专题四 电场和磁场（2）习题1
1.如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场，带电粒子从A点沿方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从的中点P垂直射入磁场，从边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为，由P点运动到M点所用时间为（带电粒子重力不计），则为( )
A.2:1 B.4:3 C.3:2 D.
2.如图所示，直线是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经时间均从点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于)的粒子经时间从点离开磁场，是的中点，则之比为( )
A.1:2:3 B.2:3:4 C.1:3:5 D.2:3:10
3.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示．下列表述正确的是( )
A.M带正电，N带负电 B.M的速率小于N的速率
C.洛伦兹力对做正功 D.M的运行时间等于N的运行时间
4.如图所示，x轴正半轴与虚线所围区域内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。甲、乙两粒子分别从距x轴h与的高度以速率平行于x轴正向进入磁场，并都从P点离开磁场，。则甲、乙两粒子的比荷之比为（不计重力，）( )
A.32:41 B.56:41 C.64:41 D.41:28
5.如图所示，在空间中左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子从上的O点射入左侧磁场，速度方向与夹角，不计粒子重力，则粒子第一次在左、右磁场中运动的时间之比为( )
A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.4:1
6.如图所示，在直角三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与边夹角为60°方向进入磁场，从和边的不同位置离开磁场。已知，，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则( )。
A.所有从边离开的粒子在磁场中运动的时间相同
B.从边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从边离开的粒子在磁场中运动的时间短
C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长
D.粒子在磁场中运动的最大弧长为
7.如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为，其边界为一边长为L的正三角形（边界上有磁场），为三角形的三个顶点。今有一质量为m、电荷量为的粒子（不计重力），以速度从边上的某点P既垂直于边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从边上某点Q射出。若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A. B. C. D.
8.不计重力的两个带电粒子M和N沿同一方向经小孔S垂直进入匀强磁场，在磁场中的运动轨迹如图。分别用与与与表示它们的速率、在磁场中运动的时间、比荷，则( )
A.如果,则 B.如果,则
C.如果，则 D.如果，则
9.如图所示，直线是两个足够大的且均垂直纸面向里的匀强磁场的分界线，左边的磁感应强度大于右边的磁感应强度，一带正电的质点，从分界线上的P点以跟分界线成30°角的某一速度斜向下垂直进入左边磁场区域，带电质点第四次进入右边磁场时，恰好经过P点，不计带电质点的重力，则下列说法正确的是( )
A.带电质点在左、右两边磁场区域运动的轨道半径之比为
B.左、右两边的磁感应强度大小之比为
C.从开始运动到第四次进入右边磁场区域时，带电粒子在左、右两边磁场区域运动时间之比为
D.从开始运动到第四次进入左边磁场区域时，带电粒子在左、右两边磁场区域运动时间之比为
10.如图所示，四分之一圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，和是圆的两条相互垂直的半径，一带电粒子从A点沿方向进入磁场，从B点离开，若该粒子以同样的速度从C点（C点为弧上任意一点）平行于方向进入磁场（带电粒子重力不计），则( )
A.粒子带负电 B.该粒子从之间某点离开磁场
C.该粒子仍然从B点离开磁场 D.入射点C越靠近B点，粒子运动时间越长
11.如图所示,一束电子(电子电量为e,重力不计)以速度v垂直射入磁感应强度为B,(也垂直平行边界)宽度为d.的匀强磁场,穿过磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为30°.求:
(1)电子的质量m和电子在磁场中运动时间;
(2)若撤去磁场,在该区域加上方向与磁感应强度B方向相同的匀强电场,电子的入射速度不变,电子穿出电场运动时间.
