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5.3 平行线的性质
一、单选题
1．如图，已知a//b, ∠1=120°, ∠2=90°，则∠3的度数是( )
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A．120° B．130° C．140° D．150°
2．如图，直线l1∥l2，AB与直线l1垂直，垂足为点B，若∠ABC=37°，则∠EFC的度数为（ ）
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A．127° B．133° C．137° D．143°
3．如图，已知直线AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
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A．55° B．60° C．65° D．70°
6．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）21教育网
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A．60° B．50° C．40° D．30°
7．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
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A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
9．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ABE是平角，则下列说法中正确的是（ ）
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A．∠1+∠2=∠3 B．∠1=∠2＞∠3 C．∠1+∠2＜∠3 D．∠1+∠2与∠3的大小没有关系
10．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．140° B．130° C．120° D．110°
11．已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
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A．45° B．60° C．75° D．80°
12．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )
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A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①②④ D．①③
14．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AM⊥b，垂足为点M．如果∠1=58°，那么∠2=（ ）21cnjy.com
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A．32° B．58° C．42° D．122°
15．如图，AB∥CD，∠AGE=128°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是（ ）
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A．46° B．23° C．26° D．24°
二、填空题
16．如图，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E等于___________°．
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17．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度
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18．如图，直线，被直线所截，若∥，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=_______度．
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19．如图，直线 ∥，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_____________°.
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20．如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.
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21．如图，AB∥CD，BE⊥DE．则∠B与∠D之间的关系是______．
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22．如图，在△ABC中，∠B＝46°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是___________.2·1·c·n·j·y
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23．如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是__．【来源：21·世纪·教育·网】
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24．将一副直角三角板ABC和ADE如图放置 ( http: / / www.21cnjy.com )（其中∠B=60°，∠E=45°），已知DE与AC交于点F，AE∥BC，则∠AFD的度数为__．21·世纪*教育网
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三、解答题
25．(1)如图①，AB∥CD,那么∠A+∠C= 度
（2）如图②，AB∥CD∥EF,那么∠A+∠AEC+∠C= 度
(3)如图③，AB∥GH∥MN∥CD,那么∠A+∠AGM+∠GMC+∠C= 度，并说明理由．
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26．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC="70"o，求∠AGD．
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27．如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A＋∠ADE＝180°，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC的度数.
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28．如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠1＝∠2，求证：∠EDC＋∠ACB＝180°．
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29．已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．
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30．将一副直角三角尺（即直角三角形AO ( http: / / www.21cnjy.com )B和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在△COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°时，①试说明CO平分∠AOB； ②试说明OA∥CD（要求书写过程）；www-2-1-cnjy-com
（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC=45°是否成立，并说明理由．2-1-c-n-j-y
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5.3 平行线的性质
一、单选题
1．如图，已知a//b, ∠1=120°, ∠2=90°，则∠3的度数是( )
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A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】
延长的边与直线相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.21世纪教育网版权所有
【详解】
如图，延长的边与直线相交，
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，
，
由三角形的外角性质可得，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键.21教育网
2．如图，直线l1∥l2，AB与直线l1垂直，垂足为点B，若∠ABC=37°，则∠EFC的度数为（ ）
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A．127° B．133° C．137° D．143°
【答案】A
【详解】
因为AB与直线l1垂直，垂足为点B，∠ABC=37°，
所以∠CBD=90°-∠ABC=53°；又因为直线l1∥l2，
所以∠CBD=∠BFG=53°（两直线平行，同位角相等），
所以∠EFC=180°-∠BFG=127°．
故选A
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3．如图，已知直线AB、CD被直线AC所 ( http: / / www.21cnjy.com )截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.
【详解】
E点有4中情况，分四种情况讨论如下：
由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α
过点E2作AB的平行线，由AB∥CD，
可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β
∴∠AE2C=α+β
由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β
由AB∥CD，可得
∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β
∴∠AEC的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.
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【点睛】
此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.
