2021-2022学年度高一下数学一课一练7.1复数的概念（Word含解析）

7.1复数的概念
一、单选题
1．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　)．
A．复数z对应的点在第一象限
B．复数z一定不是纯虚数
C．复数z对应的点在实轴上方
D．复数z一定是实数
2．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．能使得复数位于第三象限的是（ ）
A．为纯虚数 B．模长为3
C．与互为共轭复数 D．
4．已知复数的实部为，复数的虚部为，且为纯虚数，为实数，若在复平面内对应的点不在第一象限，则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限
5．复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（ ）．A． B．
C． D．
6．设，是虚数单位，则的虚部为
A．1 B．-1 C．3 D．-3
7．若是纯虚数，则实数的值为（ ）．A． B．0 C．1 D．
8．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．关于复数，下列命题①若，则；②为实数的充要条件是；③若是纯虚数，则；④若，则.其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
11．已知i是虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．若复数：满足，则的最小值为__________．
14．复数，且，则点的轨迹是_____________．
15．若实数满足，且，则_____．
16．i表示虚数单位，则______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，
∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.
又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．
选C.
2．D
【解析】
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
【点睛】
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
3．A
【解析】
【分析】
分析四个选项中的参数，判断是否能满足复数是第三象限的点.
【详解】
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足 ，解得：，
A.是纯虚数，则，满足条件；
B.，解得：，当不满足条件；
C. 与互为共轭复数,则，不满足条件；
D.不能满足复数在第三象限，不满足条件.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
4．D
【解析】
可设，，、，根据题中条件列出等式或不等式求出、的值，可计算出复数，即可得出结论.
【详解】
设，，、，
因为为纯虚数，所以且.
因为为实数，所以.
由，解得或.
又在复平面内对应的点不在第一象限，所以不符合，
于是，对应的点在第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，根据题意求出复数的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义表示出旋转后对应的点的坐标即可求出.
【详解】
由题意知点的坐标为，
设射线是角的终边，则有，，
旋转后所得的射线为角的终边，设，
则，
，
∴，
故选：C．
6．D
【解析】
【详解】
因为z=z的虚部为-3，选D.
7．C
【解析】
对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.
【详解】
由题是纯虚数，
为纯虚数，
所以m=1.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
8．C
【解析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个.
故选
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
9．C
【解析】
【分析】
对于①中，根据复数的模的计算公式，即可判定是正确的；对于②中，根据复数的概念与分类，即可判定是正确的；对于③中，根据复数的运算与复数的概念，即可判定是正确；对于④中，根据复数的运算和复数相等的条件，即可判定不正确．
【详解】
由题意，对于①中，因为，根据复数的模的计算公式，可得，即，所以是正确的；
对于②中，若复数为实数，根据复数的概念，可得，反之，当时，复数为实数，所以是正确的；
对于③中，，若是纯虚数，则且，所以正确；
对于④中，由，即，所以，所以，所以不正确；
综上①②③为真命题，故选C．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的分类，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．A
【解析】
【详解】
因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
11．A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【详解】
复数z满足，∴，
∴，∴．
∴．
则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．
故选：A．
【点睛】
此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.
12．C
【解析】
【详解】
分析：由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定m的范围，然后结合题意即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，即且，故，
则：，由复数的性质.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．6
【解析】
【分析】
表示复数在以原点为圆心,半径为的圆上,而表示圆上的点到点的距离,即可求得答案.
【详解】
表示复数在以原点为圆心,半径为的圆上,
即
而表示圆上的点到点的距离,
根据点到最小距离为:
故的最小值是.
故答案为:.
【点睛】
关键点睛：解题关键是掌握复平面的点轨迹基础知识和点到圆的最小距离的求法.
14．以为圆心，2为半径的圆
【解析】
根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.
【详解】
解：∵，∴，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
故答案为：以为圆心，2为半径的圆
【点睛】
本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．
【解析】
【分析】
先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出，最后由复数的模的计算公式求出．
【详解】
因为，所以已知等式可变形为，
即， 解得 ，
．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．
16．1
【解析】
【分析】
根据虚数单位的运算性质求解出原式的结果.
【详解】
解：因为，
所以且，
所以，
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：虚数单位的常见运算性质：
（1）；
（2）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页