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6.3 实 数
一、单选题
1．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．算术平方根和立方根相等的实数是0 B．16的平方根是
C．绝对值小于10的所有整数的和是0． D．实数和数轴上的点一一对应
3．估算的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
4．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在下列各数中：,3.14,，无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．下列各数中最大的数是（ ）
A． B． C．2 D．0
7．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是3 B．最小的有理数是0
C．两个无理数的和一定是无理数 D．实数与数轴上的点一一对应
8．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值是（ ）
A．17 B．16 C．8 D．12
10．比较，，的大小，正确的是（ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
11．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．3.14 D．
12．估计 的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．＞0
二、填空题
14．比较大小：__1．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．如图，，，点表示的数为，则点表示的数为________．
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三、解答题
16．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
17．计算：
（1）；
（2）．
18．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
19．算一算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（精确到0.01）
20．计算：
（1）﹣12＋﹣（﹣2）×
（2）（＋1）＋|﹣2|
21．计算（1）
（2）
（3）
（4）
22．计算：
（1）
（2）
23．计算：－－．
24．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
25．已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
26．计算：．
27．（1）
（2）
28．计算
（1）；（2）
29．计算：（1）
（2）
30．计算：
（1） ；
（2）．
31．（1）计算；
（2）已知，求的值．
32．计算：
（1）；（2）
33．（1）计算：； （2）求 (x－1)2－36＝0中x的值．
34．计算：
（1）
（2）
35．计算（1）
（2）
36．计算：
（1） （2）
37．计算：
38．计算：
39．计算
（1）；
（2）．
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6.3 实 数
一、单选题
1．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】
符合无理数定义的有： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查无理数定义，熟记定义是解题的关键．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．算术平方根和立方根相等的实数是0 B．16的平方根是
C．绝对值小于10的所有整数的和是0． D．实数和数轴上的点一一对应
【答案】A
【分析】
由算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义、数轴的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、算术平方根和立方根相等的实数是0和1，故A错误；
B、16的平方根是，故B正确；
C、绝对值小于10的所有整数的和是0，故C正确；
D、实数和数轴上的点一一对应，故D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义、数轴的定义，解题的关键是熟练掌握所学的定义进行判断．【来源：21·世纪·教育·网】
3．估算的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】C
【分析】
先根据19位于两个相邻平方数16和25之间，估算的取值范围进而得出结论．
【详解】
解：由于16＜19＜25，
所以，
因此，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．2-1-c-n-j-y
4．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据数轴上点的位置关系，可得a，b的大小，根据有理数的运算，可得答案．
【详解】
解：如图， ，
∴，故A、C不正确，
又 ，
，故D正确，
，，
的符号不确定，故B不一定正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．
5．在下列各数中：,3.14,，无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一判断各数，从而可得答案．
【详解】
解：是无理数，是有理数，
所以无理数共有个，
故选：
【点睛】
本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是解题的关键．
6．下列各数中最大的数是（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】C
【分析】
由＜＜ 再把四个数比较大小可得＜＜＜ 从而可得答案．
【详解】
解：＜＜
＜＜＜
所以四个数中最大的是
故选：
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，算术平方根的含义，掌握无理数的估算是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是3 B．最小的有理数是0
C．两个无理数的和一定是无理数 D．实数与数轴上的点一一对应
【答案】D
【分析】
根据算术平方根、平方根的定义判断A；根据有理数的大小知识判断B；根据无理数的定义以及运算法则判断C；根据实数与数轴的关系判断D．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
A、=9，9的平方根是±3，故本选项说法错误，不符合题意；
