带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动
1．如图所示，在E＝103V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R＝40cm，一带正电荷q＝10－4C的小滑块质量为m＝40g，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，在水平轨道上的某点由静止释放，小滑块恰好能通过半圆形轨道的最高点C，取g＝10m/s2，求：
（1）要小滑块在圆形轨道C点的速度大小．
（2）滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？
（3）小滑块经过C点后最后落地，落地点离N点的距离多大？
2．如图所示，空间分布着水平向右的匀强电场，质量为m、电荷量为q的带正电的小球用绝缘细线悬挂在O点。小球静止时，细线与竖直方向的夹角。已知重力加速度大小为g。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若把小球拉至最低点A，并给它一水平初速度，为使小球可做完整的圆周运动，求细线长度的范围；
（3）若小球在电场中静止时，再加一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。剪断细线，求小球运动过程中的最大速率。
3．如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于电场强度，水平方向的匀强电场中，轨道半径为R，一质量为m、电荷量为q的带负电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点被绝缘挡板挡住不动，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v0的速度释放，使小球恰能沿轨道做完整的圆周运动。
（1）设P点的电势为零，求小球在运动过程中的最大电势能；
（2）求P点速度v0的大小；
（3）求小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小。
4．水平向右的匀强电场中，电场强度为E，一根长度为L不可伸长且绝缘的细绳一端固定于O点，另一端连着一个带电量为的小球．现将小球从与场强平行的A位置无初速释放，小球沿圆弧经过最低点B，重力加速度为g．
（1）求A、B两点间的电压；
（2）求小球从A到B的过程中电场力所做的功；
（3）若小球质量，求小球运动到B点的速度大小
5．在光滑水平面上固定一个内壁光滑的竖直圆筒S（右图为俯视图），圆筒半径为R=1m。一根长r=0.5m的绝缘细线一端固定于圆筒圆心O点，另一端系住一个质量为m=0.2kg、带电量为q=＋5×10-5C的小球。空间有一场强为E=4×104N/C的匀强电场，电场方向与水平面平行。将细线拉至与电场线平行，给小球大小为10m/s、方向垂直于电场线的初速度v0，小球紧贴着地面运动。
（1）求当小球转过90°时由什么力提供向心力？此时的速度大小？
（2）若当小球转过90°时，细线突然断裂，小球继续运动，碰到圆筒后不反弹，碰撞后，小球垂直于碰撞切面方向的速度因能量损失减小为零，平行于碰撞切面方向的速度大小保持不变。之后小球沿圆筒内壁继续做圆周运动。求这一运动过程中的速度的最小值。
（3）从初始位置开始，要使小球在运动过程中，细线始终保持不松弛，电场强度E的大小所需满足的条件。
6．如图所示，长l=1m的轻质绝缘细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在方向水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角=37°。已知小球的质量m=0.3kg，匀强电场的电场强度大小E=100N/C，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求小球所带电荷量及电性；
（2）若将电场强度方向突然改成竖直向下，大小不变，求小球运动到最低点时受到细绳的拉力大小。
7．如图所示，水平绝缘粗糙的轨道与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道平滑连接，半圆形轨道的半径，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度。现有一电荷量、质量的带电体（可视为质点），在水平轨道上的点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点，然后落至水平轨道上的点（图中未画出），取。求：
（1）带电体运动到圆形轨道点时的速度大小；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度；
（3）点到点的距离。
8． 如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，竖直方向固定一由内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆弧的圆心为O，竖直半径OD=R，一质量为m、电荷量为q的小球（可视为质点）从地面上A点以某一初速度恰好沿AB方向做直线运动，B点和地面上A点的连线与地面成θ=37°角，AB=R。小球恰好无碰撞地从管口B进入管道BD中，到达管中某处C（图中未标出）时恰好与管道间无作用力．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g。求：
