2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式优生辅导测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-6完全平方公式》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．若代数式x2+4x+k是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知m﹣n＝3，mn＝1，则m2+n2的值为（　　）
A．9 B．11 C．7 D．不能确定
4．若（y﹣a）2＝y2﹣by+，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．
5．若a+b＝﹣2，ab＝3，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　）
A．﹣5 B．13 C．5 D．9
6．若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值是（　　）
A．6 B．8 C．26 D．20
7．已知（2022﹣x）（2020﹣x）＝2021，那么（2022﹣x）2+（2020﹣x）2的值是（　　）
A．20212 B．4042 C．4046 D．2021
8．如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积为（　　）
A．14 B．12 C．24 D．22
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．当a＝　 　时，多项式x2﹣2（a﹣1）x+25是一个完全平方式．
10．已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 　 　．
11．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．
例如：由图1可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式：　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论．解决下面的问题：
已知（b﹣c）2＝（a﹣b）（c﹣a）且a≠0．则＝　 　．
12．（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为 　 　．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为 　 　．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为 　 　．
13．如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2）．设图2中的大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则S1﹣S2的结果是 　 　（用含a，b的式子表示）．
14．已知（x﹣p）2＝x2+mx+36，则m＝　 　．
15．4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是　 　．
16．已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，则xy的值为　 　．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．化简：（x﹣2）2﹣x（x+4）．
18．计算：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2．
19．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝　 　；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
20．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　 　；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
21．定义：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a2+b2，…．含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b和ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子：①a2b2；②a2﹣b2；③；④a2b+ab2中，属于对称式的是 　 　（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+2x﹣4，求对称式a2+b2的值．
22．（1）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，求a2b+3a3b3+ab2的值；
（2）已知a+b＝8，ab＝16+c2，求（a﹣b+c）2021的值．
23．（1）若5a＝2，5b＝3，5c＝6，求52a+3b﹣c的值；
（2）若（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝5，求（a﹣2019）（a﹣2020）的值．
24．根据完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
我们可以得出下列结论：ab＝①；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②．
利用公式①和②解决下列问题，已知m满足（3m﹣2020）2+（2021﹣3m）2＝5．
（1）求（3m﹣2020）（2021﹣3m）的值；
（2）求（6m﹣4041）2的值．
25．已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值．
（1）x2+y2； （2）（x﹣1）（y﹣1）．
26．（1）已知若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
（2）若（7﹣x）（x﹣3）＝1，求（7﹣x）2+（x﹣3）2的值．
27．（1）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝6，求a2b2的值．
（2）已知a2+2b2+c2＝2b（a+c），求证：a＝b＝c．
28．用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵x2+4x+4是完全平方式，
∴k＝4．
故选：D．
2．解：∵（x﹣1）2＝2，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝1+5
＝6，
故选：C．
3．解：∵m﹣n＝3，
∴（m﹣n）2＝9，
∴m2﹣2mn+n2＝9，
∴m2+n2＝9+2mn＝9+2＝11，
故选：B．
4．解：由完全平方式y2﹣by+，
可得a＝±，b＝2×（±）＝±1，
故选：C．
5．解：∵a+b＝﹣2，ab＝3，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（﹣2）2﹣3×3
＝4﹣9
＝﹣5．
故选：A．
