2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.3平行四边形强化训练（一）（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下《9.3平行四边形》强化训练（一）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共36分)
1．平行四边形不一定具有的特征是(　　)
A．内角和为360度 B．对角互补 C．邻角互补 D．对角相等
2．如图，在 ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是12 cm，则平行四边形ABCD的周长是(　　)
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．24 cm
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
3．如图3，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝(　　)
A．1 B. C．2 D．3
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，如果添加一个条件，使△ADE≌△CBF，那么添加的条件不能为(　　)
A．DE＝BF B．AE＝CF C．BE＝DF D．∠ADE＝∠CBF
5．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5 cm，那么直线a与c的距离是(　　)
A．2 cm B．8 cm C．8或2 cm D．不能确定
5．如图3，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(　　)
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．无法确定
6．如图所示，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，E，G为垂足，则下列说法中错误的是(　)
A．CD＞CE B．A，B两点间的距离就是线段AB的长
C．CE＝FG D．l1，l2间的距离就是线段CD的长
7．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(　　)
A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
8．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(　　)
A．13 B．17 C．20 D．26
9．如图在 ABCD中，下列结论中错误的是(　　)
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AB到CD的距离与AD到BC的距离相等
10. 在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则 ABCD的面积为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为(　　)
A．24 B．36 C．40 D．48
12．如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二．题空题(每小题3分 共30分)
13．如图剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是____．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
13．如图， ABCD的周长为18 cm，AE平分∠BAD，若CE＝1 cm，则AB的长度是____cm.
14．在 ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠A＝30°，则CD＝__3__cm__，AD＝__5 cm__，∠B＝____，∠C＝____，∠D＝____．
15．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是____．
16．如图，AD∥BC，AC，BD交于点E，三角形ABE的面积等于2，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于____．
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝12，AC＝10，BD＝26，则 ABCD的面积为____．
18．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为____，BC的长为____．
第18题图 第19题图 第20题图 第22题图
19．如图，在 ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为____．
20．如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则 ABCD的周长为____．
21．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝____．
22．如图，在 ABCD中，AE，AF分别垂直于BC，CD，垂足为E，F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝__6__；AB与CD的距离为____；AD与BC的距离为____；∠D＝____．
三．解答题（54分）
23．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC上的点，过点M作EM⊥AB，交AB的延长线于点E，过点N作FN⊥DC，交DC的延长线于点F，且EM＝FN，
求证：AM＝CN.
24．（6分）如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，则OE＝OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图②和图③)，OE与OF还相等吗？若相等，请说明你的理由．
25．（5分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21 cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm，求AD和BC之间的距离．
26．（6分）如图，在 ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF.
(1)求证：AE＝CF；(2)求证：AE∥CF.
27．（6分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长； (2)求 ABCD的面积．
28．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．(1)求证：BE＝DF；(2)在不添加任何辅助线的情况下写出图中的所有全等三角形．
29．（9分）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：(1)已知：如图5①，AD∥BC，AB∥CD.求证：AB＝CD；
应用：(2)已知：如图②，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD.求证：∠B＝∠C；
(3)已知：如图③，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.求：AD与BC两条线段的和．
30（9分）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F.求证：
(1)△ABE是等边三角形；(2)△ABC≌△EAD；(3)S△ABE＝S△CEF.
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共36分)
1．平行四边形不一定具有的特征是(　B　)
A．内角和为360度 B．对角互补 C．邻角互补 D．对角相等
2．如图，在 ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是12 cm，则平行四边形ABCD的周长是(　A　)
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．24 cm
【解析】 ∵AC＝4 cm，△ADC的周长为12 cm，∴AD＋DC＝12－4＝8(cm)．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形的周长为2(AD＋DC)＝16 cm.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
3．如图3，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝(　C　)
A．1 B. C．2 D．3
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠ABE＝∠CFE，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝CB＝5，∴DF＝CF－CD＝5－3＝2.
