6.2 立方根(基础讲解)（含答案）
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6.2 立方根
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根；
3. 会解有关立方根的方程
【知识总结】
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.21世纪教育网版权所有
【注】：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【注】：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.21·cn·jy·com
三、立方根的性质
【注】：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.www.21-cn-jy.com
【典型例题】
【类型】一、立方根的概念
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．0 没有立方根 B．9 的立方根是 3
C．的平方根是± 3 D．立方根等于它本身的数有3个
【答案】D
【思路点拨】由立方根、平方根的定义，分别进行判断，即可得到答案．
解：0 的立方根是0，故A错误；
9 的立方根是，故B错误；
的平方根是，故C错误；
立方根等于它本身的数有、0、1，共3个；故D正确；
故选：D．
【总结升华】本题考查了立方根和平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
【训练】下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
【答案】D.
【类型】二、平方根、立方根的计算
例2．根据要求解答下列各题.
（1）求下列各式中的x的值.
① ②
（2）计算.
① ②
【答案】（1）①或 ；②；（2）①0；②6-4.
【思路点拨】（1）①利用平方根的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义解方程即可；②利用立方根的定义解方程即可；（2）①根据算术平方根的定义及立方根的定义依次计算各项后合并即可；②根据二次根式的乘法法则及绝对值的性质去掉括号及绝对值号后，再合并即可.21教育网
解：（1）①，
，
，
∴或 ；
②，
，
，
；
（2）①
=3-6-（-3）
=3-6+3
=0；
②
=3-2+2--（）
=3-2+2--
=6-4.
【总结升华】本题考查了平方根、立方根的应用，熟练运用平方根及立方根的定义是解决问题的关键.
【训练】求下列各式中的：
（1）； （2）.
【答案】（1）x1=5，x2=-3；（2）
【分析】
（1）先方程两边同乘4，再开平方，即可求解；
（2）先方程两边同除以8，再开立方，即可求解．
解：（1）
x-1=±4
∴x1=5，x2=-3；
（2）
∴．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握开平方和开立方运算，是解题的关键．
【训练】求下列各式的值：
(1)－＋；
(2)－＋.
【答案】(1)－1；(2)0.
解：(1)－＋；
＝－9＋8
＝－1；
(2)..
原式＝0.3－＋(－0.1)
＝0.3－－0.1
＝0.
【点拨】此题考查了平方根、立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【类型】三、立方根的规律
例3、观察下表，回答问题：
（1）表格中_________________，_________________；
（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；
（3）根据你发现的规律填空：
已知：，
_________________；
若，则_________________．
【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动位；（3）①0.2714；②2000002·1·c·n·j·y
【分析】根据立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案．
解：（1）根据题意，则
立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；
∴，；
故答案为：0.1；10．
在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动位；www-2-1-cnjy-com
（3）①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：①0.2714；②200000．
【点拨】本题考查了立方根的应用，注意被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍是解题的关键．
【训练】已知 ，，，则___________
【答案】10a
解:∵
∴2.018=a3
∴（10a）3=1000 a3=1000×2.018=2018
∴．
故答案为10a．
【点拨】本题考查了立方根的性质，掌握被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍成为解答本题的关键．
【类型】四、立方根中的运用
例4.将一个体积为的立方体体积增加，而保持立方体的形状不变，则棱长应该增加多少？（用含有V的代数式表示）；若，则棱长应增加多少厘米？2-1-c-n-j-y
【答案】（厘米），5（厘米）．
【解析】根据原来与增加后的立方体体积，求出各自的棱长，相减即可得到结果；将代入算式，化简求值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：依题意得：棱长应该增加：
（厘米），
当时，
（厘米）．
【点拨】此题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【类型】五、平方根、立方根中的综合练习
例5（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数；
（2）已知x为实数，且，求x2+x﹣3的平方根．
【答案】（1）16；（2）±3
【分析】
（1）根据平方根的定义得到2a+2+3a﹣7＝0，然后解方程即可；
（2）根据立方根的定义得到x﹣3＝2x+1，求出x的值，再代入求出x2+x﹣3的值，再根据平方根的定义即可求解．21*cnjy*com
解：（1）由题意可得：
2a+2+3a﹣7＝0
a＝1
∵2a+2＝4
3a﹣7＝﹣4
∴（±4）2＝16
∴这个数是16；
（2）由题意可得：
，
∴x﹣3＝2x+1，
∴x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴x2+x﹣3的平方根是±3．
【点拨】本题考查了平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．需注意的是一个正数有两个平方根，它们互为相反数，不要漏解．21cnjy.com
【训练】已知一个正数的平方根是与，立方根是2，求的平方根.
【答案】
【分析】利用一个正数的平方根是相反数，列出关于a的方程，解出a，求出m，利用立方根是2，得到a+b+2=8，然后解出b，进而求解即可.21·世纪*教育网
解：∵与是一对平方根
∴
.
