2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》同步课后作业（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步课后作业题（附答案）
1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
2．若（x+3）（x﹣3）＝55，则x的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．6或8
3．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
4．若a﹣b＝，则a2﹣b2﹣b的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
5．如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（　　）
A．x2﹣a2＝（x﹣a）（x+a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） D．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）
6．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长边的长为（　　）
A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
7．计算（0.1x+0.3y）（0.1x﹣0.3y）的结果为（　　）
A．0.01x2﹣0.09y2 B．0.01x2﹣0.9y2
C．0.1x2﹣0.9y2 D．0.1x2﹣0.3y2
8．下列计算正确的是（　　）
A．﹣ab2＝﹣（﹣a）（﹣b）2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
C．a2+a3＝a5 D．a2 a3＝a5
9．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32……）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第　 　个“智慧数”；第2021个“智慧数”是　 　．
10．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长是 　 　．
11．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 　 　．
12．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝　 　（结果可用幂的形式表示）．
13．（8x2+4x）（﹣8x2+4x）＝　 　．
14．同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！想办法计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．
15．同学们我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！计算：．
16．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 　 　．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：
．
17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝　 　，S2＝　 　（直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
18．简便运算：
（1）1007×993；
（2）32×20.22+0.68×2022．
19．阅读、理解、应用．
例：计算：20223﹣2021×2022×2023．
解：设2022＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2022．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：
．
20．阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝　 　．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
21．观察下列各式：
（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；
（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8；
（3a﹣2）（9a2+6a+4）＝27a3﹣8．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）＝　 　；
②（2x+1）（ 　 　）＝8x3+1；
③（ 　 　）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（2）应用规律计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
22．计算：
（1）；
（2）a a2 a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2；
（3）20212﹣2020×2022．
23．利用整式乘法公式进行计算：201×199．
24．用乘法公式计算：100×99．
25．你能化简 （a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝　 　；（a﹣1）（a2+a+1）＝　 　；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝　 　；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝　 　
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；
②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？
参考答案
1．解：（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2021的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
（方法二）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，可知第n个和谐数为8n，则2021以内最后一个和谐数为2016．
8+16+24+…+2016＝255024．
故选：D．
2．解：（x+3）（x﹣3）＝55，
x2﹣9＝55，
x2＝64，
x＝±8．
故选：C．
3．解：∵m﹣n＝1，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）﹣2n
＝m+n﹣2n
＝m﹣n
＝1，
故选：A．
4．解：∵a2﹣b2﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣b，
∴当a﹣b＝时，
原式＝（a+b）﹣b＝＝＝，
故选：D．
5．解：由左图可表示阴影部分的面积为（x+a）2﹣a2，
由右图可表示阴影部分的面积为x（x+2a），
故选：C．
6．解：由题意得，所剪梯形的两底各为a+4和a+1，
∴该长方形较长边的长为：
（a+4）+（a+1）＝a+4+a+1＝2a+5，
故选：A．
7．解：原式＝（0.1x）2﹣（0.3y）2
＝0.01x2﹣0.09y2，
故选：A．
8．解：A选项，﹣（﹣a）（﹣b）2＝ab2，故该选项不符合题意；
B选项，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故该选项不符合题意；
C选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D选项，a2 a3＝a5，故该选项符合题意；
故选：D．
9．解：∵2021÷4＝505...1，
∴1+3×504+1＝1514（个），
∴2021是第1514个智慧数；
∵（2021+2）÷3＝674...1，
∴674×4+1＝2697，
∴第2021个智慧数是2697．
故答案为：1514，2697．
10．解：∵所拼长方形的两边长各为：（m+3）+m和3，
∴其周长为2[（m+3）+m+3]＝2（m+3+m+3）＝2（2m+6）＝4m+12，
故答案为：4m+12．
11．解：图1的面积为：x2﹣1，拼成的图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
故答案为：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
12．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1），
＝（28﹣1）（28+1），
＝216﹣1．
13．解：（8x2+4x）（﹣8x2+4x）
＝（4x+8x2）（4x﹣8x2）
＝16x2﹣64x4．
故答案为：16x2﹣64x4．
14．解：原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）+...+（1+）×（1﹣）
＝
＝
＝．
15．解：
＝）
＝
＝
＝
＝．
16．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） （1﹣）（1+）
＝×××× ××
＝．
17．解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）题结论可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
18．解：（1）原式＝（1000+7）（1000﹣7）
＝10002﹣72
＝1000000﹣49
＝999951；
（2）原式＝0.32×2022+0.68×2022
＝2022×（0.32+0.68）
＝2022×1
＝2022．
19．解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
∴
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+） x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
20．解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，
故答案为：1﹣xm+1；
（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，
∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，
∴原式＝2m+1﹣2．
21．解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）＝x3﹣27；
②（2x+1）（4x2﹣2x+1）＝8x3+1；
③（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；
（2）（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）
＝[（a+b）（a2﹣ab+b2）][（a﹣b）（a2+ab+b2）]
＝（a3+b3）（a3﹣b3）
＝a6﹣b6．
22．解：（1）
＝3﹣4+1+（﹣1）
＝0﹣1
＝﹣1；
（2）a a2 a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2
＝a6+4a6﹣a6
＝4a6；
（3）20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
23．解：原式＝（200+1）×（200﹣1）
＝2002﹣1
＝40000﹣1
＝39999．
24．解：100×99
＝（100+）（100﹣）
＝10000﹣
＝9999．
25．解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，
∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，
∴a＝±1，
当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，
∴a＝﹣1．