5.3 平行线的性质(基础讲解)（含解析）

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5.3 平行线的性质
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；21教育网
【知识总结】
一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
【注】
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．21·cn·jy·com
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
【注】
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．【来源：21·世纪·教育·网】
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．21·世纪*教育网
三、命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
【注】
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.www-2-1-cnjy-com
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
【注】
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.2-1-c-n-j-y
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
四、平行线的性质与判定的区别与联系
　　1、平行线的“判定”，是为了判断两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。（角的数量关系决定线的位置关系）
　　2、平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理。（线的位置关系决定角的数量关系）21*cnjy*com
3、平行线判定定理的题设是性质定理的结论，判定定理的结论是性质定理的题设。
【典型例题】
【类型】一、平行线的性质
例1． 如图，直线∥，∠1=70°，∠2=30°，则∠A的度数是（　　）
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　 A．30° B． 35° C． 40° D． 50°
【思路点拨】根据平行线的性质得出∠3的度数，然后根据三角形外角的性质即可求得∠A的度数．
【答案】C．
【解析】
解：∵直线∥，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠A=∠3，
∴∠A=∠3﹣∠2=70°﹣30°=40°．
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【总结升华】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【训练】 如图，AB//CD//EF，AM//CN，则图中与∠A相等的角（∠A自己不算）有（ ）个
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A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由AB//CD//EF，AM//C ( http: / / www.21cnjy.com )N，根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等，即可求得∠A＝∠CNB＝∠NGE＝∠NCD＝∠CGF＝∠MEF＝∠AMD．21世纪教育网版权所有
解：∵AB//EF，
∴∠A＝∠MEF，∠CNB＝∠CGF，∠CNB＝∠NGE．
∵AB//CD，
∴∠A＝∠AMD．
∵AM//CN，
∴∠A＝∠CNB，∠CGF＝∠MEF，∠NCD＝∠AMD．
综上所述：∠A＝∠CNB＝∠NGE＝∠NCD＝∠CGF＝∠MEF＝∠AMD．
故选：C．
【点拨】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能准确应用等量代换得出结论．
【类型】二、两平行线间的距离
例2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( )2·1·c·n·j·y
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【版权所有：21教育】
【答案】B
【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．21*cnjy*com
【点评】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．
【类型】三、命题
例3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的 还是错误的
①画直线AB；②两条直线相 ( http: / / www.21cnjy.com )交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【出处：21教育名师】
【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．
【解析】因为①②不是对某一事情作出判断的句子，所以①②不是命题；在③④⑤⑥四个命题中，③④⑥是真命题，⑤是假命题．
【点评】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如问句、陈述句就不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．
【训练】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）对顶角相等；
（3）同角的余角相等.
【答案】
解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.
【类型】四、平行的性质与判定综合应用
例4．如图（1）所示是一根木尺折断后的情 ( http: / / www.21cnjy.com )形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．
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（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
（1）过点E作直线a与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；
（2）方法同（1），过E作直线b与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；
（3）可先分别过点E，F，G，作直线c，d，e与AB，CD互相平行，同样运用平行线的性质证明即可．
解：（1），理由如下：
如图所示，过点E作直线a，使得，
则，，（两直线平行，内错角相等），
∴，
即：；
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（2），理由如下：
如图所示，过点E作直线b，使得，
则，，（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，
∴，
即：；
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（3），理由如下：
如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，
则，，，，（两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴，
∴，
即：．
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【点拨】本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键．
【训练】如图，已知AM∥BN，∠A＝64° ( http: / / www.21cnjy.com )．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．21cnjy.com
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
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【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29°
【分析】
（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；21教育名师原创作品
（2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠D ( http: / / www.21cnjy.com )BN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
解：（1）∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
故答案为：116°；58°；
（2）不变，∠APB=2∠ADB，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．www.21-cn-jy.com
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