∴
∵立方根是2，
∴
即
所以
【点拨】本题考查平方根、立方根等知识点，解题关键在于能够利用平方根与立方根的性质求出参数的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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6.2 立方根
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根；
3. 会解有关立方根的方程
【知识总结】
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.21世纪教育网版权所有
【注】：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【注】：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.21·cn·jy·com
三、立方根的性质
【注】：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.www.21-cn-jy.com
【典型例题】
【类型】一、立方根的概念
例1．下列说法中正确的是（ ）
A．0 没有立方根 B．9 的立方根是 3
C．的平方根是± 3 D．立方根等于它本身的数有3个
【答案】D
【思路点拨】由立方根、平方根的定义，分别进行判断，即可得到答案．
解：0 的立方根是0，故A错误；
9 的立方根是，故B错误；
的平方根是，故C错误；
立方根等于它本身的数有、0、1，共3个；故D正确；
故选：D．
【总结升华】本题考查了立方根和平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
【训练】下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
【答案】D.
【类型】二、平方根、立方根的计算
例2．根据要求解答下列各题.
（1）求下列各式中的x的值.
① ②
（2）计算.
① ②
【答案】（1）①或 ；②；（2）①0；②6-4.
【思路点拨】（1）①利用平方根的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义解方程即可；②利用立方根的定义解方程即可；（2）①根据算术平方根的定义及立方根的定义依次计算各项后合并即可；②根据二次根式的乘法法则及绝对值的性质去掉括号及绝对值号后，再合并即可.21教育网
解：（1）①，
，
，
∴或 ；
②，
，
，
；
（2）①
=3-6-（-3）
=3-6+3
=0；
②
=3-2+2--（）
=3-2+2--
=6-4.
【总结升华】本题考查了平方根、立方根的应用，熟练运用平方根及立方根的定义是解决问题的关键.
【训练】求下列各式中的：
（1）； （2）.
【答案】（1）x1=5，x2=-3；（2）
【分析】
（1）先方程两边同乘4，再开平方，即可求解；
（2）先方程两边同除以8，再开立方，即可求解．
解：（1）
x-1=±4
∴x1=5，x2=-3；
（2）
∴．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握开平方和开立方运算，是解题的关键．
【训练】求下列各式的值：
(1)－＋；
(2)－＋.
【答案】(1)－1；(2)0.
解：(1)－＋；
＝－9＋8
＝－1；
(2)..
原式＝0.3－＋(－0.1)
＝0.3－－0.1
＝0.
【点拨】此题考查了平方根、立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【类型】三、立方根的规律
例3、观察下表，回答问题：
（1）表格中_________________，_________________；
（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；
（3）根据你发现的规律填空：
已知：，
_________________；
若，则_________________．
【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动位；（3）①0.2714；②2000002·1·c·n·j·y
【分析】根据立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案．
解：（1）根据题意，则
立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；
∴，；
故答案为：0.1；10．
在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动位；www-2-1-cnjy-com
（3）①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：①0.2714；②200000．
【点拨】本题考查了立方根的应用，注意被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍是解题的关键．
【训练】已知 ，，，则___________
【答案】10a
解:∵
∴2.018=a3
∴（10a）3=1000 a3=1000×2.018=2018
∴．
故答案为10a．
【点拨】本题考查了立方根的性质，掌握被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍成为解答本题的关键．
【类型】四、立方根中的运用
例4.将一个体积为的立方体体积增加，而保持立方体的形状不变，则棱长应该增加多少？（用含有V的代数式表示）；若，则棱长应增加多少厘米？2-1-c-n-j-y
【答案】（厘米），5（厘米）．
【解析】根据原来与增加后的立方体体积，求出各自的棱长，相减即可得到结果；将代入算式，化简求值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：依题意得：棱长应该增加：
（厘米），
当时，
（厘米）．
【点拨】此题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【类型】五、平方根、立方根中的综合练习
例5（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数；
（2）已知x为实数，且，求x2+x﹣3的平方根．
【答案】（1）16；（2）±3
【分析】
（1）根据平方根的定义得到2a+2+3a﹣7＝0，然后解方程即可；
（2）根据立方根的定义得到x﹣3＝2x+1，求出x的值，再代入求出x2+x﹣3的值，再根据平方根的定义即可求解．21*cnjy*com
解：（1）由题意可得：
2a+2+3a﹣7＝0
a＝1
∵2a+2＝4
3a﹣7＝﹣4
∴（±4）2＝16
∴这个数是16；
（2）由题意可得：
，
∴x﹣3＝2x+1，
∴x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴x2+x﹣3的平方根是±3．
【点拨】本题考查了平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．需注意的是一个正数有两个平方根，它们互为相反数，不要漏解．21cnjy.com
【训练】已知一个正数的平方根是与，立方根是2，求的平方根.
【答案】
【分析】利用一个正数的平方根是相反数，列出关于a的方程，解出a，求出m，利用立方根是2，得到a+b+2=8，然后解出b，进而求解即可.21·世纪*教育网
解：∵与是一对平方根
∴
.
∴
∵立方根是2，
∴
即
所以
【点拨】本题考查平方根、立方根等知识点，解题关键在于能够利用平方根与立方根的性质求出参数的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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