安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）下学期2月开学摸底考试数学试题（Word版含答案）

定远县育才学校2021-2022学年度第二学期开学摸底考试
高二实验班数学
第I卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，分别沿AE，AF将三角形ADE，ABF折起，使得点B，D恰好重合，记为点P，则AC与平面PCE所成角等于（ ）
A． B． C． D．
6．在数列中，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
7．已知椭圆的左右焦点分别为，，过C上的P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形是菱形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的一个焦点关于其中一条渐近线的对称点为，若点P恰在C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.
14．若倾斜角为的直线被直线：与：所截得的线段长为，则____________.
15．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.
16．已知等差数列的前项和为，则数列的前2022项的和为___________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．（10分）已知圆，直线：，
（1）求证：直线与圆C相交；
（2）直线 与圆C交于A，B两点，判断何时最长，何时最短？当最短时，求m的值以及最短长度．
18．（10分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，．
（1）证明：；
（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值．
19．（10分）已知椭圆C：（）过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
20．（10分）已知是等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
21．（10分）已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
22．（10分）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点.
（1）设为坐标原点，求线段的长度；
（2）求证：平分.
参考答案
1．A
【详解】
因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
2．A
【详解】
因为直线的斜率为，直线与该直线垂直，
所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为即.
故选：A.
3．A
【详解】
因为，
所以，
若，则关于n的函数单调递增，
所以数列为递增数列；
若为递增数列，则，
即，解得.
所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：A
4．A
【详解】
由得，
所以圆心，半径，
在中，，
当最小时，最小，最大，最小，此时，
的最小值为圆心到直线的距离：，此时，，
因为，所以，所以圆心到直线的距离为，
所以两平行直线与之间的距离为，
因为原点到直线的距离为，
所以原点到直线的距离为.
故选：A
5．A
【详解】
由题意得，
因为正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，
所以，
所以，
所以
所以PA，PE，PF三线互相垂直，
故以PE，PF，PA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则
由，，，得
，
解得，则
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为，
所以AC与平面PCE所成角的正弦值，
因为AC与平面PCE所成角为锐角，
所以AC与平面PCE所成角为，
故选：A
6．A
【详解】
∵
∴，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
∴，故选：A.
7．C
【详解】
如图示：
由题意可知 ，
因为四边形是菱形，所以，则，
所以P点坐标为，
将P点坐标为代入得：
，整理得，
故，由于 ，解得，
所以，故选：C.
8．A
【详解】
如图，设双曲线C的两个焦点分别为，由已知P，关于渐近线对称，
所以，故.因为，所以.
又到渐近线距离为，所以.故，由双曲线定义知：，所以.
又，所以.所以双曲线的方程为.
故选：A.
9．C
【详解】
如图，根据抛物线定义，可知PF=PN，OF=AO=2，又因为，所以三角形PNF为等边三角形，点F作FM⊥PN于点M，则M为PN的中点，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面积为.
故选：C
10．B
【详解】
在等式中，令，可得，
所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，
因为，
所以，
化简得，，
解得或（舍去），
故选：B
11．A
【详解】
，整理得.
因为等比数列的各项均为正数，
所以公比，则，所以，即，
所以.
故选：A.
12．B
【详解】
感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
13．2
【详解】
因为，则其方向向量，
，解得.
故答案为：2.
14．
【详解】
设直线与直线，分别相交于A，B两点，由题意知，平行直线与直线之间的距离，所以直线与直线，垂直，所以直线的斜率为1，倾斜角.
故答案为：
15．
【详解】
，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为．
故答案为：．
16．
【详解】
设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
因此，
所以，
所以数列的前2022项的和为
.
故答案为：.
17．（1）证明：直线l的方程可化为，
联立解得
所以直线恒过定点．
因为，所以点在圆C内部，所以直线l与圆C相交．
（2）令，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，．
由．解得．
此时直线l的方程是．
圆心到直线的距离为，
．所以最短弦长是．
18．（1）证明：∵平面ABC，
∴，
又，，
∴平面ABD，
∴．
（2）如图，
以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，
依题意，可得，．
设为平面BCD的一个法向量，
则，
不妨令，可得．
设为平面DCM的一个法向量，
则，
不妨令，可得，
所以．
所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为．
19．（1）
（2）为定值
（1）
由题意得解得
故椭圆C的方程为；
（2）设直线AB：，，联立
消去y得，
设，，得，，
因为点C与点B关于x轴对称，所以，
所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，
令，解得
可得，所以，
因为，
所以，
所以为定值．
20．
（1）
（2）
（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2）.
因为，所以，解得或.
因为，所以.
21．（1）；（2）.
【详解】（1）由题意可得解得.
故抛物线的方程为.
（2）设，.
联立整理得（*）.
由直线和抛物线交于 两点可知，且，
.
依题意，所以，
则，
即，整理得，
解得.
此时（*）式为，符合题意.
故直线的方程为.
22．【详解】（1）不妨设在第二象限，则渐近线的方程为，
则直线的方程为，
由得：，，，
；
（2）证明：设直线的倾斜角为，则，，
又，直线的斜率为，
则直线的方程为，
由得：，
，，
又，直线的斜率为，
故平分.