2021-2022学年苏科版九年级数学下册6.2黄金分割课后提升练（Word版含答案）

6.2黄金分割
一、选择题
1、一条线段的黄金分割点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm
3．（2019 兴化市二模）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（　　）
A．AP2+BP2＝AB2 B．BP2＝AP AB
C．AP2＝AB BP D．AB2＝AP PB
4．如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）
A． B． C． D．
5、点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
6、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10、我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则等于　　
A． B． C． D．
二、填空题
11、已知点是线段的黄金分割点，．若．则　 　（结果保留根号）．
12．若线段c是线段a，b的比例中项，且a＝4 cm，b＝25 cm，则c＝____cm.
13．如图是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割比．已知AB＝12 cm，则AC的长约为____cm(结果精确到0.1 cm)．
14．如图连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为.若AB＝，则MN＝____．
15、某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为　 　．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）
三、解答题
16、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
17宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．如图，如果在一个黄金矩形ABCD里画一个正方形ABEF，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
18 取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
求AM，DM的长
点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。
19如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且，表示AR为边长的正方形面积，表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，表示正方形ABCD除去和剩余的面积，求：的值．
20 维纳斯女神相于1820年在密罗斯岛被发现，在多方的争夺神像的混战中，雕像的双臂被砸断，但是这一缺憾并不影响世人对其的无限推崇，至今她已经成为优雅、高贵的代名词．不仅如此，她的身材比例也符合黄金分割，也可以说是因为数学之美才赋予了女神之美．请你用尺规作图在中轴虚线上作出黄金分割点，并证明你的结论．
21、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
1. B 2. A 3.C 4. A 5. B 6. A7.C 8.C 9. C 10.B
11、：．
12．10
13. 2
14 －2.
15、．
16、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
证明：在正方形ABCD中，设AB＝2a.
∵N为BC的中点，
∴NC＝BC＝a.
在Rt△DNC中，
ND＝＝＝a.
又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a.
∴＝＝，即矩形DCEF为黄金矩形.
17.【答案】解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：四边形ABEF是正方形，
，
又，
，
矩形CDFE是黄金矩形．
18.【答案】解：在中，，，
由勾股定理知，
，
．
，
，
，
点M是线段AD的黄金分割点．
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，黄金分割，根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．
要求AM的长，即是求AF的长，只需求得PF的长，根据勾股定理进行计算PD的长就可；要求DM的长，只需就可；
根据黄金分割点的定义，只需证明．
19.【答案】解：如图，设，
点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且，
，
，
：：
：
．
故答案为：．
20.【答案】作法：如图，
过点C作，使；
在BC截取；
以点B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点D．
点D即为所求．
证明：设AB的长度为x，作，使，
在中，
，
，
，
，
图中点D为所求黄金分割点．
21、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；
（Ⅱ）根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
【解析】（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴=2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac， ∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），∴c＝8． ∴a=，b＝﹣2．
∴y=x2﹣2x+8=（x﹣2）2+6，
∵>0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1-．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB AB＝（1+）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．