7.5　正态分布（Word含解析）

7.5　正态分布
基础过关练
题组一　正态曲线及其特点
1.(2020山东潍坊临朐一中高三阶段检测)设随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),则(　　)
A.E(X)=3,D(X)=7
B.E(X)=6,D(X)=
C.E(X)=3,D(X)=
D.E(X)=6,D(X)=7
2.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),X和Y的正态密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
3.(多选)(2020山东青岛胶州一中高二上期末)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3
C.μ1=μ2 D.σ2<σ3
4.(多选)(2020湖南师大附中高二上期末)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别近似服从正态分布N(μ1,)、N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
5.(2020山东菏泽一中高二月考)已知正态总体的概率密度函数为f(x)=(x∈R),则总体的平均数和标准差分别是　　　　,　　　　.
题组二　正态分布的概率计算
6.(2020重庆巴蜀中学高三适应性考试)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,则P(3≤X≤5)=(　　)
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
7.(2020福建厦门高三线上质量检查)设随机变量X~N(μ,σ2),若P(X≤1)=0.3,P(1A.1 B.2 C.3 D.4
8.在某市的高二期末考试中,理科学生的数学成绩X~N(90,σ2),已知P(709.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求P(-4≤X≤8).
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
题组三　正态分布的应用
10.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量,在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ]和[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别约为68.3%,95.4%和99.7%.某大型国有企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高(单位:cm)服从正态分布N(173,52),则适合身高在[163,183]范围内员工穿的工作服大约要定制(　　)
A.6 830套 B.9 540套
C.9 520套 D.9 970套
11.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管,其口径误差X(单位:微米)服从正态分布N(1,32),从已经生产出的枪管中随机取出一只,则其口径误差在区间(4,7]内的概率为(　　)
(若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%)
A.31.74% B.27.18% C.13.59% D.4.56%
12.(2020四川德阳高三二模)随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制订学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30 000名高中男生的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,σ2),且P(172≤X≤180)=0.4,试估计该市身高高于180 cm的高中男生人数.
13.某工厂生产某款机器零件,因为要求精度比较高,所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制定了质量指标值,从生产的大批零件中选取100件作为样本进行评估,根据评估结果作出如图所示的频率分布直方图.
(1)(i)根据频率分布直方图求a及这100件零件的质量指标值的平均数μ;
(ii)以样本估计总体,经过专家研究,零件的质量指标值X~N(μ,225),试估计10 000件零件中质量指标值在[185,230]内的件数;
(2)设每件零件利润为y元,质量指标值为x,利润y与质量指标值x之间满足函数关系y=假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,试估算该批零件每件的平均利润.(结果四舍五入,保留整数)
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
能力提升练
题组一　正态分布及其概率计算
1.(多选)()设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≤x),其中x>0,则下列等式成立的有(　　)
A.f(-x)=1-f(x)
B.f(2x)=2f(x)
C.P(|X|≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|>x)=2-f(x)
2.(2020广东佛山高三统一调研测试,)测量某一目标的距离时,所产生的随机误差X服从正态分布N(20,102),如果独立测量3次,至少一次测量误差在[0,30]内的概率是　　　　.
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.99,0.1852≈0.03,0.1853≈0.006,0.8152≈0.66,0.8153≈0.541.
题组二　正态分布的应用
3.(2020海南海口第四中学高三上月考,)某市高三理科学生有30 000名,在一次调研测试中,数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),已知P(80≤X<100)=0.45,若按分层随机抽样的方式抽取200份试卷进行成绩分析,则应从120分以上的试卷中抽取(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5份 B.10份
C.15份 D.20份
4.(2020河南名校高三线上联考,)某单位有800名员工,工作之余,工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计,得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位:千步)的频率分布直方图如图所示.根据直方图可以认为,该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布,计算得其方差为6.25.由此估计,在这段时间内,该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步(含2千步和4.5千步)的人数约为(　　)
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.同一组的数据用该组区间的中点值代表.
A.103 B.105 C.107 D.109
5.(2020山东烟台高二下期中,)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为　　　　,如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有　　　　人.
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96)
6.(2020湖南三湘名校联盟高三联考,)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)>0.954 5,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常,并说明理由.
答案全解全析
7.5　正态分布
基础过关练
1.A　∵随机变量X~N(μ,7),且P(X<2)=P(X>4),
∴σ2=7,μ=3,∴E(X)=3,D(X)=7.
故选A.
2.D　A项,由题图可知,直线x=μ1为X的正态密度曲线的对称轴,直线x=μ2为Y的正态密度曲线的对称轴,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)=P(X≤σ1),故B错;C项,对任意正数t,P(X>t)t),即有P(X≥t)t)t),因此有P(X≤t)≥P(Y≤t),故D正确.故选D.
