2021-2022学年度高一下数学一课一练8.4空间点、直线、平面的位置关系 （word含解析）

8.4空间点、直线、平面的位置关系
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若直线a在平面α外，则直线a//α
B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交
C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α//β
D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α//β
2．两条异面直线与同一平面所成的角不可能是（ ）
A．两个角均为
B．一个角为，一个角为
C．两个角均为
D．两个角均为
3．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）
A．5 B． C． D．
4．已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则“αβ"成立的一个充分条件为（ ）
A．mα，mB，nα，nβ B．m⊥n，mα，n⊥β
C．m⊥n，mα，nβ D．mn，m⊥α，n⊥β
6．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的有（　　）
A．二面角A1﹣CD﹣D1的大小为45°
B．异面直线D1B1与CD所成的角为60°
C．D1到平面A1DCB1的距离为
D．直线D1B1与平面A1DCB1所成的角为30°
8．如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．与所在直线垂直 B．与所在直线平行
C．与所在直线异面 D．与所在直线成角
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为__________.
10．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，用过三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________
11．已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是___________.
12．已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________．
四、解答题
13．在120°的二面角的面，内分别有，两点，且，到棱距离，分别是2，4，，如图所示，求：
（1）直线与棱所成角的余弦值：
（2）直线与平面所成角的正弦值：
（3）二面角的平面角的正切值.
14．已知M，N是长方体的棱，的中点，且
（1）若，求异面直线MN与所成角的大小；
（2）若异面直线MN与所成角的大小为，求异面直线CD和所成角的大小.
15．正四棱柱的底面边长为，.
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
16．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用直线a在平面α外的定义，可判断A；直线a与平面α有公共点，没说明公共点的个数，可判断B；平面α内也可能存在直线与平面β有交点，可判断C；利用面面平行的判断定理，可判断D
【详解】
直线a在平面α外，则直线a//α或a与α相交，故A错；
直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a α，故B错；
C中α与β可能平行，也可能相交，故C错；
若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则平面α内的任意直线与平面β平行，一定存在两条相交直线与平面β平行，则α//β，故D正确；
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
根据线面角的概念与线面的位置关系对每个选项分别进行判断，即可得出答案.
【详解】
A：如果两条直线与同一个平面所成的角为，则这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，所以选项A有可能；
B：如果一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直，且两条直线不相交，此时两条直线与平面所成的角一个角为，一个角为，所以选项B有可能；
C：如果两条直线都与这个平面平行，且这两条直线不平行，也不相交，则两直线异面，此时两条直线与平面所成的角均为，所以选项C有可能；
D：若两直线与同一平面所成角都是，则两直线都与该平面垂直，故它们平行，不可能为异面直线，故选项D不可能.
故选：.
3．D
【解析】
【分析】
作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.
【详解】
如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则且，
又且，得且，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为2，，，，，
故的面积为.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果.
【详解】
以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，如下图所示：
因为四边形为平行四边形，则且，
同理可知且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
在中，，，，
所以，，
由余弦定理可得，
因此，直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
对于A、B、C三个选项，在正方体中取适当的平面α，β和直线，可以否定结论；
对于D：利用“垂直于同一直线的两平面平行”即可证明.
【详解】
对于A：在正方体中，分别取平面α，β和直线m,n,l如图示：
设，若，则满足，但是a与β相交.故A错误；
对于B：在正方体中，分别取平面α，β和直线m,n如图示：
满足m⊥n，mα，n⊥β，但是a与β相交.故B错误；
对于C：在正方体中，分别取平面α，β和直线m,n如图示：
满足m⊥n，mα，nβ，但是a与β相交.故C错误；
对于D：因为mn，m⊥a，则n⊥a，又n⊥β，a，B是两个不重合的平面，则aβ.
故D正确；
故选：D.
6．D
【解析】
【分析】
作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用余弦定理进行求解.
【详解】
如图，连接，记，则是的中点，取的中点，
连接，易证，则是异面直线与
所成的角或其补角.设，则.由余弦定理可得：，故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
7．ACD
【解析】
【分析】
对于A，推导了出二面角A1﹣CD﹣D1的平面角为∠A1DD1，由此能判断A的正误；对于B，异面直线D1B1与CD所成的角为∠B1D1C1，由此能判断B的正误；对于C，D1到平面A1DCB1的距离为d，由此能判断C的正误；对于D，连结AD1，交A1D于点O，取CB1中点E，连结OE，OB1，推导出∠D1B1O是直线D1B1与平面A1DCB1所成的角，由此能求出直线D1B1与平面A1DCB1所成的角的大小．
【详解】
解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
对于A，∵CD⊥A1D，CD⊥DD1，∴∠A1DD1是二面角A1﹣CD﹣D1的平面角，
∵A1D1⊥DD1，且A1D1＝DD1，∴二面角A1﹣CD﹣D1的大小为∠A1DD1＝45°，故A正确；
对于B，∵CD∥C1D1，∴∠B1D1C1是异面直线D1B1与CD所成的角（或所成角的补角），
∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴∠B1D1C1＝45°，
∴异面直线D1B1与CD所成的角为45°，故B错误；
对于C，连结AD1，交A1D于点O，取CB1中点E，连结OE，OB1，
由题意得D1O⊥A1D，OD1⊥OE，又A1D∩OE＝O，∴D1O⊥平面A1DCB1，
∴D1到平面A1DCB1的距离为d，故C正确；
对于D，由C解析得∠D1B1O是直线D1B1与平面A1DCB1所成的角，
∵D1OD1B1，
∴直线D1B1与平面A1DCB1所成的角为∠D1B1O＝30°，故D正确．
故选：ACD．
8．BCD
【解析】
【分析】
作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；利用图形可判断C选项.
