安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（普通班）下学期2月开学摸底考试数学试题（Word版含答案）

定远县育才学校2021-2022学年度第二学期开学考卷
高二普通班数学
第I卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与相交不垂直
3．已知圆的圆心在直线上，则该圆的半径为（ ）
A．2 B． C．4 D．15
4．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）．
A．，， B．，1，
C．，1， D．，1，
5．已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
6．已知空间向量，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．若直线与平行，并且经过直线和的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3，4 C．4，3 D．－4，－3
8．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0
9．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．1或3
10．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点到防护罩外端的距离为（ ）
A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，的长度为2，且，则的长度为________．
14．已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为1，则的方程为___________.
15．设，则动点P的轨迹方程为________．
16．已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：
①当变化时，直线恒过定点；
②直线与圆可能无公共点；
③若直线与圆有两个不同交点，，则线段的长的最小值为；
④对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点.
其中正确的结论是______.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．（10分）已知点到两个定点的距离比为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
18．（12分）已知正方体的棱长为2，E，F分别是BD，的中点，M是上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）直线与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程.
20．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．
（1）求动点Q的轨迹的方程E；
（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与交于、两点，点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程．
22．（12分）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.
参考答案
1．A
【详解】设与直线平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：A．
2．C
【详解】由题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，
可得，所以，所以.
故选：C.
3．B
【详解】的圆心坐标为，
由于圆心在直线上
所以可得，即圆的方程为
所以圆的半径为．
故选：B
4．A
【详解】
，
，解得,故选：A
5．A
【详解】如图，要使直线与线段相交，则应满足或，
因为，，
所以或.
故选：A.
6．D
【详解】由可得，，
所以，
化简得，
所以，故选：D
7．B
【详解】
由得，由题意得，解得.
故选：B.
8．C
【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0
则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0
故选：C
9．B
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得．
故选：B.
10．A
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：
所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，
则 ,
又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而,
由，，解得，，所以双曲线的方程为,
故选：A.
11．D
【详解】因为抛物线过点，
所以，所以抛物线方程为，
方程化成标准方程为，
故抛物线的焦点坐标为.故选：D.
12．C
【详解】
以顶点O为坐标原点，射线OF为x轴建立平面直角坐标系，如图，
令轴截面边界曲线所在抛物线方程为：，
则，，而点A在抛物线上，于是得，又，解得，
则到距离，
所以顶点到防护罩外端的距离为35cm.故选：C
13．
【详解】设 ，则有：
则有：
根据，
解得：
故答案为：
14．
【详解】
由的面积为7，得，即.又离心率为，所以，所以，故的方程为.
故答案为：.
15．
【详解】
因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
故答案为：.
16．③④
【详解】
对于①，，当变化时，直线恒过定点，故错误；
对于②，因为，所以在圆的内部，所以直线与圆总有公共点，故错误；
对于③，当直线与过圆心的直径垂直时，线段的长度的最小，此时
，故正确；
对于④，把圆心代入直线，得
对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点，故正确.
故答案为：③④.
17．
（1）
（2）或
（1）设,则，，故，两边平方得：
（2）当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
18．（1）证明：如图，以点A为原点，分别以直线AB，AD，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，可取，
因为，BM在平面外，所以平面；
（2）解：因为，平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
故，
直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）
（2）
（1）解：根据双曲线的定义得动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，，所以，
所以动点的轨迹方程
（2）解：设，则，，
所以，即，
所以，
因为弦的中点坐标为，所以，
所以
所以直线的方程为，即.
联立方程得，
此时，，满足题意.
所以直线的方程为
20．
（1）
（2）
（1）∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵, ∴是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，
即动点Q的轨迹的方程为.
（2）设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，则，
代入可得，即点M的坐标为，
同理设，，直线的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，
则，代入可得，即点的坐标为，
则直线MN的斜率为，
即方程为，整理得，
故直线MN恒过定点.
21．（1）
（2）
（1）解：因为与轴垂直，所以，，且，
则，即，
所以，
故的方程为；
（2）解：由题意，得，当与轴重合时，，，
从而面积是面积的3倍，此时不适合题意；
当与轴不重合时，设直线的方程为，，，
联立得，
由题意，得，
且，，
由的面积是面积的2倍，得，所以，
所以，，
即，解得，所以直线的方程为．
22．（1）；
（2）.
（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为.
（2）设动点，切点，.
设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立，
消去x整理得，，所以，
所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为，
联立解得两切线的交点，所以有.
因为，
又G在定直线，所以有，即P的轨迹为，
因为P在抛物线外，所以.
如图，取AB中点Q，则，
所以，因为，
所以，所以，所以当时，.