3.AD　根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠近右边,所以μ1<μ2=μ3,B、C错误;
又σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,所以σ1=σ2<σ3,A、D正确.故选AD.
4.ABC　由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,σ1<σ2,则A、B、C都正确,D不正确.故选ABC.
5.答案　0;2
解析　∵正态总体的概率密度函数为f(x)=(x∈R),∴总体的平均数为0,标准差为2.
6.D　∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴正态曲线关于直线x=3对称,
又P(X<1)=0.1,∴P(X>5)=0.1,
∴P(3≤X≤5)===0.4,故选D.
7.C　由于随机变量X~N(μ,σ2),满足P(X≤1)=0.3,P(1因此P(X≥5)=1-0.3-0.4=0.3=P(X≤1),根据正态曲线的对称性可知μ==3.
故选C.
8.答案　0.85
解析　∵X~N(90,σ2),∴μ=90,
又P(70∴P(90≤X<110)=0.35,
∴P(X≥110)==0.15,
则P(X<110)=1-0.15=0.85.
∴该学生的数学成绩小于110分的概率为0.85.
9.解析　(1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称,
因为P(X>c+1)=P(X所以2-(c-1)=(c+1)-2,
解得c=2.
(2)由X~N(2,9)得μ=2,σ=3,
所以P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
10.B　设身高为X,则X~N(173,52),
∴P(163≤X≤183)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,
工作服大约要定制0.954×10 000=9 540套.
11.C　P(4≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
故选C.
12.解析　全市30 000名高中男生的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,σ2),且P(172≤X≤180)=0.4,
则P(X>180)==0.1,
所以该市身高高于180 cm的高中男生人数大约为30 000×0.1=3 000.
13.解析　(1)(i)由10×(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a)=1,
得a=0.002.
μ=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.
(ii)由(i)知X~N(200,152),
所以P(185≤X≤230)≈+=0.818 6.
10 000×0.818 6=8 186,
所以10 000件零件中质量指标值在[185,230]内的件数约为8 186.
(2)由题意得
y=0.8×170×0.02+0.8×180×0.09+0.8×190×0.22+0.8×200×0.33+(0.16×210+200)×0.24+(0.16×220+200)×0.08+(0.16×230+200)×0.02=181.536≈182,
所以估计该批零件每件的平均利润为182元.
能力提升练
1.AC　∵随机变量X服从正态分布N(0,1),
∴正态曲线关于直线x=0对称,
∵f(x)=P(X≤x)(x>0),
∴根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X>x)=1-f(x),所以A正确;
f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),所以B错误;
P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2f(-x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,所以C正确;
P(|X|>x)=P(X>x或X<-x)=1-f(x)+f(-x)=1-f(x)+1-f(x)=2-2f(x),所以D错误.故选AC.
2.答案　0.994
解析　由题意可知,在一次测量中误差在[0,30]内满足μ-2σ≤X≤μ+σ,
其概率P=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈×(0.95+0.68)=0.815,
测量3次,每次测量误差均不在[0,30]内的概率为(1-0.815)3=0.1853≈0.006,
∴独立测量3次,至少一次测量误差在[0,30]内的概率是1-0.006=0.994.
3.B　由题得P(X>100)=0.5,
P(100∴P(X>120)=P(X>100)-P(100∴应从120分以上的试卷中抽取200×0.05=10份.故选B.
4.D　由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值μ=1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02=6.96≈7,
设日均健步走步数为X(单位:千步),则X~N(7,6.25),
∴σ=2.5,则μ-σ=4.5,μ-2σ=2,∴P(2≤X≤4.5)≈(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
∵800×0.135 9≈109,∴日均健步走步数在2千步至4.5千步(含2千步和4.5千步)的人数约为109,故选D.
5.答案　0.16;10
解析　P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=0.5-≈0.16,
P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=0.5-≈0.16,
因为成绩在117.5分以上的学生有80人,
所以高三考生总人数约为=500,
P(X>135)=P(X>μ+2σ)=0.5-≈0.02,
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10人.
6.解析　(1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60.
σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2]×0.35≈25.
(2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生,其体重在[55,65)的概率为0.7.
随机抽取3人,相当于3重伯努利试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7),
P(X=0)=×0.70×0.33=0.027,
P(X=1)=×0.7×0.32=0.189,
P(X=2)=×0.72×0.3=0.441,
P(X=3)=×0.73×0.30=0.343,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
E(X)=3×0.7=2.1.
(3)由题意知Y服从正态分布N(60,25),
则P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)=P(50≤Y≤70)=0.96>0.954 5,
所以该校学生的体重是正常的.