(1)匀强电场的场强大小E和小球到达C处时的速度大小v；
(2)小球的初速度大小v0和运动到D点时速度的大小vD；
(3)若小球从管口D飞出时电场反向，则小球从管口D飞出后的最大水平射程xm。
9．如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径为R。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场。现有一质量m的带正电的物体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，已知静电力大小。带电体运动到半圆形轨道的D点时受到轨道给的弹力大小。已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数为μ，取重力加速度g，不计空气阻力。求：（结果可以保留根号）
（1）带电体运动到D点时的加速度大小aD；
（2）释放点P到半圆形轨道最低点B点的距离L1；
（3）带电体在半圆轨道上运动过程中对轨道压力的最大值Fm；
（4）若带电体第一次经过C点，匀强电场方向突然变为竖直向下。带电体落在水平轨道上的位置到B点的距离L2。
10．如图所示，匀强电场E=1×104V/m，方向水平向右，ABCD为竖直放置在电场中的绝缘导轨，半圆形轨道BCD光滑，半径R=0.1m，B为圆轨道最低点，水平轨道与其相切于B点，水平轨道粗糙，AB=2R，一质量m=0.1kg、电荷量q=1×10-4C的带正电的小滑块在A点有一个水平向右的初速度v0=2m/s。已知水平轨道与小滑块之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）小滑块从A到C的过程中，电场力做功为多少？
（2）小滑块到达C点时速度大小；
（3）小滑块到达C点时对轨道压力大小。
11．如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块可视为质点置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为，若滑块从水平轨道上距离B点的A点由静止释放。求：
（1）滑块到达B点的速度；
（2）滑块到达B点时，对轨道的压力；
（3）滑块到达与圆心O等高的C点时的速度大小。
12．如图所示，质量为m、带电荷量为-q（q>0）的小物块静止在墙壁A处，A处有一个弹射器（未画出），可让小物块瞬间获得Ek=3.875mgR的动能，并向右运动。AB是长度为5R的绝缘水平轨道，B端与半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，且BD的右侧空间有水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度，g为重力加速度。小物块与AB间的动摩擦因数μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。若小物块恰能通过半圆轨道，求：
（1）小物块运动到半圆轨道C点时对轨道的压力大小；
（2）小物块在半圆轨道上运动时最小动能的大小。
13．如图所示，水平绝缘轨道AB和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD在B点平滑连接，过半圆轨道圆心O的水平边界MN下方有场强为E水平向左的匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）从水平轨道上距离B点为的A点由静止释放，已知：滑块的电荷量，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g.求：
（1）滑块从B点刚进入半圆轨道时的速度大小及滑块对轨道的压力大小；
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）滑块在轨道上运动的最大速度。
14．如图所示，半径R=35cm的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑且管的内径远小于环的半径。AC为该环的竖直直径，BD为该环的水平直径，在直径BD及其以下部分有方向水平向左，场强大小E=5 N/C的匀强电场。当将一质量m=0.4kg，电荷q=+0.8 C的小球从管中B点由静止开始释放，g取10 m/s2，求：
（1）小球第一次经过C点和A点时对管壁的压力大小之比；
（2） 小球第二次和第一次经过A点时对管壁的压力大小之比。
15．如图，竖直光滑绝缘轨道由段水平和段的半圆组成，两部分相切于点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中。水平轨道上一不带电的绝缘小球甲以速度水平向右运动（未知），与静止在点带负电的小球乙发生弹性正碰。已知半圆轨道半径，电场强度，甲、乙两球的质量均为，乙球，取，水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移，甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点。
（1）求乙球在点被碰后的瞬时速度大小；
（2）求碰前甲球的速度大小；
16．如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