B、没有最小的有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C、无理数π与-π的和为0，0是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法正确，符合题意；
故选D．【出处：21教育名师】
【点睛】
此题考查算术平方根、平方根的定义，无理数的定义，有理数的大小，实数与数轴的关系，解题关键在于需熟练掌握相关定义．21教育名师原创作品
8．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义求解 ．
【详解】
解：∵B项化简后等于2，A项为有限小数，D项为分数，可以化成循环小数，C项为开不尽方的无限不循环小数，21*cnjy*com
∴ A、B、D为有理数，C为无理数，
故选C．
【点睛】
本题考查无理数的意义，熟练掌握有理数和无理数的意义以及实数的分类是解题关键．
9．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值是（ ）
A．17 B．16 C．8 D．12
【答案】B
【分析】
根据4＜＜5和不等式的性质求得1＜-3＜2，从而求出a、b 的值，再代入（-a）3+（b+4）2计算即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
∵4＜＜5，
∴1＜-3＜2，
∴a=1，b=-4，
∴（-a）3+（b+4）2=（-1）3+（-4+4）2=-1+17=16．【版权所有：21教育】
故选：B．
【点睛】
考查了无理数大小的估算，解题关键是得出1＜-3＜2和正确求出a，b的值．
10．比较，，的大小，正确的是（ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【答案】C
【分析】
先把三个数平方，再比较大小，即可解答．
【详解】
解：∵，，
又∵5＜12＜16，
∴＜＜
故选：C
【点睛】
本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是把三个数平方再比较大小．
11．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C．3.14 D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】
解：A、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．www.21-cn-jy.com
12．估计 的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
【答案】C
【分析】
首先根据4＜7＜9，估算2＜＜3，再确定+1的取值范围即可．
【详解】
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，首先用算术平方根估算的取值范围是解答此题的关键．
13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．＞0
【答案】B
【分析】
根据数轴上点的位置得到a小于0，b大于0，且|a|＜|b|，即可作出判断．
【详解】
解：根据题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴a b＜0,a＋b＞0，ab＜0，＜0，
故结论成立的是选项B．
故选：B．
【点睛】
此题考查了数轴，弄清题中数轴上a与b表示点的位置是解本题的关键．
二、填空题
14．比较大小：__1．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】＜
【分析】
首先估算出，不等式两边同时除以2即可得到它与1的关系．
【详解】
∵，
不等式两边同时除以2得：
∴，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小，准确估算出无理数的大小，找出最接近取值范围的数值是解题关键．21教育网
15．如图，，，点表示的数为，则点表示的数为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2－a
【分析】
直接利用，点表示的数为，得出CO的长，继而即可求解．
【详解】
解：∵，点表示的数为，
∴CO＝2＋（－a）＝2－a
∵
∴点B表示的数为：2－a
故答案为：2－a．
【点睛】
本题考查了数轴，解题的关键是正确得出CO的长．
三、解答题
16．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与2的大小；
，
，则，
，
．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）比较大小：_______3；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）＞；（2）＜．
【分析】
（1）由＜＜，可得：＜＜，从而可得答案；
（2）由＜＜，可得＜＜，从而可得：＜，即＜，从而可得答案．
【详解】
解：（1）＜＜，
＜＜，
故答案为：＞．
（2）＜＜，
＜＜，
＜，
＜，
＜，
＜．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；
【详解】
（1）
=
＝；
（2）
=
=
【点睛】
考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．
18．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）；（2）4；（3）-11．
【分析】
（1）先算乘法，再算加法；
（2）先算开方，再算加法；
（3）先算平方和括号里的，再算乘法，最后算减法．
【详解】
（1）
=
=；
（2）
=-2+6
=4；
（3）
=
=-2-9
=-11．
【点睛】
此题考查实数运算，弄清运算顺序和算术平方根及立方根的意义是关键．
19．算一算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（精确到0.01）
【答案】（1）40；（2）；（3）；（4）0；（5）．
【分析】
（1）根据有理数的加减法法则解题，注意减去一个数等于加上这个数的相反数；
（2）先去括号，再利用加法结合律，将同分母分数相加减，最后根据有理数的加法法则解题；
（3）先将除法转化成乘法，再结合乘法分配律解题；
（4）先乘方，再乘除，最后计算加减，注意，有括号的，先去小括号，再去中括号，据此解题；
（5）利用乘法分配律先去小括号，化简，再去中括号，化为最简，再将的近似数代入解题，最后精确到0.01即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【点睛】
本题考查含乘方的有理数的混合运算、无理数的估算、近似数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21cnjy.com
20．计算：
（1）﹣12＋﹣（﹣2）×
（2）（＋1）＋|﹣2|
【答案】（1）﹣9；（2）5．
【分析】
（1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算即可；
（2）先计算乘法和绝对值，再相加即可．
【详解】
解：（1）原式＝﹣12＋（﹣3）＋2×3
＝﹣12﹣3＋6
＝﹣9；
（2）原式＝3＋＋2﹣
＝5.