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，如果添加一个条件，使△ADE≌△CBF，那么添加的条件不能为(　A　)
A．DE＝BF B．AE＝CF C．BE＝DF D．∠ADE＝∠CBF
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.当DE＝BF时，不能用SSA证明△ADE≌△CBF，所以A选项内容错误，符合题意；当AE＝CF时，用SAS可以证明△ADE≌△CBF，所以B选项内容正确，不符合题意；当BE＝DF时，则AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF，与B答案思路一样，所以C选项内容正确，不符合题意；当∠ADE＝∠CBF时，用ASA可以证明△ADE≌△CBF，所以D选项内容正确，不符合题意
5．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3 cm，直线b与c之间的距离是5 cm，那么直线a与c的距离是(　C　)
A．2 cm B．8 cm C．8或2 cm D．不能确定
【解析】 (1)如答图①，直线a与c的距离是3 cm＋5 cm＝8 cm；(2)如答图②，直线a与c的距离是5 cm－3 cm＝2 cm.
5．如图3，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(　C　)
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．无法确定
【解析】 ∵l1∥l2，∴l1，l2之间的距离是固定的，∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，∴△ABC和△DBC的面积相等，∴△DBC的面积等于10.
6．如图所示，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，E，G为垂足，则下列说法中错误的是(D　)
A．CD＞CE B．A，B两点间的距离就是线段AB的长
C．CE＝FG D．l1，l2间的距离就是线段CD的长
【解析】 A．∵l1∥l2，CE⊥l1，∴CD＞CE，故本选项说法正确；B．∵AB是线段，∴A，B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项说法正确；C．∵l1∥l2，CE⊥l1，FG⊥l2，∴CE＝FG，故本选项说法正确；D．∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项说法错误．
7．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(　C　)
A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
8．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(　B　)
A．13 B．17 C．20 D．26
9．如图在 ABCD中，下列结论中错误的是(　D　)
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AB到CD的距离与AD到BC的距离相等
10. 在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则 ABCD的面积为(　B　)
A．8 B．12 C．16 D．24
【解析】 如答图，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠B＝45°，∴∠BAE＝45°，∴BE＝AE.设AE＝x，则BE＝x，∵AB2＝BE2＋AE2，∴2x2＝42，解得x＝2，∴S ABCD＝BC·AE＝6×2＝12.故选B.
11．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为(　D　)
A．24 B．36 C．40 D．48
【解析】 设BC＝x，则CD＝20－x，根据“等面积法”，得4x＝6(20－x)，解得x＝12，∴S ABCD＝4x＝4×12＝48.故选D.
12．如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，∴S△ABD＝S△BCD，同理，S△BFP＝S△BGP，S△PED＝S△HPD，∵S△BCD－S△BFP－S△PHD＝S PFCH，S△ABD－S△BGP－S△EPD＝S AGPE.∴S PFCH＝S AGPE，∴S PFCH＋S PHDE＝S AGPE＋S PHDE，S PFCH＋S BFPG＝S AGPE＋S BFPG，∴S AGHD＝S EFCD，S ABFE＝S BCHG.共有3对面积相等的平行四边形，故选C.
二．题空题(每小题3分 共30分)
13．如图剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是__平行四边形__．
【解析】 由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
13．如图， ABCD的周长为18 cm，AE平分∠BAD，若CE＝1 cm，则AB的长度是__4__cm.
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，设AB＝CD＝x cm，则AD＝BC＝(x＋1)cm，∵ ABCD的周长为18 cm，∴x＋x＋1＝9，解得x＝4，即AB＝4 cm.
14．在 ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠A＝30°，则CD＝__3__cm__，AD＝__5 cm__，∠B＝__150°__，∠C＝__30°__，∠D＝__150°__．
15．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是__3__．
16．如图，AD∥BC，AC，BD交于点E，三角形ABE的面积等于2，三角形CBE的面积等于3，那么三角形DBC的面积等于__5__．
【解析】 ∵AD∥BC，∴S△ABD＝S△ACD，∴S△ABE＝S△ECD＝2，∴S△DBC＝S△ECD＋S△BCE＝2＋3＝5.
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝12，AC＝10，BD＝26，则 ABCD的面积为__120__．
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝5，OB＝BD＝13，∵AB＝12，∴OA2＋AB2＝OB2，∴AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴ ABCD的面积＝AB·AC＝12×10＝120.
18．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为__3__，BC的长为__5__．
【解析】 ∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝CB，∴BC＋AB＝8①，∵△AOB的周长比△BOC的周长小2，∴OB＋OC＋BC－(OA＋OB＋AB)＝2，∴BC－AB＝2②，①＋②，得2BC＝10，∴BC＝5，∴AB＝3.