17．如图所示，ABG为水平轨道，AB部分粗糙，BG部分光滑，竖直虚线BB′左侧存在方向斜向下与水平面成θ=53°角、大小为E=1.0×104N/C的匀强电场。光滑半圆形轨道CD与水平轨道ABG相切于C点，最高点为D点，在竖直虚线FF′右侧存在竖直向上、大小也为E的匀强电场。现将一质量为m=0.1kg、电量为q=-1.0×10-4C的小滑块（可视为质点）从P点由静止释放，最后恰好能经过半圆形轨道CD的最高点D，并从D点飞出（小滑块不飞离虚线FF′右侧电场）。已知PB长为x=3.6m，小滑块与AB部分之间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）小滑块运动到B点时的速度大小；
（2）半圆形轨道CD的半径R；
（3）小滑块落地点到C点的水平距离。
18．如图所示，固定在竖直平面内、半径的圆弧形的光滑绝缘轨道AB，与粗糙绝缘的水平轨道BC相切于B点。轨道的一部分处在水平向左的匀强电场中，过D点的竖直虚线为电场的边界，电场强度，B点与边界线的距离。一水平轻弹簧右端固定在C处，自然伸长时左端恰好在电场的边界线。一质量、电量的小滑块P以初速度从A点沿圆弧轨道运动，将弹簧左端压到点后又被弹回，并恰好能回到A点。P与水平轨道间的动摩擦因数，取。求：
（1）物块P第一次到达电场边界时的动能；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）若将另一个与P的材料和质量都相同的不带电绝缘小滑块Q与弹簧左端连接，将P放在Q左侧，向右缓慢移动P、Q，使弹簧左端压缩到点位置，然后从静止释放，P、Q共同滑行一段距离后分离，此后P、Q不会再相碰，求分离后P在水平轨道滑行的总路程L。
19．如图，竖直放置的半圆形光滑绝缘轨道半径为R（C点为半圆最高点，B点为半圆最低点），下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为，一带负电的物块（可视为质点）质量为m、电量为q，从水平面上的A点以某一初速度水平向左运动，沿半圆形轨道通过最高点C时，对轨道的压力大小恰好等于，求：
（1）物块在最高点C的速度大小；
（2）物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离。
20．如图，圆心在O点、半径为R的绝缘光滑半圆形轨道竖直固定在绝缘水平面上，B、C分别为轨道的最低和最高点，轨道左侧有一与O点等高的平台，平台右端为D，DO=2R，过D、O的水平虚线下方（含虚线）有方向水平向右的匀强电场。现在D端正下方的水平面上A点无初速释放一质量为m、电荷量为q（q>0）的小滑块，此后滑块从半圆形轨道的C点抛出且能够落在平台上。滑块与水平面间的动摩擦因数为0.5，滑块可视为质点且运动过程中电荷量不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）滑块在C点对轨道的最小作用力大小；
（2）匀强电场场强的最小值。带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动
1．如图所示，在E＝103V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R＝40cm，一带正电荷q＝10－4C的小滑块质量为m＝40g，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，在水平轨道上的某点由静止释放，小滑块恰好能通过半圆形轨道的最高点C，取g＝10m/s2，求：
（1）要小滑块在圆形轨道C点的速度大小．
（2）滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？
（3）小滑块经过C点后最后落地，落地点离N点的距离多大？
【答案】（1）2m/s；（2）20m；（3）0.6m
【解析】
【详解】
（1）小滑块在C点时，重力提供向心力，所以
mg＝m
代入数据解得
v＝2m/s
（2）设滑块与N点的距离为L，由动能定理可得，
qEL－μmgL－mg·2R＝mv2－0
代入数据解得
L＝20m
（3）小滑块经过C点，在竖直方向上做的是自由落体运动，由
2R＝gt2
滑块在水平方向上只受到电场力的作用，做匀减速运动，由牛顿第二定律可得
qE＝ma
水平的位移为
x＝vt－at2
代入解得
x＝0.6m
2．如图所示，空间分布着水平向右的匀强电场，质量为m、电荷量为q的带正电的小球用绝缘细线悬挂在O点。小球静止时，细线与竖直方向的夹角。已知重力加速度大小为g。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若把小球拉至最低点A，并给它一水平初速度，为使小球可做完整的圆周运动，求细线长度的范围；
（3）若小球在电场中静止时，再加一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。剪断细线，求小球运动过程中的最大速率。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】
（1）小球静止时，小球受竖直向下的重力，水平向右的电场力和沿绳方向的绳子拉力
\
根据平衡条件可得
F电=mgtanα
又由于
F电=qE
解得
（2）小球做圆周运动时的等效最高点为Q，恰好经过Q点的速度为v，根据牛顿第二定律可知，电场力和重力的合力为
A到Q的等效高度为
由动能定理可得
联立解得
所以细线长度l的范围为.
