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6.1 平方根
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.02 B．是16的一个平方根
C．5是的算术平方根 D．的算术平方根是
【答案】A
【分析】
原式各项利用平方根、算术平方根定义判断即可．
【详解】
解：A、∵，
∴0.4的算术平方根不是0.02，故选项A符合题意；
B、-4是16的一个平方根，正确，不符合题意；
C、5是的算术平方根，正确，不符合题意；
D、的算术平方根是，正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】
由于最大的负整数是-1，本题即求-1的相反数，进而求其平方根．
【详解】
解：最大的负整数是-1，根据概念，（-1的相反数）+（-1）=0，
则-1的相反数是1，则这个数是1，1的平方根是，
故选：C．21教育网
【点睛】
本题考查了相反数、负整数的概念及求一个数的平方根，正确掌握相关定义是解题的关键．
3．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．16
【答案】B
【分析】
根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数即可知4的平方根是．
【详解】
4的平方根是．
故选：B．
【点睛】
本题考查求一个数的平方根，注意平方根和算术平方根的区别，避免漏答案．
4．5的平方根是（ ）
A． B． C．25 D．
【答案】B
【分析】
依据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴5的平方根是．
故选择：B．
【点睛】
本题主要考查的是平方根定义和平方根的求法，掌握平方根的性质及相关知识是解题的关键．
5．2的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平方根的定义求解即可．
【详解】
2的平方根是±．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．
6．9的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平方根的定义，可得9的平方根．
【详解】
∵，
∴9的平方根为±3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．
7．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】
解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．21cnjy.com
8．81的算术平方根是（ ）
A． B． C．81 D．9
【答案】D
【分析】
通过算术平方根的计算方法计算即可．
【详解】
．
故选择：D．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
9．若，则的值分别为（ ）
A．5、3 B．5、-3 C．-5、-3 D．-5、3
【答案】B
【分析】
根据绝对值，算术平方根的非负性得到关于a、b的方程，求出a、b即可．
【详解】
解：由题意得a-5=0，b+3=0，
∴a=5，b=-3．
故选：B
【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、算术平方根的性质是解题关键．
10．的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：3的算术平方根是，
故选：B．
【点睛】
本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
11．关于的方程能直接开平方求解的条件是（ ）
A．， B．，
C．为任意数或 D．为任意数且
【答案】D
【分析】
根据任何数或代数式的平方都大于等于0，得到．
【详解】
解：直接开平方要求，
所以a可以为任意实数，．
故选 ：D．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握概念是解题的关键．
12．计算的结果是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
解：==3，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
13．实数8的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平方根的定义解答即可．
【详解】
解：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平方差的定义，掌握平方差与算术平方差的定义是解答本题的关键．
14．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据负的平方根、算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A． ，故本选项符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题考查的是平方根的相关概念，掌握负的平方根、算术平方根和平方根的定义是解题关键．
15．81的平方根是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义求解．
【详解】
∵=81，
∴81的平方根是，
故选：D．
【点睛】
此题考查平方根的定义，熟记定义并掌握平方计算是解题的关键．
16．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②的平方根是-4；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（ ）．www.21-cn-jy.com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【详解】
①5是25的算术平方根，故原命题是真命题；
②的平方根是，故原命题是假命题；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题是真命题；
④两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及到平方根，平行公理，以及平行线的性质，熟练掌握基本定理和性质是解题关键．2·1·c·n·j·y
17．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平方根的性质以及算术平方根的性质进行化简，逐项判断即可．
【详解】
解：∵＝3，
∴选项A不符合题意；
∵±＝±2，
∴选项B不符合题意；
∵＝4，
∴选项C不符合题意；
∵＝3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根的性质以及算术平方根的性质，掌握性质是关键．
18．定义一种运算“☆”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（ ）
A． B．13 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据题目定义的运算法则和算术平方根的运算方法进行计算．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查算术平方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．
19．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】
解：的算术平方根．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
20．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】
直接利用平方根的定义分析得出答案．
【详解】
4的平方根是：．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二、填空题
21．用代数式表示：（1）的3倍与的5倍的比：___________；
（2）正数与1的差的平方根：___________．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由的3倍表示为 的5倍可表示为，从而的3倍与的5倍的比可表示为，从而可得答案；
