2021-2022学年度高一下数学一课一练8.3简单几何体的表面积和体积 （word含解析）

8.3简单几何体的表面积和体积
一、单选题
1．在直三棱柱中，，则三棱柱外接球体积等于（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，已知面，，四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以 ，其形露矣.”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，则三棱锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
5．若两个正四面体的顶点都是一个体积为1的正方体的顶点，则这两个四面体的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面垂直于平面，四边形为菱形，，，，，三棱锥的顶点都在球O上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知球的半径为1，是球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶；正四面体的重心，四条高的交点，外接球、内切球球心共点．4个半径为1的小球装入一个正四面体内，下列四个结论中错误的是（ ）
A．四面体最小体积
B．四面体最小表面积
C．四面体最短棱长
D．四面体最小高
9．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂的侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为cm．其中正确的判断是（ ）
A．①②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确
12．如图，AB，CD分别是圆柱上 下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．在三棱锥中，底面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.
14．某工厂现将一棱长均为4的三棱柱毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______．
15．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是___________.
16．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且其面积为，平面ABC，，则球的表面积为__________.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据给定条件将直三棱柱补形成正方体，借助正方体求其外接球半径计算作答.
【详解】
在直三棱柱中，因，即，则，
于是得，将其补形成棱长为2的正方体，如图，
则直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，
球半径，因此，，
所以三棱柱外接球体积等于.
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
由题意，将四棱锥补形为正方体，则四棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.
【详解】
解：由题意，因为面，所以，，又，，所以将四棱锥放置在如图所示的正方体中，
则正方体的外接球即为四棱锥的外接球，
所以四棱锥的外接球直径为，
所以球的表面积为，
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
设，得到，当四棱锥体积取得最大值时，根据基本不等式得到，利用三棱柱的外接球的球心为的中点，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】
设，
因为，则，
所以四棱锥的体积为，
当且仅当时，等号成立，
此时三棱柱的外接球的球心为的中点，
所以外接球的半径为，
所以三棱柱的外接球的表面积为.
故选：B.
4．A
【解析】
【分析】
将三棱锥翻转为，确定顶点A在底面的射影为斜边的中点，利用勾股定理求出，然后由三棱锥的体积公式即可求解．
【详解】
解：将三棱锥翻转一下，如图所示，
因为，所以，所以为直角三角形，
由斜线长相等，则射影长相等，可得点A在平面内的射影为直角三角形的外心，
所以为直角斜边的中点，且平面，则为三棱锥的高，
由勾股定理可得，
所以三棱锥的体积．
故选：A．
5．D
【解析】
【分析】
首先画出示意图得到公共部分几何体的结构，接着根据体积公式求解即可.
【详解】
解：因为两个正四面体的顶点都是一个体积为1的正方体的顶点，
所以两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，
故画出示意图如下：
由图可得这两个正四面体公共部分为八面体，
该八面体是由两个正四棱锥和组成，
根据正方体的对称性可得四边形为边长为的正方形，
正四棱锥和的高为正方体棱长的一半，即等于，
则,
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
由题意知，球心平面，取线段的中点为，可计算得球心直线
以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，根据可求出球的半径，即可求出答案.
【详解】
空间中到两点距离相等的点的集合为平面，
所以球心平面，
在平面上到两点距离相等的点的集合为线段的垂直平分线.取线段的中点为，
∵，∴，
由余弦定理得，，
∴，
故为线段的垂直平分线，
所以球心直线
取的中点为，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，O是球心，只需要使，
即，
解得：，所以，
所以.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
由球的截面性质求得球心到平面的距离，即棱锥的高，然后计算体积．
【详解】
解：的外接圆半径为，从而三棱锥的高为
故选：C
8．A
【解析】
【分析】
当四球与正四面体内切，且四球两两相切时相关量最小，在此状态下，内切球球心构成正四面体，棱长为2，求出小正四面体与大正四面体的相似比得解.
【详解】
由题可知，正四面体体积、表面积、棱长、高达到最小时， 四个球两两相切且与正四面体都相切，设此时正四面体为，内切四球球心构成棱长为2的正四面体.
正四面体中，高为，为中点，，
为直线与面所成角，，
正四面体的表面积为；
正四面体的体积为
球与正四面体内切，为切点，，
因为，所以，
所以正四面体的高为：，
两个正四面体的相似比为：，
所以正四面体的最小体积为：，A错；
正四面体的最小表面积为：，B正确；
正四面体的最小棱长为：，C正确；
正四面体的最小高为：.
故选;A.
9．A
【解析】
【分析】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和
【详解】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为
，
故选：A
10．D
【解析】
【分析】
根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.
【详解】
设球的半径为，因，则的面积，
而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，
于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，
所以球的表面积为.
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着爬行即为最短路径，计算即可判断②.
【详解】
直径为10cm，母线长为15cm.
底面圆周长为.
将其侧面展开后得到扇形半径为cm，孤长为，则扇形面积为，①错误.
将其侧面展开，则爬行最短距离为，由孤长公式得展开后扇形弧度数为,作，，又,
,
cm,②正确.
故选：C
12．C
【解析】
【分析】
分别取上下底面的圆心为，连接，可得平面，设圆柱上底面圆的半径为, 三棱锥的体积为,求出a，由圆柱的侧面积公式可得答案.
【详解】
分别取上下底面的圆心为，连接，则，
因为，所以，且，
所以平面，设圆柱上底面圆的半径为,则，
三棱锥的体积为,
解得，该圆柱的侧面积为，
故选：C.
13．
【解析】
【分析】
计算出外接圆的半径，利用公式可求得三棱锥的外接球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则为圆柱的外接球球心，且有，
底面，可将三棱锥置于圆柱内，其中圆为的外接圆，
由余弦定理可得，，则，
则外接圆的直径，则，
所以三棱锥外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.根据等边三角形求出其内切圆的半径，从而得出答案.
【详解】
解：圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.
设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱底面圆即为三棱柱的底面等边三角形的内切圆.
如图所示：设为圆柱底面圆与三棱柱的底面等边三角形的一个切点，则为中点.
所以，即
圆柱体体积最大值为：
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
先利用基本不等式求出的取值范围，再设点，的坐标，由，的纵坐标相同，得到，从而得到，再利用圆柱的体积公式以及基本不等式，即可得到答案.
【详解】
由，又，则，当且仅当时取等号，
∴，且，
∵矩形绕轴旋转而成的几何体为圆柱，设,，,，如图所示，
则圆柱的底面圆的半径为，高为，且，，
∴，即，由，可得，
∴，故，
∴圆柱的体积为，当且仅当时取等号，
∴此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
由正弦定理可得外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体的外接球的半径，即可求出球的表面积．
【详解】
因为为等边三角形且其面积为，
所以的边长为，
由正弦定理可得外接圆的半径为，
平面，，
四面体的外接球的半径为，
球的表面积为．
故答案为：
答案第1页，共2页
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