（3）当小球受到重力mg，电场力F电和洛伦兹力F洛平衡时速度最大，所以
由公式
F洛=qvB
联立解得
3．如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于电场强度，水平方向的匀强电场中，轨道半径为R，一质量为m、电荷量为q的带负电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点被绝缘挡板挡住不动，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v0的速度释放，使小球恰能沿轨道做完整的圆周运动。
（1）设P点的电势为零，求小球在运动过程中的最大电势能；
（2）求P点速度v0的大小；
（3）求小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）5mg。
【解析】
【详解】
（1）由
可知电势能最大的点在电势最低的D点，如图
小球从P点到D点，由
可得
解得
（2）小球带负电，所受电场力方向水平向左，小球在复合场中做圆周运动的等效最低点在A点，如图
由
解得
A点关于O点对称的B点是复合场中小球做圆周运动的等效最高点，小球恰能沿轨道做完整的圆周运动，则在B点小球所受合力
因此
解得
小球从从P点运动到B点，由动能定理
解得
（3）P点小球受重力、电场力、轨道的压力为T，如图
则
解得
由牛顿第三定律可知，小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小为5mg。
4．水平向右的匀强电场中，电场强度为E，一根长度为L不可伸长且绝缘的细绳一端固定于O点，另一端连着一个带电量为的小球．现将小球从与场强平行的A位置无初速释放，小球沿圆弧经过最低点B，重力加速度为g．
（1）求A、B两点间的电压；
（2）求小球从A到B的过程中电场力所做的功；
（3）若小球质量，求小球运动到B点的速度大小
【答案】（1）EL；（2）-qEL；（3）
【解析】
【详解】
（1）A、B两点间的电压为
UBA=EL
（2）小球从A到B的过程中电场力所做的功为
WAB=qUAB
结合
UAB=-UBA=-EL
得
WAB=-qEL
（3）小球从A到B的过程中，根据动能定理得
又
解得
5．在光滑水平面上固定一个内壁光滑的竖直圆筒S（右图为俯视图），圆筒半径为R=1m。一根长r=0.5m的绝缘细线一端固定于圆筒圆心O点，另一端系住一个质量为m=0.2kg、带电量为q=＋5×10-5C的小球。空间有一场强为E=4×104N/C的匀强电场，电场方向与水平面平行。将细线拉至与电场线平行，给小球大小为10m/s、方向垂直于电场线的初速度v0，小球紧贴着地面运动。
（1）求当小球转过90°时由什么力提供向心力？此时的速度大小？
（2）若当小球转过90°时，细线突然断裂，小球继续运动，碰到圆筒后不反弹，碰撞后，小球垂直于碰撞切面方向的速度因能量损失减小为零，平行于碰撞切面方向的速度大小保持不变。之后小球沿圆筒内壁继续做圆周运动。求这一运动过程中的速度的最小值。
（3）从初始位置开始，要使小球在运动过程中，细线始终保持不松弛，电场强度E的大小所需满足的条件。
【答案】（1）拉力；m/s；（2）3.94m/s；（3）N/C或N/C。
【解析】
【详解】
（1）设小球转过90°时速度大小为v1，由动能定理：
解得
m/s
由拉力提供向心力 ；
（2）设小球碰到圆筒前瞬间速度大小为v2，由动能定理
解得
m/s
撞上筒壁后，设小球碰到圆筒后瞬间沿圆筒内壁做圆周运动的速度大小为v3，
小球沿圆筒内壁再转过30时速度最小，设大小为v4，由动能定理
解得
m/s=3.94m/s
（3）情况一：小球从图示位置开始运动后，速度逐渐减小。若小球能在转过90°之前速度减小为零，则反向运动，且细线始终保持不松弛。设电场强度大小为E1时，小球转过90°的瞬时速度恰为零，
则此过程中
解得
N/C
情况二：若小球从图示位置转过90°后，未到达180°时，开始反向运动，则细线会松弛。因此需保证小球能转过180°。设电场强度大小为E2时，小球转过180°瞬时的速度为vmin，则
两式联立得到
N/C
所以当N/C或N/C时，能使细线始终保持不松弛。
6．如图所示，长l=1m的轻质绝缘细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在方向水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角=37°。已知小球的质量m=0.3kg，匀强电场的电场强度大小E=100N/C，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求小球所带电荷量及电性；