（2）正数与1的差表示为，从而可得的平方根可表示为，可得答案．
【详解】
解：（1）的3倍与的5倍的比可表示为：，
（2）正数与1的差的平方根可表示为：，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．
22．的倒数是_______，_________．
【答案】-3 15
【分析】
直接根据倒数和算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】
解：∵
∴的倒数是-3；
，
故答案为：-3；15．
【点睛】
此题主要考查了倒数和算术平方根，正确掌握倒数和算术平方根的定义是解题关键．
23．的绝对值是_____，的倒数是_____，的平方根是____．
【答案】3； -2；
【分析】
由绝对值、倒数、平方根的定义直接运算即可．
【详解】
解：-3的绝对值为3；
的倒数是；
∵，∴的平方根是；
故答案为：3；-2；．
【点睛】
本题考查绝对值、倒数、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
24．已知一个数的平方根是和，则________，这个数是_________．
【答案】-3； 64．
【分析】
根据一个数的平方根互为相反数，可得这个数的平方根，再根据互为相反数的和等于0，可得平方根，再根据平方，可得这个数．21*cnjy*com
【详解】
解：∵一个数的两个平方根分别是和，
∴+=0，
解得：=-3，
∴=8，
∴这个数是64，
故答案为：-3；64．
【点睛】
本题考查了平方根，掌握平方根的性质，根据平方根互为相反数构造的方程是解题关键．
25．若，则的值为__________．
【答案】125或-125
【分析】
首先根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可．
【详解】
，
，
．
当时，；
当时，，
故答案为：125或-125．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．
26．已知a，b满足，则_________．
【答案】-2
【分析】
根据绝对值及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．
27．若，则_________．
【答案】-1
【分析】
由非负数的性质可知x=-，y=2，然后求得xy的值即可．
【详解】
解：∵|+（y-2）2=0，
∴2x+1=0，y-2=0，
∴x=-，y=2．
∴xy=-×2=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
28．已知，则x＝_______．
【答案】或3
【分析】
由题意可得，根据，则有，进而求解即可．
【详解】
解：由可得，
∵，
∴，
∴或；
故答案为或3．
【点睛】
本题主要考查平方根，熟练掌握利用平方根解方程是解题的关键．
29．如果的一个平方根等于，那么_____
【答案】256
【分析】
根据平方根可直接进行求解．
【详解】
解：∵的一个平方根等于，
∴，
∴；
故答案为256．
【点睛】
本题主要考查平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键．
30．若是m的一个平方根，则m+14的算术平方根是__________．
【答案】4
【分析】
先根据平方根的定义求出m的值，再求出m+14的算术平方根即可．
【详解】
解：∵是m的一个平方根，
∴m=2，
∴m+14的算术平方根是．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的定义，理解两个定义是解题关键．
三、解答题
31．计算：
（1）；（2）
【答案】（1）10；（2）
【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则和算术平方根的运算法则进行计算；
（2）根据角度的运算法则进行计算．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，算术平方根的计算，角度的计算，解题的关键是掌握这些计算方法．
32．已知．
（1）已知的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】（1）a=-8；（2）1或9．
【分析】
（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；
（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案．
【详解】
解：（1）∵x的算术平方根是3，
∴1-a=9，
∴a=-8；
（2）x，y都是同一个数的平方根，
∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，
解得a=2，或a=4，
当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，
当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，
答：这个数是1或9．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．
33．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再计算即可得到答案；
（2）先分别计算乘方运算，算术平方根，绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查的是有理数的加减运算，有理数的乘方，算术平方根，绝对值的含义，掌握以上知识是解题的关键．
34．已知实数、满足，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据偶次幂及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴的平方根为．
【点睛】
本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性及一元一次方程的解法是解题的关键．21·cn·jy·com
35．已知|a+7|+=0，求-20b的算术平方根．
【答案】13
【分析】
利用非负数的性质得出a，b的值，代入计算即可得出答案．
【详解】
∵|a+7|+=0
∴a+7=0且=0
∴a=-7，b=-6
将a=-7，b=-6代入-20b得：
-20b=49-20×（-6）
=49+120
=169
-20b的算术平方根是13．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和算术平方根的计算，正确解出a，b的值是解题的关键．
36．计算题：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先计算被开方数，再利用算术平方根的含义求解即可得到答案；
（2）先计算括号内的乘方，再计算括号内的减法，把除法转化为乘法，最后计算乘法运算即可得到答案．
【详解】
解：（1），
（2）
【点睛】
本题考查的是算术平方根的含义，含乘方的有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．
37．已知3a－1的算术平方根是，2是3a+b－1的平方根，求a＋2b的平方根．
【答案】．
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义可求出a、b的值，代入，即可求出的平方根．
【详解】
根据题意可知，解得．
将代入得：，
即2是的平方根，
∴，解得，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查算术平方根和平方根，特别注意算术平方根和平方根的区别．
38．已知是最小的正整数，且，，满足．
（1）填空：________，________，________；
（2）求的值．
【答案】（1）1；-1；-6；（2）-34．
【分析】
（1）根据有理数的分类，得到的值，再根据算术平方根及绝对值的非负性，解得、的值；
（2）由（1）中的结果，结合乘方法则解题即可．
【详解】
（1）是最小的正整数，
故答案为：1；-1；-6；
（2）当时，
【点睛】
本题考查有理数的分类、有理数的乘方、绝对值与算术平方根的非负性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21·世纪*教育网
