2021-2022学年度高一下数学一课一练6.2平面向量的运算（Word含解析）

6.2平面向量的运算.一、单选题
1．已知非零向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等边的边长为2，点、分别为、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知非零向量， 满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．等腰直角三角形中，，点为斜边上的三等分点，且，则（ ）
A． B．或 C． D．
8．已知向量，若在的投影为，则（ ）
A．169 B．13 C．196 D．14
9．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
10．已知，，，点在内，，若，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
11．已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使，共线的是（ ）
①且；②存在相异实数λ，μ，使；③(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中＝，＝.
A．①② B．①③
C．② D．③④
12．如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知菱形的边长为，点为该菱形边上任意一点，则的取值范围是_______．
14．如图，在中，，，，若延长CB到点D，使，当点E在线段AB上移动时，设，当取最大值时，的值是___________.
15．在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
16．已知平面向量 均为非零向量，且满足 ，记向量 在向量 上投影向量为，则 k =______．(用数字作答)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据向量垂直的向量表示，数量积的定义计算即可得答案.
【详解】
解：因为非零向量满足，且，
所以，
所以，
因为，所以
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
根据题意得，进而依次讨论即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，所以，
所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立，
故C选项正确，A，B，D选项错误；
所以C
3．D
【解析】
【分析】
取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.
【详解】
在中，取为基底，则.
因为点、分别为、的中点，
所以.
.
所以.
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
显然时，有成立，反之不成立，举反例即可.
【详解】
当时，，，显然有成立
当成立时，不一定成立.
例如：，，
，，满足条件，但此时
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
因为，则有，即，而，
令与的夹角为，于是得=，而，解得，
所以与的夹角为.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
对两边平方化简可得，再平方化简整理得恒成立，然后由可求出的范围，从而可求出的最大值
【详解】
设向量夹角为，设向量与的夹角为，
，
由，得
，
所以，
所以，
所以
所以，
所以对任意实数λ都成立，
即恒成立，
当，即，得，上式恒成立，
当时，即，，
，
所以得，
因为，所以
综上，，
所以向量夹角的最大值是，
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合向量的加减法与数量积，转化为和的问题即可求解.
【详解】
根据题意，不妨设点为斜边上靠近点的三等分点.
因，且，
所以.
因此，，
故
.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
首先求出的模，再根据投影的定义求出，再根据及平面向量数量积的运算律计算可得；
【详解】
解：因为，所以，因为在的投影为，所以，所以，所以
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选：B.
10．D
【解析】
【分析】
根据，,，分别由，两边平方联立求解.
【详解】
解：，,
由可得,
，点在内,
，且,
，,
,
,
,
,
同上平方可得，,
两式联立可得，
故选：D
11．A
【解析】
【分析】
由①得，②得，由向量共线定理即可判断，应用特殊值法，令x＝y＝0判断③，对于梯形ABCD，仅当时满足要求.
【详解】
由得：，故①符合；
，是两个非零向量，存在相异实数λ，μ使，即，故②符合；
当x＝y＝0有，但，不一定共线，故③不符合；
梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不符合.
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算将，，，，，都用向量和表示，由向量数量积的运算可求出，的值，再进行数量积运算即可求出的值.
【详解】
因为是的中点，，是上的两个三等分点，
所以，，
，，
所以，
，
可得，，
又因为，
所以，
故选：C．
13．
【解析】
【分析】
利用数量积的几何意义求解即可.
【详解】
为与在上的投影的乘积，
所以当在处时，投影最小为0，
在C处时，投影最大为，
所以的取值范围为.
故答案为：
14．##
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算求得，得，从而求得，设，由及求得，而，最大，则最大，最大值为1，由此得，从而得差．
【详解】
，
，
所以，所以，
又，所以，，
设，由于在上，所以，
又，
即，化简得，
由得，所以，
（），所以，
所以时，，．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
利用三点共线的性质即可得解
【详解】
，
又三点共线，，解得
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题考查向量共线，利用三点共线求参数问题，利用(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则.
16．##1.5
【解析】
【分析】
由两边平方可得， ， ，设，向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线， ，由余弦定理可得，向量 在向量 上投影向量为，化简可得答案.
【详解】
因为，所以，，
两边平方整理得，
，两边平方整理得，
即，
可得， ，
设，
所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，
如图，即，
因为，，平行四边形即为的菱形，
所以，
由余弦定理可得，
可得，，
向量 在向量 上投影向量为，
即.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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