（2）若将电场强度方向突然改成竖直向下，大小不变，求小球运动到最低点时受到细绳的拉力大小。
【答案】（1）2.25×10-2C，正电；（2）7.35N
【解析】
【详解】
（1）小球所受电场力方向与电场强度方向相同，所以小球带正电。根据平衡条件可得
解得
（2）若将电场强度方向突然改成竖直向下，大小不变，设小球运动到最低点时的速度大小为v，根据动能定理有
设小球运动到最低点时受到细绳的拉力大小为F，根据牛顿第二定律有
联立以上两式解得
F=7.35N
7．如图所示，水平绝缘粗糙的轨道与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道平滑连接，半圆形轨道的半径，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度。现有一电荷量、质量的带电体（可视为质点），在水平轨道上的点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点，然后落至水平轨道上的点（图中未画出），取。求：
（1）带电体运动到圆形轨道点时的速度大小；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度；
（3）点到点的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】
（1）设带电体通过点时的速度为，由牛顿第二定律得
①
解得
②
（2）设带电体通过点时的速度为，带电体从运动到的过程中，由动能定理得
③
解得
④
由到带电体做加速运动，由于电场力和重力的合力斜向右下方，所以带电体从到先加速后减速，最大速度一定出现在从到圆弧上与等高的位置之间。在此过程中只有重力和电场力做功，电场力
⑤
⑥
其合力与重力方向成夹角斜向右下方，故最大速度必出现在点右侧对应圆心角为处。设小球的最大动能为，最大速度为，最大支持力为，根据动能定理有
⑦
解得
⑧
（3）设带电体从最高点落至水平轨道上的点经历的时间为，竖直方向
⑨
⑩
解得
8． 如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，竖直方向固定一由内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧BD，圆弧的圆心为O，竖直半径OD=R，一质量为m、电荷量为q的小球（可视为质点）从地面上A点以某一初速度恰好沿AB方向做直线运动，B点和地面上A点的连线与地面成θ=37°角，AB=R。小球恰好无碰撞地从管口B进入管道BD中，到达管中某处C（图中未标出）时恰好与管道间无作用力．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g。求：
(1)匀强电场的场强大小E和小球到达C处时的速度大小v；
(2)小球的初速度大小v0和运动到D点时速度的大小vD；
(3)若小球从管口D飞出时电场反向，则小球从管口D飞出后的最大水平射程xm。
【答案】(1)，；(2) ，；(3)
【解析】
【详解】
(1)小球做直线运动时的受力情况如图所示
小球带正电，则
解得
小球到达C处时电场力与重力的合力恰好提供小球做圆周运动的向心力，如图所示：
，则
解得
(2)小球“恰好无碰撞地从管口B进入管道BD”，说明，小球从A点运动到C点的过程，根据动能定理有
解得
小球从C处运动到D处的过程，根据动能定理有
得
(3)小球水平飞出后，在水平方向上做初速度为的匀变速运动，竖直方向上做自由落体运动，则，水平方向上的加速度
得
小球从管口飞出到落地所用的时间设为t，则
得
由于
说明小球在水平方向上速度为时，小球尚未落地，则最大水平射程
9．如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径为R。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场。现有一质量m的带正电的物体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，已知静电力大小。带电体运动到半圆形轨道的D点时受到轨道给的弹力大小。已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数为μ，取重力加速度g，不计空气阻力。求：（结果可以保留根号）
（1）带电体运动到D点时的加速度大小aD；
（2）释放点P到半圆形轨道最低点B点的距离L1；