12.如图所示，光滑绝缘的半圆形圆弧轨道，固定在竖直面内，轨道处在垂直于轨道平面向里的匀强磁场中，半圆弧的直径水平，圆弧的半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，在A端由静止释放一个带正电荷，质量为的金属小球甲，结果小球甲连续两次通过轨道最低点C时，对轨道的压力差为，小球运动过程始终不脱离轨道，重力加速度为g。求：
（1）小球甲经过轨道最低点C时的速度大小；
（2）小球甲所带的电荷量；
（3）若在圆弧轨道的最低点C放一个与小球甲完全相同的不带电的金属小球乙，让小球甲仍由轨道的A端由静止释放，则甲球与乙球发生弹性碰撞后的一瞬间，球乙对轨道的压力。（不计两球间静电力的作用）
答案以及解析
1.答案：C
解析：由带电粒子从A点沿方向射入磁场可知粒子做圆周运动的圆心在及其延长线上，又有粒子恰好从C点飞出磁场，故可得：粒子运动半径为工，粒子从A到C转过的中心角；那么，从P点入射的粒子圆心在延长线上距D点处，那么粒子转过的中心角为：，即；运动时间
所以，，故C正确，ABD错误。
故选：C。
2.答案：C
解析：各个粒子的圆心所在位置如图所示：
由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等，粒子2在磁场中运动了半个周期，所用时间，根据几何关系知粒子1转过的圆心角为，所用时间为,粒子3运动转过的圆心角为所用时间为，所以
故C正确；
故选C
3.答案：D
解析：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动、洛伦兹力。由左手定则判断出N带正电荷,M带负电荷,故A错误;粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力,解得半径为在质量与电暈相同的情况下,半径大越大说明速率大,所以M速度率大于N的速率故B错误;洛伦兹力始终与速度的方向垂直,不做功故C错误;粒子在磁场中运动半周,时间为周期的一半,周期的运行时间等于M的运行时间故D正确。
4.答案：C
解析：甲粒子从高h的位置水平进入磁场，运动轨迹如图（a）所示，根据几何关系可得，解得。
乙粒子的运动轨迹如图（b）所示，，乙粒子转过圆周从P点飞出，则。
由，可得
则甲、乙两粒子的比荷之比为，故C正确。
5.答案：C
解析：粒子带正电，粒子运动轨迹如图所示。
据几何关系得。粒子在左侧磁场中周期，在右侧磁场中周期为，由图可知，粒子在左右两侧磁场中轨迹对应的圆心角均为，
则粒子第一次在左、右磁场中运动的时间之比为，故C正确。
6.答案：BD
解析：根据题意画出粒子可能的运动轨迹，根据几何关系知从边射出的粒子转过的圆心角相等，为，根据和知所有从边离开的粒子在磁场中运动的时间相同，根据图像知从边射出的粒子转过的圆心角不等，越靠近B点转过的圆心角越小，所以从边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从边离开的粒子在磁场中运动的时间短，A项错误，B项正确。根据以上分析知运动时间与弧长无关，C项错误。根据图像可知从与边相切的点射出的粒子弧长最长，根据三角函数知此时粒子做匀速圆周运动的半径，根据几何知识知，即粒子转过的圆心角为，所以孤长，D项正确。
7.答案：BD
解析：粒子在磁场中的运动轨迹半径为，因此可得，当入射点为，圆心为，且此刻轨迹正好与相切时，取得最大值，若粒子从边射出，根据几何关系有，A错误，B正确；当运动轨迹为弧，即与垂直时，此刻取得最大值，根据几何关系有，所以有，C错误，D正确。
8.答案：A
解析：由图可知。若,利用,可得,A项正确，B项错误；若，利用,可知,D项错误；若,利用,可得,C项错误。
9.答案：BC
解析：本题考查了带电粒子在磁场中的运动，体现了科学思维中科学推理、科学论证等要素。作出带电质点在磁场中运动轨迹如图所示，由题知，所以，A项错误；由得，所以，故B项正确；由及得，从开始运动到第四次进入右边磁场区域时，带电质点在左、右两边磁场区域运动时间之比，故C项正确；从开始运动到第四次进入左边磁场区域时，带电质点在左、右两边磁场区域运动时间之比，故D错误。
10.答案：C
解析：带电粒子从A点沿方向进入磁场，从B点离开，那么粒子在A点向上方偏转，则由左手定则可知，粒子带正电，A错误；带电粒子从A点沿方向进入磁场，那么粒子做圆周运动在A点的半径方向垂直于，又有和互相垂直，且粒子从B点离开，则由及轨迹圆弧上过两点的半径构成的四边形为正方形，如图所示，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径等于扇形区域的半径R，只要C点在之间，粒子运动轨迹的两条半径与扇形区域的两条半径构成菱形，那么，粒子运动轨迹对应的圆心角一定等于，所以粒子仍然从B点离开磁场，B错误，C正确；粒子做圆周运动的轨迹半径、速度不变，那么粒子做圆周运动的周期就不变，所以C点越靠近B点，粒子的偏转角度越小，运动时间越短，D错误.