39．计算：（1） （2）
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
(1)先计算绝对值，再计算乘法，最后计算加法；
(2)先同时计算乘方、减法、化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法．
【详解】
（1）
=
=-2+3
=1；
（2）
=
=
=．
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，掌握绝对值的化简，乘方法则，求数的算术平方根，有理数的加减法计算法则，乘除法计算法则是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
40．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出的值，再根据平方根的定义解答即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：根据题意，得，，
解得，，
所以，，
∵，
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．
41．若，求的值．
【答案】1
【分析】
根据平方的非负性、开平方的非负性求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
【点睛】
此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键．2-1-c-n-j-y
42．先化简，再求值：，其中与互为相反数．
【答案】ab；-6．
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab）
=2a2-2ab-2a2+3ab
= ab，
∵与互为相反数，
∴|a+2|+=0，
∴a+2=0，，
解得：a=-2，，【来源：21cnj*y.co*m】
当a=-2，b=3时，
原式=-6．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
43．解答下列各题．
（1）已知2x+3与x-18是某数的平方根，求x的值及这个数．
（2）已知，求d+c的平方根．
【答案】（1）x=5，169或，；（2）±3
【分析】
（1）根据题意，这两个式子互为相反数，列方程求出x的值，然后算出这个数；
（2）根据绝对值和算术平方根的非负性求出c和d的值，再算出结果．
【详解】
（1）解：①，，，
这个数是，
②，，
这个数是；
（2）解：由题意得：2c-d=0，，
解得：d=±6，c=±3．
∵当d=-6，c=-3时，d+c=-9（舍），
∴d+c的平方根为±=±=±3．
【点睛】
本题考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的性质．
44．（1）已知：m3=8，n2=9，且mn＜0，求m2-2mn+n2的值．
（2）已知=5，b2=9，（c-1）2=4，且ab＞0，bc＜0，求式子ab-bc-ca的值．
【答案】（1）25；（2）23或39
【分析】
（1）先利用开平方求出m与n的值，由mn＜0，确定n与m异号，求出n，再求值即可，
（2）先求出,c的值，由b＞0，bc＜0，确定a,b同号与c异号，分类求值即可．
【详解】
（1）由m3=8，m=2，
由n2=9，n=±3，
由mn＜0，
n=-3，
当m=2，n=-3时，
m2-2mn+n2，
=4+12+9，
=25，
（2）由=5，，
由b2=9，b=±3，
由b＞0，
同号，
由（c-1）2=4，c-1=±2，
c=3或-1，
由bc＜0，
b、c异号，
当时b-bc-c=15+3+5=23
当时b-bc-c=15+9+15=39．
【点睛】
本题考查平方根与绝对值求值问题，掌握平方根的性质，绝对值的性质，会用平方根与绝对值求值，会用两数积的符号确定取值，准确代入求值是解题关键．21世纪教育网版权所有
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6.1 平方根
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.02 B．是16的一个平方根
C．5是的算术平方根 D．的算术平方根是
2．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是（ ）
A． B．1 C． D．0
3．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．16
4．5的平方根是（ ）
A． B． C．25 D．
5．2的平方根是（ ）
A． B． C． D．
6．9的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
7．下列计算正确的是
A． B． C． D．
8．81的算术平方根是（ ）
A． B． C．81 D．9
9．若，则的值分别为（ ）
A．5、3 B．5、-3 C．-5、-3 D．-5、3
10．的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
11．关于的方程能直接开平方求解的条件是（ ）
A．， B．，
C．为任意数或 D．为任意数且
12．计算的结果是（ ）
A．3 B． C． D．
13．实数8的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
14．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．81的平方根是（ ）
A． B． C．9 D．
16．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②的平方根是-4；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（ ）．21世纪教育网版权所有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．定义一种运算“☆”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（ ）
A． B．13 C．5 D．6
19．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
20．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题
21．用代数式表示：（1）的3倍与的5倍的比：___________；
（2）正数与1的差的平方根：___________．
22．的倒数是_______，_________．
23．的绝对值是_____，的倒数是_____，的平方根是____．
24．已知一个数的平方根是和，则________，这个数是_________．
25．若，则的值为__________．
26．已知a，b满足，则_________．
27．若，则_________．
28．已知，则x＝_______．
29．如果的一个平方根等于，那么_____
30．若是m的一个平方根，则m+14的算术平方根是__________．
三、解答题
31．计算：
（1）；（2）
32．已知．
（1）已知的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．
33．计算：
（1）
（2）
34．已知实数、满足，求的平方根．
35．已知|a+7|+=0，求-20b的算术平方根．
36．计算题：
（1）；
（2）
37．已知3a－1的算术平方根是，2是3a+b－1的平方根，求a＋2b的平方根．
38．已知是最小的正整数，且，，满足．
（1）填空：________，________，________；
（2）求的值．
39．计算：（1） （2）
40．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
41．若，求的值．
42．先化简，再求值：，其中与互为相反数．
43．解答下列各题．
（1）已知2x+3与x-18是某数的平方根，求x的值及这个数．
（2）已知，求d+c的平方根．
44．（1）已知：m3=8，n2=9，且mn＜0，求m2-2mn+n2的值．
（2）已知=5，b2=9，（c-1）2=4，且ab＞0，bc＜0，求式子ab-bc-ca的值．
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