（3）带电体在半圆轨道上运动过程中对轨道压力的最大值Fm；
（4）若带电体第一次经过C点，匀强电场方向突然变为竖直向下。带电体落在水平轨道上的位置到B点的距离L2。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【详解】
(1)在D点，根据牛顿第二定律
；
；
根据合成可知
(2)从A到D
在D点
所以
(3)令带电体在图示点速度最大，OF连线与竖直方向夹角
；
所以
；
到
解得
根据牛顿第二定律
根据牛顿第三定律可知
（4）从D到C
；
离开C后，水平方向
竖直方向
所以
10．如图所示，匀强电场E=1×104V/m，方向水平向右，ABCD为竖直放置在电场中的绝缘导轨，半圆形轨道BCD光滑，半径R=0.1m，B为圆轨道最低点，水平轨道与其相切于B点，水平轨道粗糙，AB=2R，一质量m=0.1kg、电荷量q=1×10-4C的带正电的小滑块在A点有一个水平向右的初速度v0=2m/s。已知水平轨道与小滑块之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）小滑块从A到C的过程中，电场力做功为多少？
（2）小滑块到达C点时速度大小；
（3）小滑块到达C点时对轨道压力大小。
【答案】（1）0.3J；（2）；（3）7N
【解析】
【详解】
（1）小滑块从A到C的运动过程，电场力做功为
WF=qE（SAB+R）=0.3J
（2）设小滑块到达C点时速度大小为vC，对小滑块从A到C的运动过程，根据动能定理有
解得
（3）设小滑块到达C点时所受轨道支持力的大小为FN，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知小滑块到达C点时对轨道压力大小为7N。
11．如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块可视为质点置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为，若滑块从水平轨道上距离B点的A点由静止释放。求：
（1）滑块到达B点的速度；
（2）滑块到达B点时，对轨道的压力；
（3）滑块到达与圆心O等高的C点时的速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】
（1）设滑块到达点时的速度为，从A点到点，由动能定理得
而
，
解得
（2）在点根据牛顿第二定律有
解得滑块到达B点时受到轨道的支持大小
根据牛顿第三定律可知滑块到达B点时，对轨道的压力
（3）设滑块到达C点时速度大小为，从A点到C点，由动能定理得
解得
12．如图所示，质量为m、带电荷量为-q（q>0）的小物块静止在墙壁A处，A处有一个弹射器（未画出），可让小物块瞬间获得Ek=3.875mgR的动能，并向右运动。AB是长度为5R的绝缘水平轨道，B端与半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，且BD的右侧空间有水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度，g为重力加速度。小物块与AB间的动摩擦因数μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。若小物块恰能通过半圆轨道，求：
（1）小物块运动到半圆轨道C点时对轨道的压力大小；
（2）小物块在半圆轨道上运动时最小动能的大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）小物块从A处运动到圆轨道的C点的过程中，由动能定理有
在C点，由牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
联立以上式子解得
（2）设小物块在半圆轨道上的点时，电场力与重力的合力指向半圆轨道的圆心。由题意知小物块恰能通过半圆轨道，说明小物块在点的向心力由电场力与重力的合力提供，如图所示
有
由牛顿第二定律有
在点，动能最小，且
联立解得
13．如图所示，水平绝缘轨道AB和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD在B点平滑连接，过半圆轨道圆心O的水平边界MN下方有场强为E水平向左的匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）从水平轨道上距离B点为的A点由静止释放，已知：滑块的电荷量，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g.求：