11.答案：（1）；（2）
解析：（1）电子在磁场中运动是圆弧的一部分，，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向的交点上，设圆心为O点．如图1所示．由几何知识可知，圆心角，半径 r，则得：
由牛顿第二定律得：
得：
运动周期：
运动时间
（2）如果将磁场变成电场强度为E、方向如图的匀强电场，电子做类似平抛运动，运动时间由 垂直电场方向的分运动决定，故有：
12.答案：（1）
（2）
（3）
解析：解：（1）由于小球甲在运动过程中，只有重力做功，因此机械能守恒，运动到C点时，，求得
（2）小球甲第一次通过C点时，
第二次通过C点时，
由题意知
求得
（3）因为甲球与乙球在最低点发生的是弹性碰撞，则
求得
设碰撞后的一瞬间，轨道对乙的支持力大小为，方向竖直向上，则
求得
根据牛顿第三定律可知，此时球乙对轨道的压力大小为，方向竖直向下专题四 电场和磁场（2）讲义
第八讲 带电粒子在磁场中的运动
一、核心思路
二、重点知识
1.安培力大小的计算公式：F=BILsinθ（其中θ为B与I之间的夹角）。
（1）若磁场方向和电流方向垂直：F=BIL。
（2）若磁场方向和电流方向平行：F=0。
2.用准“两个定则”
（1）对电流的磁场用安培定则。
（2）对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。
3.画好“两个图”
（1）对安培力作用下的静止、运动问题画好受力分析图。
（2）对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图。
4.记住“两个注意”
（1）洛伦兹力永不做功。
（2）安培力、电流方向、磁场方向两两垂直。
5.灵活应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的关系式
① ② ③
④ ⑤ ⑥
三、考点分析
考点1 直线电流周围磁场
【例1】如图所示，在磁感应强度大小为的匀强磁场中，两长直导线P和Q垂直于纸面固定放置，二者之间的距离为.在两导线中均通有方向垂直于纸面向里，大小相等的电流时，纸面内与两导线距离为的a点处的磁感应强度为零.若仅让P中的电流反向，则a点处磁感应强度的大小为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：对a点的磁场分析如图甲所示，设P和Q在a点产生的磁场的磁感应强度大小为B，当P和Q中的电流都垂直纸面向里时，根据右手螺旋定则可知，P在a点产生的磁场的磁感应强度方向为水平向右偏下30°，Q在a点产生的磁场的磁感应强度方向为水平向右偏上30°，两者在a点产生的磁场的合磁感应强度为，方向水平向右，因a点的磁感应强度为零，故.的方向水平向左.当P中电流方向反向时，磁场分析如图乙所示，P在a点产生的磁场的磁感应强度方向为水平向左偏上30°，P和Q在a点产生的磁场的合磁感应强度为B，方向竖直向上，则a点的磁感应强度为，故B正确，A、C、D错误。
归纳总结：
（1）判断电流的磁场要正确使用安培定则，将大拇指和四指环绕方向确定正确是解题的重中之重。
（2）当研究多根直导线在一点的磁场时，首先研究每一根直导线在该点的磁场方向如何，再将此处的磁场进行叠加，叠加时应用平行四边形法则运算。
[变式训练]
1.如图所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其中央正上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通以垂直纸面向外的电流，则( )
A.磁铁对桌面的压力减小，不受桌面的摩擦力
B.磁铁对桌面的压力减小，受到桌面的摩擦力
C.磁铁对桌面的压力增大，不受桌面的摩擦力
D.磁铁对桌面的压力增大，受到桌面的摩擦力
2.如图所示，四根相互平行的固定长直导线，其横截面构成一角度为的菱形，均通有相等的电流，菱形中心为。中电流方向与中的相同，与中的相反，下列说法中正确的是( )
A.菱形中心处的磁感应强度不为零
B.菱形中心处的磁感应强度方向沿
C.所受安培力与所受安培力大小不相等
D.所受安培力的方向与所受安培力的方向相同
考点2 磁场对通电导体的作用力
【例2】如图所示,轻质弹簧下面挂有边长为L、质量为m的正方形金属框,各边电阻相同,金属框放置在磁感应强度大小为B、方向垂直金属框平面向里的匀强磁场中.若两端与电源相连,通以如图所示方向的电流时,弹簧恰好处于原长状态,则通入正方形金属框边的电流大小为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据电流方向可知,边、边、边串联,再与边并联,设每边电阻为R,根据平衡条件可知,根据并联电路的特点可知,联立两式解得,故B正确。
归纳总结：
（1）选定研究对象进行受力分析，受力分析时要考虑安培力。
（2）作受力分析图，标出辅助方向（如磁场的方向、通电直导线电流的方向等），有助于分析安培力的方向，由于安培力F、电流I和磁感应强度B的方向两两垂直，涉及三维空间，所以在受力分析时要善于用平面图（侧视图、剖面图或俯视图等）表示出三维的空间关系。
（3）根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列式求解。
[变式训练]
3.倾角为的导电轨道间接有电源，轨道上静止放有一根金属杆。现垂直轨道平面向上加一匀强磁场，如图所示，磁感应强度逐渐增加的过程中，杆受到的静摩擦力( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
4.如图所示,在光滑水平面上一轻质弹簧将挡板和一条形磁铁连接起来,此时磁铁对水平面的压力为,现在磁铁正上方位置固定一导体棒,当导体棒中通以垂直纸面向里的电流后,磁铁对水平面的压力为,则以下说法正确的是( )
A.弹簧长度将变长, B.弹簧长度将变短,
C.弹簧长度将变长, D.弹簧长度将变短,
考点3 带电粒子在匀强磁场中的运动
【例3】两种不计重力的带电粒子M和N，以相同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运动半周后飞出磁场，其半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是( )
A.M带正电荷，N带负电荷
B.洛伦兹力对做正功
C.M的比荷小于N的比荷
D.M在磁场中的运动时间小于N在磁场中的运动时间
答案：C
解析：由左手定则判断出N带正电荷，M带负电荷，故A错误；因洛伦兹力始终与运动的方向垂直，所以洛伦兹力不做功，故B错误；粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有，则比荷为，即在相同速率的情况下，轨迹半径大的粒子比荷小，故C正确；粒子在磁场中运动半周，即运动时间为周期的一半，而周期为，由图可知，M在磁场中的运动时间大于N的运动时间，故D错误。