4．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】解：∵EC=EA．∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D．【来源：21cnj*y.co*m】
点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
5．如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
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A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
试题分析：如图：
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∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选C．
考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角、邻补角；3．平行线的性质
6．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）【出处：21教育名师】
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A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出∠FHE的度数，再根据外角的性质求出∠1的度数即可．
【详解】
解：如图所示，
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∵△GEF是含30°角的直角三角板，
∴∠FGE=30°，
∵∠2=60°，
∴∠FHE=∠2=60°，
∴∠1=∠FHE-∠G=30°，
故选D．
7．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】解：∵EC=EA． ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D．21*cnjy*com
点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
8．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
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A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【答案】D
【解析】
试题解析：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
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∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1=∠AEG，
∴∠GEF=∠2-∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH=180°-∠GEF=180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1，
∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-（180°-∠2+∠1）=∠3+∠2-∠2-180°，
∵FH∥CD，
∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，
故选D．
9．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ABE是平角，则下列说法中正确的是（ ）
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A．∠1+∠2=∠3 B．∠1=∠2＞∠3 C．∠1+∠2＜∠3 D．∠1+∠2与∠3的大小没有关系
【答案】A
【解析】
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠ACB，∠4=∠2，
∵∠CBE=∠4+∠ACB，
∴∠3=∠1+∠2，
∵∠1≠∠2且∠2＜∠3，
故选项B，C，D错误，选项A正确，
故选A．
10．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）21cnjy.com
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A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】B
【详解】
解：∵m∥n，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠ACB ∠3=90° 40°=50°，
∴∠2=180 ∠4=180° 50°=130°
故选B
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11．已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
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A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解析】
延长AB交直线a于C．
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∵a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠CDB+∠CBD，∠CDB=30°，∠CBD=45°，
∴∠1=∠2=75°，
故选C．
12．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )
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A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
【答案】C
【分析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，
∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①②④ D．①③
【答案】C
【解析】
试题解析：①在同一个平面内如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c；
③如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c；故③错误.
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c，
故选C.
14．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AM⊥b，垂足为点M．如果∠1=58°，那么∠2=（ ）
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A．32° B．58° C．42° D．122°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．
【详解】
解：∵直线a∥b，∠1=58°，
∴∠ABM=∠1=58°，
∵AM⊥b，垂足为点M，
∴∠AMB=90°，
∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ABM=180°﹣58°﹣90°=32°．
故选A.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理的运用，在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
15．如图，AB∥CD，∠AGE=128°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是（ ）
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A．46° B．23° C．26° D．24°
【答案】C
【详解】
AB//CD，∠AGE=128
HM平分∠EHD
故选C
二、填空题
16．如图，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E等于___________°．
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【答案】25
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质得出结论即可．
【详解】
解：∵直线AB∥CD，∠A=100°，
∴∠EFD=∠A=100°，
∵∠EFD是△CEF的外角，
∴∠E=∠EFD﹣∠C=100°﹣75°=25°．
故答案为25．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，正确分析，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
17．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度
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【答案】80.
【分析】
根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可.
【详解】
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠C=∠1=45°.
∵∠2=35°，
∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°.
故答案为80.
18．如图，直线，被直线所截，若∥，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=_______度．
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【答案】110．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等求出∠4，再根据对顶角相等解答．
【详解】
∵a∥b，∠1=40°，
∴∠4=∠1=40°．
∴∠3=∠2+∠4=70°+40°=110°
故答案为：110．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
19．如图，直线 ∥，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_____________°.
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【答案】140°.
【解析】
试题分析：先根据平行线的性质，由∥得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB∥CD后根据平等线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°供稿计算即可.2-1-c-n-j-y
试题解析：如图，
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∵∥
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β
∴AB∥CD
∴∠2+∠3=180°
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.
考点：平行线的性质.
20．如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.
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【答案】40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB∥EF，
∴∠BEF= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故应填40．21*cnjy*com
“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
21．如图，AB∥CD，BE⊥DE．则∠B与∠D之间的关系是______．
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【答案】互余
【分析】
作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】
解：作EF∥AB，则AB∥EF∥ ( http: / / www.21cnjy.com )CD．
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°，即∠BEF+∠DEF=90°，
∴∠B+∠D=90°．【版权所有：21教育】
∴∠B与∠D之间的关系是互余，
故答案为互余．
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【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
22．如图，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是___________.21教育名师原创作品
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【答案】40°
【解析】
试题分析：根据DE∥AB可求得∠ADE ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BAD，根据三角形内角和为180°和角平分线平分角的性质可求得∠BAD的值，即可解题． ∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠BAD， ∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAD=180°﹣46°﹣54°=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=40°， ∴∠ADE=40°
考点：(1)、三角形内角和定理；(2)、平行线的性质．
23．如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是__．
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【答案】11°．
【解析】
分析：本题考查的是平行线的内错角相等，角平分线的性质和三角形外角的性质.
解析：∵AB//CD，∠D ( http: / / www.21cnjy.com )CE=118°，∴∠AEC=118°, ∵∠AEC的角平分线EF与GF相交线于点F, ∴∠AEF=∠FEC=59°, ∵∠BGF=132°, ∴∠F=11°.