第18题图 第19题图 第20题图 第22题图
19．如图，在 ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__47°__．
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝43°.∵DF⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－43°＝47°，∴∠BEF＝∠AED＝47°.
20．如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则 ABCD的周长为__15__．
【解析】 由作图知，AQ是∠BAD的平分线．∴∠DAQ＝∠BAQ，又∵AB∥CD，∴∠DQA＝∠BAQ，∴∠DQA＝∠DAQ，∴DA＝QD.∵DQ＝2QC，BC＝3，∴DQ＝3，QC＝1.5，∴ ABCD的周长为2(BC＋CD)＝2×7.5＝15.
21．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__4或－2__．
22．如图，在 ABCD中，AE，AF分别垂直于BC，CD，垂足为E，F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝__6__；AB与CD的距离为__5__；AD与BC的距离为__3__；∠D＝__30°__．
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AB∥DC，∵AE，AF分别垂直于BC，CD，垂足为E，F，∴AB与CD的距离为AF，AD与BC的距离为AE，∵∠EAF＝30°，∴∠BCD＝150°，∴∠B＝∠D＝30°，∵AB＝6，∴AE＝AB＝3，∵AD＝10，∴AF＝AD＝5.
三．解答题（54分）
23．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC上的点，过点M作EM⊥AB，交AB的延长线于点E，过点N作FN⊥DC，交DC的延长线于点F，且EM＝FN，
求证：AM＝CN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN，∵EM⊥BE，FN⊥DF，∴∠E＝∠F，在△EAM和△FCN中，∴△EAM≌△FCN(AAS)，∴AM＝CN.
24．（6分）如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，则OE＝OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图②和图③)，OE与OF还相等吗？若相等，请说明你的理由．
解：图②中仍然相等．∵在 ABCD中，AB∥CD，OA＝OC，∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF；图③中仍然相等．∵在 ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.
25．（5分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21 cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm，求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于AD·x，∵S平行四边行ABCD＝2S△ABC＝2×AC·BE＝AC·BE，∴AD·x＝AC·BE，即7x＝21×5，解得x＝15.
答：AD和BC之间的距离为15 cm.
26．（6分）如图，在 ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF.
(1)求证：AE＝CF；(2)求证：AE∥CF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，
在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF(ASA)，∴AE＝CF；
(2)∵△DAE≌△BCF，∴∠AED＝∠CFB，∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF.
27．（6分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长； (2)求 ABCD的面积．
解：(1)∵OA∶OB＝2∶3，∴设OA＝2x，OB＝3x.∵AC⊥AB，AB＝2，∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.解得x＝2(负值舍去)．∴OA＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝8；
(2)∵S△ABC＝AB·AC＝×2×8＝8，∴S ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
28．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．(1)求证：BE＝DF；(2)在不添加任何辅助线的情况下写出图中的所有全等三角形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE＝OE＝OA，CF＝OF＝OC，∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF；
(2)图中的所有全等三角形为△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△BOE≌△DOF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，OA＝OC，OB＝OD，在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(SAS)，同理△AOB≌△COD，在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，同理：△ABD≌△CDB，由(1)，得△ABE≌△CDF；在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(SAS)．
29．（9分）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：(1)已知：如图5①，AD∥BC，AB∥CD.求证：AB＝CD；
应用：(2)已知：如图②，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD.求证：∠B＝∠C；
(3)已知：如图③，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.求：AD与BC两条线段的和．
解：(1)证明：如答图①，连结AC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(ASA)，∴AB＝CD；
(2)证明：如答图②，作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴AB＝DE，∵AB＝CD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠B＝∠DEC，∴∠B＝∠C；
(3)如答图③，作DF∥AC交BC的延长线于点F，∵AD∥BC，∴AC＝DF，AD＝CF，∵AC⊥BD，∴∠BDF＝∠BEC＝90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得BF＝5，故BC＋AD＝BC＋CF＝BF＝5.
30（9分）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F.求证：
(1)△ABE是等边三角形；(2)△ABC≌△EAD；(3)S△ABE＝S△CEF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形．
(2)∵△ABE是等边三角形∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE，BC＝AD，∴△ABC≌△EAD(SAS)；
(3)∵△FCD与△ABC等底(AB＝CD)等高(AB与CD间的距离相等)，∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABC－S△AEC＝S△FCD－SDEC，∴S△ABE＝S△CEF.