江西省永丰县高级中学2021-2022学年高二下学期开学考试理科数学试卷（Word版含答案）

永丰中学2023届高二下学期开学考试
理科数学试卷
满分：150分
选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分)
1．命题“，使”的否定是（ ）
A．，有 B．，有
C．，使 D．，使
2．已知两条直线，平行，则（ ）
A．-1 B． C．0或 D．-1或
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
4．过椭圆+ =1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．16
5．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（ ）
A. B． C． D．
8．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）
A． B． C． D．
10．已知：，：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．
12．已知是边长为6的等边△ABC所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设变量x，y满足约束条件则的最大值为_________.
14．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______.
15．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为 ．
16．圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知，命题，不等式恒成立；命题：方程表示为双曲线；
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）当为真，为假时，求实数的取值范围.
18．如图所示，直棱柱中，四边形ABCD为菱形，点E是线段的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：．
19．已知圆关于直线对称，且圆心C在轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)直线与圆C交于A、B两点，若△ABC为等腰直角三角形，求直线的方程.
20．已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点M (0,1)的直线交抛物线C于不同的两点A，B，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，，求的值.
21．如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
（1）求的方程．
（2）若A，B为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．
永丰中学2023届高二下学期开学考试理科数学答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A B A A A B C B D D C
二、填空题：13、6 14、 15、 16、
三、解答题：17、（1）若为真命题，则，解得，
故所求实数的取值范围为.......................................5分
（2）由命题可得，，所以
又因为为真，为假，则，一真一假，
当真，假时，有，可得.
当假，真时，有可得.
综上可知，所求实数的取值范围为.......................................10分
18、（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；
因为О，E分别为线段AC，的中点，故，
而平面BDE，平面BDE，故平面.......................................5分
（2）证明：因为直棱柱，故平面ABCD，
又平面ABCD，所以．
因为ABCD是菱形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
因为平面，故．.......................................12分
19、(1)由题意得：直线过圆心，即，且，解得：，，所以圆C的方程为；.......................................5分
(2)的圆心为，半径为2，由题意得：，圆心到直线的距离为，即，解得：或，
所以直线的方程为：或........................................12分
20、(1)解：依题意，，解得，∴抛物线的方程为；........................................5分
(2)解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
由消去可得，
∵直线交抛物线于不同的两点，∴，由韦达定理得，
∴.........................................12分
21、(1)证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又由平面，所以.........................................5分
(2)解：取的中点，连接，
、分别为、的中点，则，
，则，又因为平面，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为且是等边三角形，可得,
可得，
则，
设平面的法向量，
则，令，可得，即，
设平面的法向量，
则，令，可得，即，
所以，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.......................................12分
22、（1）解：因为，所以，所以，
又，所以，，故的方程为．........................................5分
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，设，，
由，得，
则，
，．
设直线，的倾斜角分别为，，
则，，
所以，
即，
所以，
所以，
化简可得，所以直线的方程为，
故直线过定点．........................................12分