2021-2022学年度高一下数学一课一练8.1基本立体图形（Word含解析）

8.1基本立体图形
一、单选题
1．已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，M，N，Q分别为棱AB，的中点，过点M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12π B．8π C．6π D．4π
6．《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（ ）
A．16 B．24 C．12 D．4
7．已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．若三棱锥满足，，则该三棱锥可能是（ ）
A． B．
C． D．以上选项都不可能
9．已知正方体的边长为，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
10．桌面上放有三个半径为３的球两两外切，在其下方空隙处有一小球，该小球既与三个球相切，又与桌面相切，则该小球的半径为（ ）
A．1 B． C． D．
11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
12．某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点P在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为_____________
14．若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.
15．①直四棱柱一定是长方体；
②正方体一定是正四棱柱；
③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
⑤直棱柱的侧棱长与高相等；
以上说法中正确的命题有______（写出正确的命题序号）
16．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系，求得m的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
如图：构造长方体
设，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，
则，，
设，
则，，
所以，即，
由于，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
【点睛】
解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的关系求解，考查利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.
2．C
【解析】
【分析】
利用平面的性质，直接画出过E，F，G的平面，即可判断其形状.
【详解】
如图示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I,则形成一个五边形EFIGH.
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
由题设易知，设利用正方形、正三角形的性质及勾股定理求出、、，即可知它们的比例关系.
【详解】
设四棱锥为，三棱锥为，则三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，显然．
设，正方形的中心为，正三角形的中心为，
连接，，，，则，，
，，即，，
．
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
分别为中点，M，N，Q确定平面，证明六边形的每条边均在内，得到答案.
【详解】
如图所示：分别为中点，M，N，Q确定平面，
且，故，，故，
同理可得，，，故截面为六边形.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.
【详解】
如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
根据阳马的定义，分别找出以上底面的顶点为四棱锥底面的个数和以下底面的顶点为四棱锥底面的个数，即可求得.
【详解】
根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共3个，而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以阳马的个数是12.
同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有12个阳马，因此共有24个不同的阳马.
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解.
【详解】
解：作出图形如图所示．
延长至Q，使得，连接MQ，NQ，则截面四边形为平行四边形；
记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，
则，，
，，，
故所得截面的周长为.
故选：B．
8．C
【解析】
将此三棱锥放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为 ，由余弦定理可得为锐角三角形，再对选项进行逐一判断.
【详解】
在三棱锥中，由，
将此三棱锥放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为
则，，
在中，，角为锐角.
同理可得均为锐角.则为锐角三角形.
选项A：由，为钝角，所以A不正确.
选项B: ,为直角，故B不正确.
选项C: ,
由余弦定理可得的三个内角均为锐角，则满条件，故C正确,，则D不正确.
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查三棱锥的性质，解答本题的关键是根据条件将此三棱锥放置入长方体中，在中，，角为锐角，进而为锐角三角形，属于中档题.
9．A
【解析】
连接、、、、，证明出平面，设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、，可得出平面平面，推导出是边长为的等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可得解.
【详解】
连接、、、、，如下图所示：
四边形为正方形，，
平面，平面，，
，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
设过点且与直线垂直的平面分别交、于点、，
平面，平面，所以，平面平面，
平面平面，平面平面，，
，，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，
所以，是边长为的等边三角形，所以，.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正方体截面面积的计算，确定截面形状与边长是解题的关键，本题中通过证明平面可得出截面与平面平行，可确定截面与正方体各棱的交点，进而可确定截面的形状，再结合三角形面积公式求解.
10．A
【解析】
【分析】
由题意，连接四个球的球心，再设小球半径为，根据立体几何中的关系列式求解即可
【详解】
由题意，设三个半径为3的球的球心分别为，小球球心为，连接四个球的球心，可得一个三棱锥，，作平面
设小球半径为，则，，
所以，在等边中，，
又，解得
故选：A
11．A
【解析】
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，
矩形的高（即木棍的高）为尺，矩形的底边长为（尺），
因此葛藤长（尺）.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：对于空间几何体中最值问题的求解方法：
（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
12．C
【解析】
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.
【详解】
小正方形的边长为1，该几何体的表面由30个正方形构成，表面积为30．外接球的球心是该几何体的中心，半径为，
故外接球表面积为．
故选：C．
【点睛】
关键点睛：解答问题的关键是能通过空间想象推理出几何体与正方体的关系.
13．
【解析】
【分析】
把空间四边形ABCD置于如图所示的正方体中，利用正方体进行计算即可得解.
【详解】
由于空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，
可置四边形ABCD于如图所示的正方体中，则正方体的边长为
棱长为正方体的各面对角线，
点P在边AB上运动、点Q在边CD上运动，
当分别为中点时距离最短，为所在面的距离，此时距离为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
根据已知条件可求得，连接，可得线段，设截面圆为圆，可求出截面圆的半径，在中，利用余弦定理求出，进而可得，再利用扇形的面积减去的面积即可求解.
【详解】
因为球的半径为，球面上两点，的最短距离为，
所以，
设经过，两点的平面截球所得的圆面为圆，则平面，且，
所以截面圆圆的半径，
连接，因为，，所以线段，
在中，，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积，
即为： ，
故答案为：.
15．②④⑤
【解析】
【分析】
根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断①②③④⑤，即可得正确答案.
【详解】
①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.
底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；
②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；
③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；
④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，
所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；
⑤直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
16．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量坐标，可以证明，取为中点，有，因此点为三棱锥外接球的球心，则，球心到平面的距离为，勾股定理可得截面圆的半径为，即得解
【详解】
以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则；
设为中点，因为则，
所以点为三棱锥外接球的球心，则.
设球心到平面的距离为，又因为为中点，
所以点到平面的距离为，
由于，所以，
故截面圆的半径为，所以截面圆面积为.
故答案为：
答案第1页，共2页
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