归纳总结：
（1）带电粒子在匀强磁场中运动时，要抓住洛伦兹力提供向心力，即：得，，运动时间公式，粒子在磁场中的运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题。
（2）若不计重力，由于洛伦兹力不做功，带电粒子进入磁场的初速度大小即为圆周运动的线速度大小。有时，初速度大小要根据加速电场做功得到，即。
[变式训练]
5.如图所示，真空中点固定一个带正电的点电荷，同一平面内距离点电荷处有一个带负电的粒子(不计重力)，该粒子在纸面内沿垂直于它们连线的方向入射，已知空间同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，则关于粒子在电、磁场中的运动轨迹不可能的是( )
A.在纸面内以点为圆心，为半径的圆 B.初始阶段为在纸面内向右偏的曲线
C.初始阶段为在纸面内向左偏的曲线 D.沿初速度方向的直线
6.如图所示平面内，在的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在的区域有垂直纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小相等.在O点处有一小孔，一束质量为m、带电荷量的粒子（重力不计）以某一速度沿x轴经小孔（小孔未画出）射入磁场，测得粒子在磁场中运动的周期为T，且粒子在的区域中运动的时间与在的区域中运动的时间分别为.求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子的运动速度的大小；
（3）粒子打在x轴上的位置离原点O的距离。
考点4 带电粒子在直边界磁场中的运动
【例4】如图所示,在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,其磁感应强度大小为B,在正方形的对角线上有一点P,其到的距离均为,且在P点处有一个发射正离子的装置,能连续不断地向纸面内的各个方向均匀发射出速率不同的正离子.已知正离子的质量为m,电荷量为q,不计离子重力及离子间的相互作用力.下列说法正确的是( )
A.速率为范围内的所有正离子均不能射出正方形区域
B.速率为范围内的所有正离子均不能射出正方形区域
C.速率为的所有正离子中能打在边上的离子数是其总数的
D.速率为的所有正离子中能打在边上的离子数是其总数的
答案：AD
解析：由题意可知正离子不射出该区域时其做圆周运动的半径,对正离子,由牛顿第二定律有,得,A正确,B错误;当正离子的速率时,其做圆周运动的半径,如图所示,轨迹与边相切的正离子打到上的G点,由几何关系可知,此轨迹对应的正离子入射速度方向与成30°角,轨迹与边相切的正离子打到上的H点,由几何关系可知,此轨迹对应的正离子入射速度方向与成60°角,即能打到边上的正离子的速度方向最大夹角为30°,能打在边上的离子数与正离子总数之比为,C错误,D正确。
归纳总结：
解题步骤：
（1）找圆周运动的圆心：
①当题中所给条件可以计算出圆周半径时，从入射点沿洛伦兹力方向量出半径长度，即为圆心所在位置。
②当只知道入射点和出射点时，通过几何关系可以求得：分别过入射点和出射点向洛伦兹力方向做虚线，两条虚线相交点，即为圆心（如下图中红虚线所示）。
（2）找圆周半径：
①当题中所给条件可以计算出圆周半径时，直接用公式计算。
②当只知道入射点和出射点时，若dr，有。
（3）根据洛伦兹力和圆周运动公式列等式求未知量。
[变式训练]
7.如图所示,与之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界上有一粒子源S。某一时刻,从粒子源S沿平行于纸面,向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相等,经过一段时间有大量粒子从边界射出磁场。已知,从边界射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期),则从边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A. B. C. D.
8.如图所示,在空间中存在垂直纸面向里，场强为的匀强磁场。其边界的宽度为，在左边界的点处有一质量为，带电量为的带电粒子沿与左边界成的方向射入磁场，粒子重力不计。求；
（1）带电粒子能从边界飞出的速度条件；
（2）若带电粒子能垂直边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压及整个过程中粒子在磁场中运动的总时间。
考点5 带电粒子在圆形或弧形边界磁场中的运动
【例5】如图所示，圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，P为磁场边界上的一点.相同的带正电荷的粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿纸面内的各个方向.这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧内，这段圆弧的弧长是圆周长的.若将磁感应强度的大小变为，结果相应的弧长变为圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互影响，则等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设磁场圆的半径为r，当磁感应强度为时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，，如图甲所示，所以粒子做圆周运动的半径满足，解得.当磁感应强度为时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，，如图乙所示.所以粒子做圆周运动的半径，由带电粒子做圆周运动的半径，且相等，则得，故选C。
归纳总结：
当磁场是圆形有界磁场时，在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角”。
①四点：入射点B、出射点C、轨迹圈心A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
②六线：圆弧两端点所在的轨迹半径r、入射速度直线OB和出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆心与两条速度垂线交点的连线AO。
③三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角∠OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