（1）滑块从B点刚进入半圆轨道时的速度大小及滑块对轨道的压力大小；
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）滑块在轨道上运动的最大速度。
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【详解】
（1）设滑块通过B点时的速度大小为，在滑块从A点运动到B点的过程中，由动能定理得
解得
设滑块通过B点时半圆轨道对滑块的支持力大小为，由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小
（2）在滑块从B点运动到D点的过程中，由动能定理得
解得
（3）将电场力与重力的合成为等效重力，其与竖直方向夹角设为，如图所示：
P点为圆周运动的等效最低点，在P点速度最大设为，则有
解得
滑块从B点到P点的过程，由动能定理得
解得
14．如图所示，半径R=35cm的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑且管的内径远小于环的半径。AC为该环的竖直直径，BD为该环的水平直径，在直径BD及其以下部分有方向水平向左，场强大小E=5 N/C的匀强电场。当将一质量m=0.4kg，电荷q=+0.8 C的小球从管中B点由静止开始释放，g取10 m/s2，求：
（1）小球第一次经过C点和A点时对管壁的压力大小之比；
（2） 小球第二次和第一次经过A点时对管壁的压力大小之比。
【答案】（1）5∶1；（2）5∶1
【解析】
【详解】
（1）由分析可知
当小球从B点运动到C点时，有
由受力分析，有
FN1C－mg＝
解得
FN1C
由牛顿第三定律知
F压1CFN1C
当小球从B点运动到A点时，有
由受力分析，有
FN1A＋mg＝
解得
FN1A
由牛顿第三定律知
F压1AFN1A
则小球第一次经过C点和A点时对管壁的压力之比为
F压1C∶F压1A＝5∶1
（2）当小球从B点释放到第二次运动到A点，有
－mgR＋2qE·2R＝m
由受力分析，有
FN2A＋mg＝
解得
FN2A
由牛顿第三定律知
F压2AFN2A
则小球第二次和第一次经过A点时对管壁的压力大小之比为
F压2A∶F压1A＝5∶1
15．如图，竖直光滑绝缘轨道由段水平和段的半圆组成，两部分相切于点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中。水平轨道上一不带电的绝缘小球甲以速度水平向右运动（未知），与静止在点带负电的小球乙发生弹性正碰。已知半圆轨道半径，电场强度，甲、乙两球的质量均为，乙球，取，水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移，甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点。
（1）求乙球在点被碰后的瞬时速度大小；
（2）求碰前甲球的速度大小；
【答案】（1）3m/s；（2）
【解析】
【详解】
（1）乙球恰好通过最高点，有
由乙球从轨道最低点运动到最高点的过程中动能定理得
解得
v乙=3m/s
（2）由题意可知甲乙两球碰撞动量守恒和机械能守恒，得
联立解得
16．如图所示，水平绝缘轨道AC由光滑段AB与粗糙段BC组成，它与竖直光滑半圆轨道CD在C点处平滑连接，其中AB处于电场区内。一带电荷量为＋q、质量为m的可视为质点的滑块从A处以水平初速度进入电场区沿轨道运动，从B点离开电场区继续沿轨道BC运动，最后从圆轨道最高点D处以水平速度v离开圆轨道。已知：轨道BC长l＝1m，圆轨道半径R＝0.1m，m＝0.01kg，，滑块与轨道BC间的动摩擦因数，重力加速度g取10，设装置处于真空环境中。求：
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时的速度。
（2）若滑块恰好能到达圆轨道D点，则滑块离开电场B点时的速度大小。
（3）若m/s，为使滑块能到达圆轨道最高点D处，且离开圆轨道后落在水平轨道BC上，求A、B两点间电势差应满足的条件。
【答案】（1）1m/s；（2）3m/s；（3）
【解析】
【详解】
（1）滑块恰好能到达圆轨道D点时，根据牛顿第二定律和向心力公式得
解得
v=1m/s
（2）从B点到D点，根据动能定理
解得
vB=3m/s
（3）当电势差UAB最低时，滑块恰能经过最高点D，此时vD=1m/s
由动能定理
解得
UAB=-1600V
当电势差UAB最高时，滑块经过最高点D后做平抛运动，恰能落到B点，则由平抛运动的规律，竖直方向
水平方向
动能定理
解得
U′AB=800V
则AB间电势差满足的条件是。