故答案为11°.
24．将一副直角三角板ABC和ADE如图放置 ( http: / / www.21cnjy.com )（其中∠B=60°，∠E=45°），已知DE与AC交于点F，AE∥BC，则∠AFD的度数为__．21·世纪*教育网
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【答案】75°
【解析】
试题分析：∵AE∥BC，∠E=45°，∴∠E ( http: / / www.21cnjy.com )DC=∠E=45°，∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=30°+45°=75°．故答案为75°．
考点：平行线的性质．
三、解答题
25．(1)如图①，AB∥CD,那么∠A+∠C= 度
（2）如图②，AB∥CD∥EF,那么∠A+∠AEC+∠C= 度
(3)如图③，AB∥GH∥MN∥CD,那么∠A+∠AGM+∠GMC+∠C= 度，并说明理由．
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【答案】（1）180;（2）360;(3) 540，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求得； ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）两次运用两直线平行，同旁内角互补即可求得；
（3）与（2）相同，利用同旁内角互补即可求得．
【详解】
解：（1）根据两直线平行，同旁内角互 ( http: / / www.21cnjy.com )补即可求得：∠A+∠C=180°；
（2）∵EF∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵EF∥CD,
∴∠C+∠CE ( http: / / www.21cnjy.com )F=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°
即∠A+∠AEC+∠C=360°；
（3）∠A+∠AGM+∠GMC+∠C=540°;
理由：同（2）可得：∠A+∠AGH+∠HGM+∠GMN+∠NMC+∠C=540°，
即∠A+∠AGM+∠GMC+∠C=540°．
【点睛】
本题利平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
26．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC="70"o，求∠AGD．
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解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（ ）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥DG （ ）
∴∠BAC+ ="180"o（ ）
∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= ．
【答案】、两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
【解析】
试题分析：由EF与AD平行，利用两直线平 ( http: / / www.21cnjy.com )行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DG平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．21·cn·jy·com
试题解析：∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°（已知），
∴∠AGD=110°．
考点：平行线的判定与性质．
27．如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A＋∠ADE＝180°，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC的度数.
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【答案】42°
【解析】
证明： ∵∠A＋∠ADE＝180°
∴AB∥DE ……2分www.21-cn-jy.com
∴∠CED＝∠B＝78° ……4分
又∠C＝60°
∴∠EDC＝180°－∠CED－∠C
＝180°―78°―60°
＝42° ……6分
利用平行线的判定和性质求解
28．如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠1＝∠2，求证：∠EDC＋∠ACB＝180°．
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【答案】答案见解析
【解析】
试题分析：首先根据垂直定义 ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠AEC=∠ANM=90°，进而得到EC∥NM，进而得到∠2=∠ECB，再根据等量代换可得∠1=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得DE∥BC，进而得到∠EDC+∠ACB=180°．
29．已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．
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【答案】见解析.
【解析】
试题分析：由 ∠BAP+∠APD = ( http: / / www.21cnjy.com )180°，可得 AB∥CD，从而有 ∠BAP =∠APC，再根据 ∠1 =∠2，从而可得∠EAP =∠APF，得到 AE∥FP，继而得 ∠E =∠F.
试题解析：∵ ∠BAP+∠APD = 180°，
∴ AB∥CD，
∴ ∠BAP =∠APC，
又∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠BAP ∠1 =∠APC ∠2，
即∠EAP =∠APF，
∴ AE∥FP，
∴ ∠E =∠F.
30．将一副直角三角尺（即直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在△COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．
（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°时，①试说明CO平分∠AOB； ②试说明OA∥CD（要求书写过程）；
（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC=45°是否成立，并说明理由．
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【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①当∠AOC=45°时，根据条 ( http: / / www.21cnjy.com )件可求得∠COB=45°可说明CO平分∠AOB；②设CD、OB交于点E，则可知∠CEO=90°，结合条件可证明OA∥CD；
（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，则可得到∠AOD=45°，可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵∠AOB=90°，∠AOC=45°，
∴∠COB=90°﹣45°=45°，
∴∠AOC=∠COB，
即OC平分∠AOB；
②如图，设CD、OB交于点E，
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∵∠C=45°，
∴∠C=∠COB，
∴∠CEO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOB+∠OEC=180°，
∴AO∥CD；
（2）∠AOC=45°，理由如下：
∵CD∥OB，
∴∠DOB=∠D=45°，
∴∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，
∴∠AOC=90°﹣∠AOD=45°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.
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