2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质和判定第3课时矩形性质与判定提升练（Word版含答案）

6.2矩形的性质和判定
第3课时矩形性质与判定提升练
一．选择题
1．下列四个命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°
3．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（　　）
A．36° B．30° C．27° D．18°
4．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　）
①DC＝3OG；②OGBC；③△OGE是等边三角形；④S△AOES矩形ABCD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
6．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④
二．填空题
7．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　 　°．
8．如图，菱形ABCD中AC，BD交于点O，BC＝5．若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是 　 　．
10．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝　 　．
三．解答题
11．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝13，EF＝5，求OE和BG的长．
14．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BEAC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，BF＝　 　．
16．如图．平行四边形ABCD中，AD＝2AB，M、N分别为AD、BC的中点，AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q．求证：
（1）四边形ABNM为菱形；
（2）四边形PNQM为矩形．
参考答案
1． D．
2． C．
3． B．
【解析】在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
4．C
【解析】∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GEAE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故③正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AOa，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BCAC2aa，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故①正确；
∵OG＝a，BCa，
∴OGBC，故②错误；
∵S△AOEa aa2，S矩形ABCD＝3a a＝3a2，
∴S△AOES矩形ABCD，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：C．
5．A【解析】连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PMAP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PMAP＝1.2．
故选：A．
6．A
【解析】∵MN∥CB，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF
∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OC＝OE＝OF，故①正确，
∵∠BCD＝180°，
∴∠ECF＝90°，
若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，
∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，
∴EF13，
∴OCEF＝6.5，故③错误，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
故选：A．
7．40．
【解析】∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，
8．5
【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝5，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形ODEC是矩形，
∴OE＝CD＝5，
9． 62°
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∵E是BC的中点，
∴DE，CEBC，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE＝62°，
10． 100°．
【解析】∵CE⊥BA，∠B＝40°，
∴∠BCE＝50°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PFAC＝PC，PEAC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，
11．（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝MEBC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△MED是等边三角形，
∴DE＝DM，
有（1）知DMBC＝6，
∴DE＝6，
∵N是DE的中点，
∴DNDE＝3，
∴MN3．
12．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
13．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：∵点E为AD的中点，AD＝13，
∴AE＝6.5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，EF＝5，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝13，AC⊥BD，
∴OEAD＝6.5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG．
14．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OAAC＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD3，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝OA OD＝3×39．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OAAC，
∵BEAC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝10，OCAC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB8，
∴BD＝2OB＝16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝6，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE，
∴DE2，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF＝EF，
∵∠DBE＝90°，
∴BFDE，
故答案为：．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点M、N分别为AD、BC中点，
∴AM∥BN．AMAD，BNCD，AD＝BC．（2分）
∴AM＝BN，∴ABNM是平行四边形．（1分）
∵AD＝2AB，∴ABAD，∴AB＝AM．（1分）
∴四边形ABNM是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABNM是菱形，
∴∠MPN＝90°，∠BNA＝∠MNA．（2分）
同理可得：四边形MNCD是菱形．
∠MQN＝90°，∠MND＝∠CND．（1分）
∴∠MNA+∠MND＝90°．（1分）
∴四边形PNQM为矩形．（1分）第1页（共10页）