2021-2022学年度高一下数学一课一练6.1平面向量的概念（word版含解析）

6.1平面向量的概念
一、单选题
1．下列命题中正确的个数是 （ ）
（1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则；
（3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列结论中正确的是（ ）
①若且，则；
②若，则且；
③若与方向相同且，则；
④若，则与方向相反且.
A．①③ B．②③
C．③④ D．②④
3．下列命题正确的是
A．若a、b都是单位向量，则a=b.
B．若，则A，B，C，D四点构成平行四边形.
C．若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D．与是两平行向量
4．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则
A．I１5．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6．已知向量，其中，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．若向量等式成立，则，应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个零向量或、是平行向量
D．或是零向量或、是反向向量且满足
8．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A． B． C． D．3
9．已知下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.
其中错误说法的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
11．下列关于向量的说法中正确的是
A．若且，则
B．若，则
C．向量（）且，则向量与的方向相同或相反
D．与方向相反，则与的方向相同
12．设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（ ）
A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_____．
14．在梯形中，，，，是线段上的动点，若，则的取值范围是________
15．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．
16．已知向量，则_____________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据向量大小与方向确定命题(1)(2)(3)真假.根据向量加法判断（4）真假.
【详解】
若为单位向量，且，则；(1)错，
若，则但不一定成立；（2）错，
因为，所以（3）错，
因为,所以（4）对，
选B.
【点睛】
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等相量：方向相同且长度相等．
2．B
【解析】
【分析】
根据向量的概念和相等向量的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于①中，由，，则向量与同向或反向，当向量与同向时，可得，当向量与反向时，则，所以不正确的；
对于②中，若，根据相等向量的概念，可得且，所以是正确的；
对于③中，若与方向相同且，根据相等向量的概念，可得，所以是正确的；
对于④中，若，根据向量的概念，则与方向不一定相反且不一定，所以不正确.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量的基本概念，以及相等向量的基本概念及应用，其中解答中熟记向量的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
3．D
【解析】
【详解】
分析：逐一分析即可.
详解：A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；
B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；
C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；
D，因与方向相反，是平行向量，故D对.
故选D.
点睛：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用.
4．C
【解析】
【详解】
因为，，，所以，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到．
5．C
【解析】
【详解】
将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，
所以，
因为0≤x≤1，所以，
即的取值范围是.
故选C.
点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
6．A
【解析】
【分析】
利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析的最小值
【详解】
因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】
本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
7．D
【解析】
【分析】
将向量等式两边平方,变为且可得.
【详解】
由知,
将两边平方得且,
所以且,
因为,,
所以且,
所以且,
所以且,
所以或或且,
所以或或且,
所以或或,是反向向量且满足,
故选.
【点睛】
本题考查了向量的有关概念,零向量,反向向量,向量数量积,属于中档题.
8．B
【解析】
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】
，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
9．B
【解析】
【详解】
①向量的长度与向量的长度相等，正确；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；③终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，错误；④共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，错误，错误说法的个数为 ，故选B.
10．B
【解析】
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，
所以，解得，即，
故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
11．C
【解析】
首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.
【详解】
因为当时，与不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为与的大小不确定，所以D不正确.
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，相等向量的条件，向量的运算性质，属于简单题目.
12．A
【解析】
利用向量的线性运算，求得，由此判断出两者反向平行.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量共线的条件，属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标
【详解】
解：设
，点P在直线上
，
，则有
解得
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P的坐标.
14．
【解析】
【分析】
由平面向量数量积的性质及其运算得到，再结合，，求出的取值范围．
【详解】
解：由已知有：，，，，
则，
所以，
因为，，，
因为，其中为与的夹角，，
因为，所以，
又，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属于中档题.
15．
【解析】
设，根据所给运算的定义计算可得.
【详解】
解：设
由，
可得解得
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查新定义运算，关键是掌握向量的坐标运算，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值.
【详解】
由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：
，
且：，
故：，解得：.
故答案为．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
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