【详解】
如下图所示，连接.
对于A选项，因为且，则四边形为平行四边形，
故与所成的角为或其补角，
易知为等边三角形，则，A错；
对于B选项，由A可知，四边形为平行四边形，则，B对；
对于C选项，由图可知，与所在直线异面，C对；
对于D选项，因为且，故四边形为平行四边形，
所以，与所成的角为或其补角，
因为为等边三角形，则，即与所在直线成角，D对.
故选：BCD.
9．
【解析】
【分析】
连接MD，取MD中点E，连接EN，CE，所以，所以直线和夹角即为，分别求得各个长度，结合余弦定理，即可求得答案.
【详解】
连接MD，取MD中点E，连接EN，CE，
因为ABCD为正四面体，且棱长为1，分别为的中点，
所以，
因为E，N分别为MD，AD中点，
所以，且，
所以直线和夹角即为，
在中，，
所以在中，，
所以直线和夹角的余弦值为.
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
根据题意画出截面图形，再利用相似和全等三角形求出截面图形的边长，即可得出答案.
【详解】
解：如图所示（保留作图痕迹）
作、的延长线交于点，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，则五边形即为截面图像，
由三角形相似得：，，，
所以，，，，，
所以五边形的周长为，
即截面图像的周长为.
故答案为：.
11．① ②
【解析】
【分析】
假设与都不相交得到，得到① 正确，若不垂直，上取一点，作交于，得到，得到② 正确，得到答案.
【详解】
若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，① 正确；
若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，② 正确.
故答案为：① ②.
12．
【解析】
【分析】
如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，可得平面即为所需截面，求出其周长即可.
【详解】
如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，
连接，
又分别是中点，，
又，，四边形为平行四边形，
，，平面，
，平面，
又，平面平面，
又平面ABC，，分别是的中点，，
，
，，
，
在中，，，
，，
所求截面的周长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是根据线面平行的性质得出截面与各棱的交点.
13．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）过点D作DE∥AC，且DE=AC，∠BAE为直线与棱所成角，结合条件在Rt△ABE中即求；
（2）过A作AH⊥于H，连HC，则HC⊥l，∠ABH为直线与平面所成角，在△AHB中即求；
（3）过H作HM⊥BC交BC延长线于M，则AMH即为二面角的平面角在直角三角形HMC中可求.
【详解】
（1）在内过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接AE，又AC⊥l,所以DE⊥l，
∴四边形ACDE为矩形，
∴AE=CD，AE∥l，
又DE⊥l，BD⊥l，，
∴∠BDE为二面角的平面角，即∠BDE=120°，
在△BDE中，
，
又DE⊥l，BD⊥l，，
∴AE⊥平面BDE，
∴AE⊥BE，在Rt△ABE中
由AE∥l，知∠BAE为直线与棱所成角，
即直线与棱所成角的余弦值.
（2）过A作AH⊥于H，连HC，则HC⊥l，∠ABH为直线与平面所成角
∴∠ACH=，∴，
在直角三角形AHB中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）过H作HM⊥BC交BC延长线于M，连接AM，则BC⊥AM，
∴∠AMH即为二面角的平面角，
在直角三角形HMC中HC=1，HM=HCsin∠HCM=HCcos∠DCB，
又在直角三角形BCD中，，
∴，
∴，
即二面角的平面角的正切值为.
14．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，则为所求角，结合三角形知识求出角度即可
（2）设，由已知条件求出，又易知为所求角，结合三角形知识求出角度即可
【详解】
（1）连接，
易知，所以为异面直线MN与所成的角，
因为，
所以，
所以异面直线MN与所成角的大小；
（2）设，则，，
因为异面直线MN与所成角的大小为，
所以，
解得，
又，
所以为异面直线CD和所成的角，
因为，
所以，
所以异面直线CD和所成角的大小为
15．（1），体积为；（2）.
【解析】
（1）由题意得，再由正四棱柱的表面积和体积公式可得答案.
（2）连接，则，转化为直线 与所成的角就是异面直线与 所成的角，根据已知得到 是等腰三角形，取的中点 ，连接，所以 ，可得 ，
【详解】
（1）由题意得，
则该正四棱柱的表面积为
，
体积为.
（2）连接，则，
所以直线与所成的角就是异面直线与 所成的角，
在中，，所以 是等腰三角形，
取的中点，连接，所以，且 ，
在中，由，
则得，
所以，异面直线与所成的角的大小.
【点睛】
求异面直线所成的角的几何方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线进行平移；②利用特殊点作平行线进行平移；③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移；④向量法.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
连接AC，
分别是的中点，
.
在中，，
所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
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