17．如图所示，ABG为水平轨道，AB部分粗糙，BG部分光滑，竖直虚线BB′左侧存在方向斜向下与水平面成θ=53°角、大小为E=1.0×104N/C的匀强电场。光滑半圆形轨道CD与水平轨道ABG相切于C点，最高点为D点，在竖直虚线FF′右侧存在竖直向上、大小也为E的匀强电场。现将一质量为m=0.1kg、电量为q=-1.0×10-4C的小滑块（可视为质点）从P点由静止释放，最后恰好能经过半圆形轨道CD的最高点D，并从D点飞出（小滑块不飞离虚线FF′右侧电场）。已知PB长为x=3.6m，小滑块与AB部分之间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）小滑块运动到B点时的速度大小；
（2）半圆形轨道CD的半径R；
（3）小滑块落地点到C点的水平距离。
【答案】（1）；（2）；（3）7.2m
【解析】
【详解】
（1）P点到B点，由动能定理得
解得
（2）若小滑块恰好能通过D点，由牛顿第二定律得
B点到D点，由动能定理得
解得
（3）小滑块受力分析，可得竖直方向，有
又
水平方向，有
联立，可得
18．如图所示，固定在竖直平面内、半径的圆弧形的光滑绝缘轨道AB，与粗糙绝缘的水平轨道BC相切于B点。轨道的一部分处在水平向左的匀强电场中，过D点的竖直虚线为电场的边界，电场强度，B点与边界线的距离。一水平轻弹簧右端固定在C处，自然伸长时左端恰好在电场的边界线。一质量、电量的小滑块P以初速度从A点沿圆弧轨道运动，将弹簧左端压到点后又被弹回，并恰好能回到A点。P与水平轨道间的动摩擦因数，取。求：
（1）物块P第一次到达电场边界时的动能；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）若将另一个与P的材料和质量都相同的不带电绝缘小滑块Q与弹簧左端连接，将P放在Q左侧，向右缓慢移动P、Q，使弹簧左端压缩到点位置，然后从静止释放，P、Q共同滑行一段距离后分离，此后P、Q不会再相碰，求分离后P在水平轨道滑行的总路程L。
【答案】（1）；（2）4J；（3）
【解析】
【详解】
（1）由动能定理可得：
解得
（2）设D、两点间的距离为，小滑块P从A点出发到再次回到A点的过程克服摩擦力所做的功为，则有：
可得
物体P由点返回到A点的过程，由功能关系得：
（3）物体P和Q从D点被释放后一起滑行到D点并分离，设分离时物体P的动能为，则有：
得
由于，，
所以小滑块最终在圆弧轨道某部分做往复运动，且到B点的速度为0，由功能关系可得
解得
19．如图，竖直放置的半圆形光滑绝缘轨道半径为R（C点为半圆最高点，B点为半圆最低点），下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为，一带负电的物块（可视为质点）质量为m、电量为q，从水平面上的A点以某一初速度水平向左运动，沿半圆形轨道通过最高点C时，对轨道的压力大小恰好等于，求：
（1）物块在最高点C的速度大小；
（2）物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）由作用力和反作用力的特点可知：轨道对物块的支持力为mg，方向竖直向下；
物块在C点受重力、电场力和轨道支持力作用，故由牛顿第二定律可得
所以，物块在最高点C的速度为
（2）物块从C点飞出后，有
水平方向有
竖直方向有
解得
20．如图，圆心在O点、半径为R的绝缘光滑半圆形轨道竖直固定在绝缘水平面上，B、C分别为轨道的最低和最高点，轨道左侧有一与O点等高的平台，平台右端为D，DO=2R，过D、O的水平虚线下方（含虚线）有方向水平向右的匀强电场。现在D端正下方的水平面上A点无初速释放一质量为m、电荷量为q（q>0）的小滑块，此后滑块从半圆形轨道的C点抛出且能够落在平台上。滑块与水平面间的动摩擦因数为0.5，滑块可视为质点且运动过程中电荷量不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）滑块在C点对轨道的最小作用力大小；
（2）匀强电场场强的最小值。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）从C到平台，滑块做平抛运动。由题意知，当滑块恰好落到平台上D点时，对应着匀强电场场强的最小值，也对应着滑块在C点对轨道有最小作用力。设在C点时，滑块的速率为，轨道对滑块的作用大小为F
由运动学规律有
由牛顿第二定律有
联立以上三式解得
由牛顿第三定律解得滑块在C点对轨道的最小作用力大小为
（2）滑块在水平面受到的滑动摩擦力大小为
设场强最小值为E，则滑块在电场中受到的电场力大小为
从A到C，由动能定理有
解得
