2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式同步优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步优生辅导训练（附答案）
1．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（　　）
A．x2﹣16 B．x2+16 C．16﹣x2 D．﹣x2﹣16
2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x﹣2）（x+1）
4．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝　 　．
5．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝　 　．
6．求（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣264的值是　 　．
7．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32……）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第　 　个“智慧数”；第2021个“智慧数”是　 　．
8．计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12的结果为　 　．
9．若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值为　 　．
10．（a+b）（a﹣b）（a2+b2）（a4+b4）＝　 　．
11．观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝　 　．
12．已知a1＝（1+）（1﹣），a2＝（1+）（1﹣），a3＝（1+）（1﹣），…，an＝（1+）（1﹣），Sn＝a1 a2 a3 …an，则2S2022＝　 　．
13．观察下列等式
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4
…
观察发现：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　．
根据你的发现计算：32022+32021+32020+…+32+3+1＝　 　．
14．简便运算：
（1）1007×993；
（2）32×20.22+0.68×2022．
15．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．
16．计算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．
17．用乘法公式计算：100×99．
18．（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）．
19．计算：（﹣x2y﹣x2y2） （﹣xy）2﹣（﹣2x2y2﹣3） （﹣3+2x2y2）．
20．化简：
（1）4x2y（2xy2﹣x2y）+（﹣2x2y）2；
（2）（m﹣2n）（m2﹣4n2）（m+2n）．
21．利用乘法公式简便计算．
（1）2020×2022﹣20212．
（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．
22．运用乘法公式计算：
（1）（2x+3y）2（2x﹣3y）2；
（2）（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）．
23．阅读、理解、应用．
例：计算：20223﹣2021×2022×2023．
解：设2022＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2022．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：
．
24．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝　 　，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
25．计算：（1+）（1+）（1+）（1+）+．
26．已知，（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，求
（1）（2﹣1）（2+1）＝　 　；
（2）（2+1）（22+1）＝　 　；
（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；
（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．
参考答案
1．解：（4+x）（x﹣4）
＝（x+4）（x﹣4）
＝x2﹣42
＝x2﹣16，
故选：A．
2．解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
3．解：A、（2x+y）（y﹣2x），能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、（x+2）（2+x），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、（﹣a+b）（a﹣b），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、（x﹣2）（x+1）不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．解：因为x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，
所以x+y＝＝7．
故答案为：7．
5．解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
6．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣264
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣264
＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣264
＝（28﹣1）...（232+1）﹣264
＝264﹣1﹣264
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．解：∵2021÷4＝505...1，
∴1+3×504+1＝1514（个），
∴2021是第1514个智慧数；
∵（2021+2）÷3＝674...1，
∴674×4+1＝2697，
∴第2021个智慧数是2697．
故答案为：1514，2697．
8．解：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
9．解：（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，
（a+b）2﹣1＝15，
（a+b）2＝16，
a+b＝＝±4，
故答案为：±4．
10．解：原式＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4）＝（a4﹣b4）（a4+b4）＝a8﹣b8，
故答案为：a8﹣b8
11．解：原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）
＝（38﹣1）（38+1）
＝（316﹣1），
故答案为：（316﹣1）
12．解：∵an＝（1+）（1﹣）＝1﹣＝，
∴2S2018＝2×a1 a2 a3 …a2018＝2××××…×＝．
故答案为：．
13．解：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．
∵（3﹣1）（32022+32021+32020+…+32+3+1）＝32023﹣1，
∴32022+32021+32020+…+32+3+1＝．
故答案为：an﹣bn；
14．解：（1）原式＝（1000+7）（1000﹣7）
＝10002﹣72
＝1000000﹣49
＝999951；
（2）原式＝0.32×2022+0.68×2022
＝2022×（0.32+0.68）
＝2022×1
＝2022．
15．解：原式＝y2﹣4+2y2+6y﹣4y﹣12
＝3y2+2y﹣16．
16．解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）
＝（9x2﹣4）（9x2+4）
＝81x4﹣16．
17．解：100×99
＝（100+）（100﹣）
＝10000﹣
＝9999．
18．解：原式＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x
＝﹣x2﹣4x﹣9．
19．解：原式＝（﹣x2y﹣x2y2） x2y2﹣[（﹣3）2﹣（2x2y2）2]
＝﹣x4y3﹣x4y4﹣9+4x4y4
＝﹣x4y3+x4y4﹣9．
20．解：（1）原式＝8x3y3﹣4x4y2+4x4y2＝8x3y3．
（2）原式＝（m﹣2n）（m+2n）（m2﹣4n2）
＝（m2﹣4n2）（m2﹣4n2）
＝m4﹣8m2n2+16n4．
21．解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1；
（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328
＝（2.672+6.328）2
＝102
＝100．
22．解：（1）原式＝（4x2﹣9y2）2
＝16x4﹣72x2y2+81y4；
（2）原式＝（x2﹣1）（x2+1）（x4+1）
＝（x4﹣1）（x4+1）
＝x8﹣1．
23．解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+） x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
24．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
25．解：原式＝2×（1﹣）
＝2×（1﹣）（1+）（1+）（1+）+
＝2×（1﹣）+
＝2﹣+
＝2．
26．（1）解：（2﹣1）（2+1）＝22﹣12＝3．
故答案为：3；
（2）解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）
＝（22﹣1）（22+1）
＝24﹣12
＝16﹣1
＝15．
故答案为：15；
（3）解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1．
故答案为：264﹣1；
（4）解：∵（2+1）（22+1）＝15，
（2+1）（22+1）（23+1）＝135，
（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）＝2295，
…，
∴（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果的个位数字是5，
∵5+7＝12，
∴（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字是2．