,所以X~B,所以P(X=k)=×,k=0,1,2,3,4,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=4×=.
16.解析　(1)由题意得,甲通过初试的概率P1=+=,
乙通过初试的概率P2=+=.
∵>,∴甲通过初试的可能性更大.
(2)设乙答对试题的个数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,
∴P(X=k)=(k=0,1,2,3,4),
易知Y=5X,
∴Y的分布列为
Y 0 5 10 15 20
P
E(Y)=5×4×=15,
D(Y)=25×4××=.
能力提升练
1.C　从6个小球中摸出两个小球,共有=15种情况,
两个球的号码之和是3的倍数,共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)5种情况,
∴获奖的概率是=,
因此5人参与摸球,相当于5重伯努利试验,且每次获奖的概率均为,
∴所求概率P==.
故选C.
2.B　由题意得,每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为,
若小军和大明进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,比赛至第四局小军胜出,则前3局中小军胜2局,第四局小军胜,
∴所求概率P=×=.
故选B.
3.ABC　设每次取到红球的概率为p(0由题意得p2(1-p)2>,即p(1-p)>,
解得因为p=,所以n=12p∈(4,8),
所以n=5或6或7.故选ABC.
4.答案　5或6;
解析　对一个坑而言,要补播种的概率P=+=,
则有3个坑要补播种的概率为·=.
要使最大,
只需
解得5≤n≤6,所以n=5或n=6.
当n=5时,=,
当n=6时,=,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为.
5.A　设盒中印有“环保会徽”图案的卡片有n张,则印有“绿色环保标志”图案的卡片有(10-n)张,
由题意得=,所以n=6,
所以参加者每次从盒中抽取两张卡片,获奖的概率P==,
因此X~B,
所以E(X)+D(X)=4×+4××=.故选A.
6.C　由题意得E(X)=4=np,
D(X)=q=np(1-p),
所以=4,即p+=1(p>0,q>0),
所以+==++≥+2=+1=,
当且仅当q=2p=,即q=,p=时取等号.故选C.
7.解析　(1)由题表中的数据知,青少年网上购物的概率为==,
中年人网上购物的概率为=,
老年人网上购物的概率为,
因为>>,
所以青少年网上购物的概率最大.
(2)由题意及(1)知,X~B,
P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)==.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=4×=3.