2021-2022学年度高一下数学一课一练7.3复数的三角形式（Word含解析）

7.3复数的三角形式
一、单选题
1．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
2．瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）
A． B． C． D．
3．已知a为实数，若（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C． D．
4．复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（ ）
A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1+i
6．
A． B． C． D．
7．复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
8．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
9．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． B． C． D．
10．复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（ ）
A． B． C． D．
11．当时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．
12．在复平面内，虚数对应的点为，其共轭复数对应的点为，若点与分别在与上，且都不与原点重合，则
A．-16 B．0 C．16 D．32
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．复数z的辐角，则对应的点位于第______象限．
14．若（i为虚数单位），则_______.
15．计算：_______________.
16．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】
∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.
2．B
【解析】
【分析】
将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】
得，
当时，，复数对应的点在第一象限；
当时，，复数对应的点在第二象限；
当时，，复数对应的点在轴上；
当时，，复数对应的点在第四象限；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
3．D
【解析】
把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，根据题中条件计算即可得出结论.
【详解】
解：，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.
4．C
【解析】
写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解.
【详解】
,,
所以复数在第二象限，设幅角为，
故选：C
【点睛】
在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.
5．B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.
【详解】
∵复数满足，∴，
∴复数的共轭复数等于，故选B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．D
【解析】
【详解】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
7．A
【解析】
【分析】
通过计算出，从而得到，根据虚部的概念即可得结果.
【详解】
∵，∴，
∴，即的虚部是，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
A. ii，所以该选项正确；
B. i，所以该选项错误；
C. i，所以该选项错误；
D. ii.所以该选项错误.
【详解】
A. 若i，则ii，所以该选项正确；
B. 若i，则i，所以该选项错误；
C. 若i，i，则i，所以该选项错误；
D. i，i，则ii.所以该选项错误.
故选：A
9．D
【解析】
根据复数的三角形式求解即可.
【详解】
-i的立方根为（其中）
当时,得；
当时,得；
当时,得,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题.
10．D
【解析】
【分析】
由已知得到向量对应复数，并求出的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值．
【详解】
因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，
，，则的幅角主值为
即对应复数的幅角主值为
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．
11．D
【解析】
根据的结构特点，先由，得到，再代入求解.
【详解】
因为
所以
所以 ，
所，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
【分析】
先求出，，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，与对应的点关于轴对称，
∴对应的点是与的交点.
由得或（舍），即，
则，，，
∴.
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．一
【解析】
【分析】
设，，根据复数的乘方运算及除法运算，结合正弦函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：设，，
则
，
因为，所以，所以，则，
所以对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
14．-1
【解析】
先把转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.
【详解】
解：复数对应的点在第一象限，则，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.
15．
【解析】
由于次数比较高，先利用的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.
【详解】
因为，
将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，
则，
因为，所以，，所以，，
所以，，当时，取得最小值.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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