如果入射方向指向圆形磁场圆心的话，那么出射方向的反向延长线必过圆心。
[变式训练]
9.如图所示为圆柱形区域的横截面，在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射，穿过此区域的时间为t。在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转角，根据上述条件可求的物理量是( )
A.带电粒子的比荷 B.带电粒子在磁场中的运动周期
C.带电粒子在磁场中的运动半径 D.带电粒子的初速度
10.如图所示，在直角坐标系内有两个半径的等大圆形区域I和Ⅱ，圆心分别位于处和处，两个区域内都有垂直平面向外的匀强磁场.现有一个不计重力的带正电的粒子，从A点处以速度水平向右射入区域I中，然后从区域Ⅰ竖直向下射出，经区域Ⅱ的磁场偏转后又竖直向上进入区城I.求：
（1）区域I与区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小之比；
（2）从最初进入区域I到第二次离开区域I的总时间。
考点6 带电粒子在匀强磁场中的运动的临界、极值、多解问题
【例6】
如图所示,宽度为d的匀强有界磁场,磁感应强度为和是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中, ,要使粒子不能从右边界射出,求粒子入射速率v的最大值可能是多少
答案：为正电荷），为负电荷）
解析：题目中只给出粒子“电荷量为 q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论：
若带电粒子带正电荷，则轨迹是图中与相切的圆弧，轨迹半径 ,又，解得
若带电粒子带负电荷， 则轨迹是图中与相切的圆弧.轨迹半径，又解得。
归纳总结：
（1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
（2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切，根据相切画好边界图，找到相关几何关系。
（3）相同粒子当速度v大小一定时，弧长越长圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
（4）当速度v大小变化时，圆心角大的运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
[变式训练]
11.如图(a)所示,匀强磁场垂直于平面,磁感应强度按图(b)所示规律变化(垂直于纸面向外为正).时,一比荷为的带正电粒子从原点O沿y轴正方向射入磁场,速度大小,不计粒子重力。
1.求带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径;
2.求时带电粒子的坐标;
3.保持(b)中磁场不变,再加一垂直于平面向外的恒定匀强磁场,其磁感应强度为,在时,粒子仍以原来的速度从原点O射入,求粒子回到坐标原点O的时刻。
变式训练答案
变式1答案：A
解析：在磁铁外部，磁感线从N极指向S极，长直导线在磁铁的中央正上方，导线所在处磁场水平向左，导线中电流垂直于纸面向外，由左手定则可知，导线受到的安培力竖直向下，由牛顿第三定律可知，导线对磁铁的作用力竖直向上，因此磁铁对桌面的压力减小，磁铁没有沿水平桌面运动的趋势，所以磁铁不受桌面的摩擦力，选项A正确。
变式2答案：A
解析：AB、根据安培定则可以判断,和直线电流在处的磁场方向沿方向,和直线电流在处的磁场方向为方向,所以棱形中心处的合磁场的磁感应强度不为零,方向应该在和之间，故A正确，B错误；
CD、和都受到和的电流所产生的磁场的安培力作用,且因为这四个直线电流的截面组成一个棱形,所以和受到和的作用力大小相等的,同时也由于和之间的相互作用力也是大小相等的,故所受安培力与所受安培力的大小相等，方向不同，故CD错误。
故选：A。
变式3答案：D
解析：加上磁场之前，对杆受力分析，受重力、支持力、静摩擦力；
根据平衡条件可知：；
加速磁场后，根据左手定则，安培力的方向平行斜面向上，磁感应强度逐渐增加的过程中，安培力逐渐增加；
根据平衡条件，有：；
由于安培力逐渐变大，故静摩擦力先减小后反向增加；
故选：D。
变式4答案：B
解析：开始时条形磁铁受重力和支持力,二力平衡,故弹簧处于原长,磁铁对水平面的压力等于磁铁的重力;增加通电导体棒后,根据条形磁铁磁感线分布情况得到导体棒所在位置磁场方向如图所示,由左手定则可判断出导体棒所受安培力方向如图所示.由牛顿第三定律可知,条形磁铁受到导体棒的作用力斜向左上方,故条形磁铁对水平面的压力减小,同时弹簧缩短.故选B。
变式5答案：D
解析：A、O点固定的带正电的点电荷对带负电的粒子的吸引力在二者的连线上，指向O点，与初速度垂直，由左手定则可知粒子在初始位置受到的洛伦兹力的方向在二者的连线上，与受到的吸引力方向相反，与初速度垂直，故如果吸引力大于洛伦兹力，吸引力与洛伦兹力的合力刚好提供向心力，粒子在电、磁场中的运动轨迹是在纸面内以O点为圆心，r为半径的圆，故A正确，不符合题意；
B、如果洛伦兹力大于吸引力，初始位置带负电的粒子受到的合力在二者连线上指向带负电粒子的右侧，带负电的粒子初始阶段为在纸面内向右偏的曲线，或者吸引力大于洛伦兹力，但二者的合力不足以提供带负电粒子的向心力，则带负电的粒子初始阶段为在纸面内向右偏的曲线即离心运动，故B正确，不符合题意；
C、如果吸引力大于洛伦兹力，吸引力与洛伦兹力的合力大于带负电粒子向心力，则初始阶段为在纸面内向左偏的曲线即近心运动，故C正确，不符合题意；
D、如果初始位置洛伦兹力大小等于带正电的点电荷对带负电的粒子的吸引力，带负电的粒子要沿初速度方向做直线运动，但吸引力做负功，洛伦兹力不做功，下一时刻速度会减小，两力不再相等，故不可能做沿初速度方向的直线运动，故D错误，符合题意。
变式6答案：（1）由
解得磁场的磁感应强度大小。
（2）由题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，因粒子在磁场中运动的时间分别为，则其运动轨迹分别对应的圆心角为60°、150°，由几何关系有
解得粒子的运动速度大小。
（3）设粒子打在x轴上的位置离原点O的距离为L，由几何关系有
解得。
变式7答案：A
解析：根据题述从边界射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于,则运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹如图中心侧实线所示。设粒子的轨迹半径为r,则。粒子源S到的最近距离为,即为粒子在磁场中运动时间最短的轨迹所对的弦,该轨迹所对圆心角为,粒子在磁场中运动的最短时间为,选项A正确。
变式8答案：（1）粒子能从右边界射出的临界条件为：
