2021-2022学年度高一下数学一课一练6.4平面向量的应用 （word含解析）

6.4平面向量的应用
一、单选题
1．在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．在中，角所对的边分别为，，．当角取最大值时，外接圆的直径是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．在中，设，，分别为角A，B，C对应的边，若，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
9．在矩形ABCD中，，，且，则（ ）
A． B．5 C． D．4
10．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
11．在中，角的对边分别为，若，，,则（ ）
A． B． C． D．
12．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米 B．56米 C．65米 D．113米
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，若，，BC边上的中线AD的长为3.5，则______________.
14．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，在一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若，，，，则该正方形的边长为___________.
15．已知锐角的面积为9，，点D在边上，且，则的长为__________．
16．中，是上的点，平分，面积是面积的倍，，，则___________.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，
再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.
【详解】
设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，于是有，
则
，
在中，，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围.
【详解】
∵BC边上的高为，∴
由面积公式得：，
∴，故
由余弦定理得：
∴
由辅助角公式得：
∴
其中，当且仅当时，等号成立
∴
，解得：
∵
∴
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦公式和正弦定理化简得到之间的关系，分析可知取最小值时取最大值时，进而求出外接圆的直径.
【详解】
，,
根据正弦定理可知：，，，
，
当且仅当即时取等号，
取最小值时取最大值，此时，
外接圆的直径为.
故选：A
5．D
【解析】
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
6．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合余弦定理得，，，再根据公式求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵，∴.
∴（当且仅当时取等号）.
∴.
∴面积的最大值为.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简，再利用两角和差的正弦公式及诱导公式变形，求出.
【详解】
由已知及正弦定理得：
，
又，
所以，
化简可得，
即，
因为为三角形的内角，
所以.
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
对，由正弦定理化边为角，同时切化弦，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，也即得，对，把转化为，然后由正弦定理化角为边可得结论．
【详解】
由，则，，
即，整理可得，
，又，所以，即，
又，所以，
所以，所以．
故选：B．
9．A
【解析】
【分析】
画出图形，根据向量的加法、减法及数量积运算求出答案即可.
【详解】
如图，因为AB⊥AD，所以，
即．又因为，所以，
故．
故选：A
10．A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
11．C
【解析】
【分析】
本题的关键是把题干条件中的2换成，再利用正弦定理求出，再用余弦定理求出的值，进而求出
【详解】
由题设得则,
由正弦定理可得，
,,
，∴
由余弦定理得，
，
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
通过余弦定理求出AC，进而求出CH,OH，然后得到CH，最后通过辅助角公式化简求出答案.
【详解】
在中，由余弦定理：.
因为，所以，
又因为，所以，
于是，.
故选：C.
13．9
【解析】
【分析】
在中以及中，两次利用余弦定理，求出，得到等式，设出，即可求出x的值求出a的值.
【详解】
解：中，若，，BC边上的中线AD长为3.5
在中，，
即，
∵，
设，
代入数值，得，
解得.
∴.
故答案为：9.
14．
【解析】
【分析】
在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再结合题意得，进而在中，由余弦定理得，进而得
【详解】
解：连接，，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
又由正弦定理有，代入数据解得，
∴，
又∵，
∴
，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
∴正方形边长为.
故答案为：
15．4
【解析】
【分析】
先求出，利用面积为9求出，在中，由余弦定理求出．
【详解】
因为，所以，所以，则，所以，所以，，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
故答案为：4
16．1
【解析】
【分析】
设中边上的高为，进而根据题意得，，再结合求解即可.
【详解】
解：因为平分，面积是面积的倍，
所以，，，
所以，
设中边上的高为，
因为，，
所以，
因为，
所以在中，，
在中，.
因为，
所以，即，解得
故答案为：
答案第1页，共2页
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