【点睛】
本题考查了实数的运算，掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键．
21．计算（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-2；（2）360；（3）4；（4）．
【分析】
（1）先去括号和绝对值，再进行混合运算即可．
（2）先将括号内通分运算，再将除法改为乘法，最后计算即可．
（3）先去括号，再将除法改为乘法，最后计算即可．
（4）分别计算出根式的值，在进行加法运算即可．
【详解】
（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】
本题考查实数的混合运算．掌握其运算法则是解答本题的关键．
22．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-12，（2）-12．
【分析】
（1）、（2）两小题都属于实数的混合运算，先计算乘方和开方，再计算乘除，最后再算加减即可得出结果．
【详解】
解：（1）
，
（2）
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键．
23．计算：－－．
【答案】4＋
【分析】
直接计算根式，再展开绝对值之后化简即可．
【详解】
原式==
【点睛】
主要考查二次和三次根式的计算以及绝对值的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）1；（2）-4；（3）6；（4）49
【分析】
（1）分别化简各项，再作加减法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）先化简符号，再计算同分母分数的加减，最后合并；
（4）先算乘方，再利用乘法分配律展开计算，最后计算加减．
【详解】
解：（1）
=
=1；
（2）
=
=
=-4；
（3）
=
=
=6；
（4）
=
=
=
=49
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
25．已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）其平方根为．
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出的值；
（2）将（1）题求出的值代入，求出值之后再求出平方根．
【详解】
解：（1）由题得．
．
又，
．
．
．
（2）当时，
．
∴其平方根为．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．
26．计算：．
【答案】．
【分析】
先根据开方的意义，绝对值的意义进行化简，最后计算即可求解．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，理解开方的意义，能正确去绝对值是解题关键．
27．（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据含乘方运算的有理数混合运算法则求解即可；
（2）根据实数的混合运算法则求解即可．
【详解】
（1）原式=
=
=
=
（2）原式=
=
=
【点睛】
本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则以及平方根的定义是解题关键．
28．计算
（1）；（2）
【答案】（1）-3；（2）
【分析】
（1）利用减法法则变形，计算即可得出结果；
（2）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后进行加减运算即可．
【详解】
解：（1）原式=2+3-8=-3；
（2）原式=
=
=．
【点睛】
本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．
29．计算：（1）
（2）
【答案】（1）-2；（2）
【分析】
（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：（1）原式=
（2）原式
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要 ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21·cn·jy·com
30．计算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先立方根，平方根和绝对值化简，合并即可，
（2）先开立方，再去括号，移项合并，系数化1即可．
【详解】
（1） ，
= ，
=；
（2），
，
，
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，解立方方程，掌握立方根，平方根，绝对值的性质，实数混合运算法则是解题关键．
31．（1）计算；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用算术平方根的定义，零指数幂，负整数指数幂进行化简，然后再计算加法即可；
（2）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出答案．
【详解】
（1）原式
；
（2）方程整理得：，
开方得：．
【点睛】
本题考查了实数的运算，算术平方根，平方根，零指数幂，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．
32．计算：
（1）；（2）
【答案】（1）；（2）4．
【分析】
（1）求一个数的立方根，根据立方根的概念求解；
（2）根据求一个数的算术平方根和求一个数的立方根的概念求解，然后进行计算．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根及立方根的概念正确计算是解题关键．
33．（1）计算：； （2）求 (x－1)2－36＝0中x的值．
【答案】（1）；（2）x的值为7或﹣5
【分析】
（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；
（2）利用平方根解方程的方法求解即可．
【详解】
解：（1）
=4﹣﹣3
=1﹣
=；
（2）(x－1)2－36＝0，
移项得：(x－1)2=36，
开平方得：x－1＝±6，
解得：x1=7，x2=﹣5，
即(x－1)2－36＝0中的x值为7或﹣5．
【点睛】
本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．
34．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）首先通分合并，然后开方计算即可．
（2）首先开方平方，开立方，再进行加减计算即可．
【详解】
解：（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．21·世纪*教育网
35．计算（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果．
（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】
（1），
，
．
（2），
，
．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答 ( http: / / www.21cnjy.com )此题的关键是要明确：在进行实数运算时，要从高级到低级，即先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外有理数的运算律在实数范围内仍然适用．www-2-1-cnjy-com
36．计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）-7+．
【分析】
（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；
（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，进而算加减运算即可求出值．21*cnjy*com
【详解】
（1）原式=6-3×=6-=；
（2）原式＝-1+-1-×=-1+-1-5=-7+．
【点睛】
本题主要考查了有理数和实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
37．计算：
【答案】+5．
【分析】
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝4﹣1++2=+5．
【点睛】
此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
38．计算：
【答案】
【分析】
由题意结合乘方和去绝对值的方法进行运算后合并同类项即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握乘方和去绝对值的方法是解题的关键．
39．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）原式利用平方根和立方根的定义计算即可求解；
（2）原式平方根的定义，零指数幂以及绝对值的代数意义计算即可求解．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，在计算过程中要注意运算法则．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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