所以粒子能从左边界射出速度应满足：
（2）粒子能从右边界垂直射出
解得：
粒子不碰到右极板所加电压满足的条件
因粒子转过的圆心角为,所用时间为,而
因返回通过磁场所用时间相同,所以总时间
变式9答案：AB
解析：无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半径为，则，而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式可得：，由几何关系得，圆磁场半径与圆轨道半径的关系：，由以上各式联式可得：，设粒子在磁场中的运动周期为，则周期为，由于不知圆磁场的半径，因此带电粒子的运动半径也无法求出，以及初速度无法求，故AB正确，CD错误。
故选AB。
变式10答案：（1）设A点所在半径与y轴的夹角为θ，由几何关系可得
解得，故
由对称性可知，粒子竖直向下离开区域I的位置一定在A点所在直径对应点，且这段圆弧所对应的圆心角为90°，画出粒子的整个运动轨迹如图所示
在区域I中运动时，设运动半径为，
由几何关系可得
代入数据可得
在区域Ⅱ内运动时，粒子刚好转过半个圆周，设运动半径为，由几何关系可得
代入数据可得
粒子在磁场中运动时，所受的洛伦兹力
在此力作用下粒子做匀速圆周运动，所以有
联立可得
由此可见，在质量、速度、电荷量不变的情况下，运动半径与磁感应强度成反比
故粒子在区域I与区域Ⅱ的运动半径之比为2:1，所以磁感应强度之比为1:2。
（2）由数学知识可知，弧长的计算公式为，所以粒子在区域I内运动的弧长为
在区域Ⅱ内运动的弧长为
由几何关系可以求出，在两区域之间的无磁场区运动的路径长度为
故运动的总时间
解得。
变式11答案：1.1m 2.
3.,
解析：1.带电粒子在匀强磁场中运动,洛伦兹力提供向心力,有
,
代入数据解得.
2.带电粒子在磁场中运动的周期,
在过程中,粒子运动了,圆弧对应的圆心角,在过程中,粒子又运动了,圆弧对应的圆心角,轨迹如图(a)所示,根据几何关系可知,横坐标,
纵坐标,
带电粒子的坐标为.
3.施加的匀强磁场与原磁场叠加后形成的磁场变化规律如图(b)所示,
当时,,
当时,
,
粒子运动轨迹如图(c)所示,则粒子回到原点O的时刻为,.专题四 电场和磁场 （2）习题2
1.如图所示，在空间中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一倾角为θ的固定绝缘杆上套有质量为m、电荷量为的带电小球，小球与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始滑动，假设磁场区域足够大，杆足够长，则下列说法正确的是( )
A.小球先做加速度增大的加速运动，紧接着做匀速运动
B.小球的加速度先增大后减小，最大加速度的大小为
C.小球最终的速度大小为
D.当小球的速度大小为时，小球一定处于加速度减小的阶段
2.如图所示，纸面内一半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为，则以下说法正确的是( )
A.对着圆心射入的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B.对着圆心射入的质子，其在磁场中运动的时间最短
C.所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D.所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
3.如图所示，半径为的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度，一个比荷为且带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径射入磁场，恰好从N点射出，且，不计粒子重力。下列说法正确的是( )
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1 cm
B.带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上
C.若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度射入，一定从N点射出
D.若要实现带电粒子从A点射入，从N点射出，则该圆形磁场区域的最小面积为
4.安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积，如图所示为流量计的示意图。左、右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为，所在空间有方向垂直于前、后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板，污水充满管道从左向右匀速流动，测得间的电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小为为比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则( )
A.电势差U与污水中离子浓度无关 B.污水的流量
C.金属板M的电势低于金属板N的电势 D.左右两侧管口的压强差为
5.如图所示，半径为r的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角。（不计粒子的重力）则( )
A.粒子做圆周运动的半径为r B.粒子的入射速度为
C.粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子在磁场中运动的时间为
6.回旋加速器的简易图如图所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，A处粒子源产生质量为m、带电荷量为的粒子（进入电场时初速度忽略不计），粒子在加速电压为U的加速电场中被加速。所加磁场的磁感应强度、加速电场的频率可调，磁场的磁感应强度最大值为，加速电场频率的最大值为。则下列说法正确的是( )
A.粒子获得的最大动能与加速电压无关
B.粒子第n次和第次进入磁场的运动半径之比为
C.粒子从静止开始运动到出口处所需的时间为
D.若，则粒子获得的最大动能为
7.如图所示，空间中存在一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场上下边界平行且间距为d。一带正电粒子以速度v从下边界某点垂直于磁场方向射入磁场，入射速度方向与下边界成30°角，若粒子恰好不从上边界穿出磁场，不计粒子重力，则粒子的比荷大小为( )
A. B. C. D.
8.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B. C. D.
9.如图所示，带电粒子被加速电场加速后进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片。平板S下方有强度为的匀强磁场。下列表述不正确的是( )
A.质谱仪是分析同位素的重要工具
B.速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C.能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
10.2020年爆发了新冠肺炎疫情，新冠肺炎病毒传播能力非常强，因此研究新冠肺炎病毒株的实验室必须是全程都在高度无接触物理防护性条件下操作.武汉病毒研究所拥有我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出.流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积.空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是( )
A.带电离子所受洛伦兹力方向水平向左
B.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.只需要测量两点间的电压就能够推算废液的流量
11.如图，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，。一质量为m、电荷量为的粒子从P点在纸面内垂直于射出。已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
12.如图所示，在无限长的竖直边界和间，上、下部分分别充满方向垂直于平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为为上、下磁场的水平分界线。质量为m、带电荷量为的粒子从边界上与O点相距为a的P点垂直于边界射入上方磁场区域，经上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与O点的距离为。不考虑粒子重力。
（1）求粒子射入时的速度大小；
（2）要使粒子不从边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；
（3）若下方区域的磁感应强度，粒子最终垂直边界飞出，求边界与间距离的可能值。
答案以及解析
1.答案：BCD
解析：小球开始运动的阶段有，加速度，小球做加速度增大的加速运动；当时，摩擦力等于零，加速度为，之后小球受到的支持力垂直杆向下，小球的加速度，小球做加速度减小的加速运动，加速度减小到0后做匀速运动，速度达到最大值，A错误，B、C正确。做出小球的加速度随速度变化的图像，如图所示，因两阶段的图线斜率大小相等，故速度为最大速度一半时，小球一定处于加速度减小的阶段，D正确。
2.答案：ACD
解析：首先可以确定对着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即，将速度代入，解得，则由几何关系可知该质子最后从O点的正下方C点射出磁场。再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，连接两交点及两圆心。由于，且，则四边形是平行四边形，所以，即从任意点E水平射入的质子也从O点的正下方C点射出，故A正确。质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子在磁场中运动的轨迹越短，质子在磁场中运动的时间越短，对着圆心入射的质子在磁场中运动的轨迹不是最短的，因此对着圆心射入的质子在磁场中运动的时间不是最短的，故B错误。上述已证明，所有质子均从圆心的正下方C点射出，故C正确。根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确。
3.答案：BCD
解析：根据洛伦兹力提供向心力有，可得，代入数据解得，故A错误。粒子运动轨迹如图所示，由上述分析可知四边形为菱形，又因为，根据几何知识可得圆心P一定在圆周上，故B正确。从圆形磁场边界上的C点以相同的速度射入，轨迹如图所示，易知四边形为菱形，根据几何知识可知粒子一定从N点射出，故C正确。当带电粒子从A点射入，从N点射出，以为直径的圆形磁场区域有最小面积，即，故D正确。
4.答案：AD
解析：污水中的离子受到洛伦兹力作用，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M的电势大于金属板N的电势，管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即，解得，可知电势差U与污水中离子浓度无关，A正确，C错误；污水的流量为，B错误；污水流过该装置受到的阻力为，污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，即，解得，D正确。
5.答案：B
解析：设粒子做匀速圆周运动的半径为R，做出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示，根据几何知识可知，得到粒子做圆周运动的半径，A错误；根据牛顿运动定律有，则粒子的入射速度，B正确；由于粒子在磁场中运动的方向偏转了60°，所以粒子完成了个圆周运动，根据线速度与周期的关系得，则粒子在磁场中运动的时间为，C、D错误。
6.答案：ACD
解析：当粒子出D形盒时，速度最大，动能最大，根据，得，则粒子获得的最大动能，可知粒子获得的最大动能与加速电压无关，故A正确。粒子在加速电场中第n次加速后，根据动能定理有，解得速度，同理，粒子在加速电场中第次加速后获得的速度，粒子在磁场中运动的半径，则粒子第n次和第次进入磁场的运动半径之比为，故B错误。粒子被电场加速一次动能的增加量为，则粒子被加速的次数，粒子在磁场中运动周期的次数，粒子在磁场中运动的周期，则粒子从静止开始运动到出口处所需的时间，故C正确。加速电场的频率应该等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即，当磁感应强度为时，加速电场的频率应该为，粒子的动能为。当时，粒子的最大动能由决定，则，解得粒子获得的最大动能为；当时，粒子的最大动能由决定，则，解得粒子获得的最大动能为，故D正确。
7.答案：A
解析：粒子恰好不从上边界穿出磁场，如图所示。
设带电粒子轨道半径为R，由几何关系可知，由洛伦兹力提供向心力可知，联立解得，故选项A正确。
8.答案：C
解析：为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，且磁感应强度最小，由可知，电子在匀强磁场中的轨迹半径，当r最大时，B最小，故临界情况为电子轨迹与有界磁场外边界相切，如图所示，由几何关系知，解得，联立可得最小的磁感应强度，选项C正确。
9.答案：D
解析：进入磁场的粒子由洛伦兹力提供向心力，有，得，已知粒子的电荷量q，即可求得粒子的质量m，得质谱仪是分析同位素的重要工具，A正确；粒子经过速度选择器时，受到的电场力与洛伦兹力等大反向，则速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，且当时，粒子能从狭缝P进入磁场，则，B、C正确；粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，即R越小，由知，粒子的比荷越大，D错误。
10.答案：D
解析：带电粒子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，带正电离子受到竖直向下的洛伦兹力，带负电离子受到竖直向上的洛伦兹力，故A、B错误；不带电的液体在磁场中不受力，两点间没有电势差，无法计算液体的流速，故C错误；带电离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡状态，则有，解得废液的流速，流量，故只需要测量两点间的电压就能够推算废液的流量，故D正确.
11.答案：（1）
（2）
解析：（1）如图，为粒子运动轨迹的一部分，圆弧为粒子在磁场中运动的轨迹，C为圆心，半径为为圆O的直径，。粒子在圆O内沿做匀速直线运动，由几何关系知
①
由上式和题给条件得
②
（2）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力有
③
由题意，粒子在圆形区域内运动的距离为
④
设粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间为t，由运动学公式有
⑤
联立②③④⑤式得
⑥
12.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）粒子在上方的运动轨迹如图甲所示，
设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知，解得
由牛顿第二定律可知，解得：
（2）当粒子恰好不从边界飞出时，运动轨迹如图乙所示，设粒子在下方做圆周运动的半径为，
由几何关系得：，由几何关系知，所以,
根据，解得：,
当时，粒子不会从边界飞出。
（3）当时，粒子的运动轨迹如图丙所示，粒子在下方的运动半径为，设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为，则P与的连线一定与平行，根据几何关系知：，所以若粒子最终垂直边界飞出，边界与间的距离为：。(共39张PPT)
专题四 电场和磁场
第八讲 带电粒子在磁场中的运动
一、核心思路
二、重点知识
1.安培力大小的计算公式：F=BILsinθ（其中θ为B与I之间的夹角）。
（1）若磁场方向和电流方向垂直：F=BIL。
（2）若磁场方向和电流方向平行：F=0。
2.用准“两个定则”
（1）对电流的磁场用安培定则。
（2）对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。
3.画好“两个图”
（1）对安培力作用下的静止、运动问题画好受力分析图。
（2）对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图。
4.记住“两个注意”
（1）洛伦兹力永不做功。
（2）安培力、电流方向、磁场方向两两垂直。
5.灵活应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的关系式
三、考点分析
考点1 受力分析
归纳总结：
（1）判断电流的磁场要正确使用安培定
则，将大拇指和四指环绕方向确定正确是解题的重中之重。
（2）当研究多根直导线在一点的磁场时，首先研究每一根直导线在该点的磁场方向如何，再将此处的磁场进行叠加，叠加时应用平行四边形法则运算。
考点2 磁场对通电导体的作用力
归纳总结：
（1）选定研究对象进行受力分析，受力分析时
要考虑安培力。
（2）作受力分析图，标出辅助方向（如磁场的方向、通电直导线电流的方向等），有助于分析安培力的方向，由于安培力F、电流I和磁感应强度B的方向两两垂直，涉及三维空间，所以在受力分析时要善于用平面图（侧视图、剖面图或俯视图等）表示出三维的空间关系。
（3）根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列式求解。
考点3 带电粒子在匀强磁场中的运动
归纳总结：
考点4 带电粒子在直边界磁场中的运动
归纳总结：
考点5 带电粒子在圆形或弧形边界磁场中的运动
归纳总结：
当磁场是圆形有界磁场时，在找几何关系时要尤其
注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角”。
①四点：入射点B、出射点C、轨迹圈心A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
②六线：圆弧两端点所在的轨迹半径r、入射速度直线OB和出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆心与两条速度垂线交点的连线AO。
③三角：速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC、弦切角∠OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
如果入射方向指向圆形磁场圆心的话，那么出射方向的反向延长线必过圆心。
考点6 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值、多解问题
归纳总结：
（1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用
动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找
出半径，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
（2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切，根据相切画好边界图，找到相关几何关系。
（3）相同粒子当速度v大小一定时，弧长越长圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
（4）当速度v大小变化时，圆心角大的运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