6．解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，x+y＝6，x2+y2＝20，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝62﹣20＝16，
解得：xy＝8．
故选：B．
7．解：∵（2022﹣x）（2020﹣x）＝2021，
∴（2022﹣x）（x﹣2020）＝﹣2021，
∵[（2022﹣x）+（x﹣2020）]2＝（2022﹣x）2+（x﹣2020）2+2（2022﹣x）（x﹣2020），
∴原式＝（2022﹣x）2+（x﹣2020）2
＝[（2022﹣x）+（x﹣2020）]2﹣2（2022﹣x）（x﹣2020）
＝4﹣2×（﹣2021）
＝4+4042
＝4046．
故选：C．
8．解：由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，
图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝6，
所以ab＝3，
由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+12＝14．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：因为x2﹣2（a﹣1）x+25＝x2﹣2（a﹣1）x+52是完全平方式，
属于﹣2（a﹣1）x＝±2 x 5，
解得：a＝﹣4或6．
故答案为：﹣4或6．
10．解：∵x+y＝3，x2+y2＝23，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝32﹣23＝﹣14，
∴xy＝﹣7；
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×（﹣7）＝37．
故答案为：37．
11．解：（1）由题意得，图2的面积可表示为：（a+b+c）2和a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（b﹣c）2＝（a﹣b）（c﹣a），
∴b2﹣2bc+c2＝4（ac﹣a2﹣bc+ab），
整理得，4a2+b2+c2﹣4ab+2bc﹣4ac，
由（1）题结论可得，（2a﹣b﹣c）2＝0，
∴2a﹣b﹣c＝0，
∴2a＝b+c，
∵a≠0，
∴＝2，
故答案为：2．
12．解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．
故答案为：10；
（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，
∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，
∴xy＝4，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．
故答案为：9；
（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，
∴（x﹣2021）2＝5．
故答案为：5．
13．解：由题意可得S1﹣S2的结果就是图2中4个长方形的面积，
即图1长方形的面积2a×2b＝4ab，
故答案为：4ab．
14．解：因为（x﹣p）2＝x2﹣2px+p2，（x﹣p）2＝x2+mx+36，
所以m＝﹣2p，p2＝36，
所以m＝﹣2p，p＝±6，
所以m＝﹣12或12．
故答案为：﹣12或12．
15．解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；
4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；
4x2+1﹣1＝（±2x）2；
4x2+1﹣4x2＝（±1）2．
∴加上的单项式可以是±4x、4x4、﹣4x2、﹣1中任意一个．
故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．
16．解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16①，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①﹣②得，4xy＝12，
∴xy＝3．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．解：（x﹣2）2﹣x（x+4）
＝x2+4﹣4x﹣x2﹣4x
＝﹣8x+4．
18．解：（x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣y）2
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝3x2+2xy﹣9xy﹣6y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝﹣x2﹣3xy﹣7y2．
19．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
20．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
21．解：（1）①③④是对称式．
故答案为：①③④；
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+2x﹣4，
∴a+b＝2，ab＝﹣4，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣4）＝4+8＝12．
22．解：（1）由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10，
整理得，a+b＝7，ab＝10，
∵a2b+3a3b3+ab2
＝ab（a+3a2b2+b），
∴当a+b＝7，ab＝10时，
原式＝10（7+3×102）
＝10×307
＝3070；
（2）∵a+b＝8，ab＝16+c2，
∴（a+b）2﹣4ab
＝（a﹣b）2
＝82﹣4（16+c2）
＝64﹣64﹣4c2
＝﹣4c2，
即（a﹣b）2＝﹣4c2，
∴（a﹣b）2+4c2＝0，
∴a﹣b＝0，c＝0．
∴（a﹣b+c）2021＝（0+0）2＝02＝0．
23．解：（1）∵5a＝2，5b＝3，5c＝6，
∴52a+3b﹣c
＝52a 53b÷5c
＝（5a）2 （5b）3÷5c
＝22×33÷6
＝4×27÷6
＝18；
（2）设a﹣2019＝x，2020﹣a＝y，则x+y＝1，
∵（a﹣2019）2+（2020﹣a）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝＝﹣2，
即（a﹣2019）（2020﹣a）＝xy＝﹣2；
∴（a﹣2019）（a﹣2020）
＝﹣（2020﹣a）（a﹣2019）
＝﹣xy
＝2．
24．解：设3m﹣2020＝a，2021﹣3m＝b，
∴a+b＝1，a﹣b＝6m﹣4041．
（1）∵a2+b2＝5，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴1＝5+2ab，
∴ab＝﹣2，
∴（3m﹣2020）（2021﹣3m）＝﹣2；
（2）∵a﹣b＝6m﹣4041，
∴（6m﹣4041）2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1﹣4ab＝1﹣4×（﹣2）＝9．
25．解：（1）将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+y2＝5；
（2）原式＝xy﹣（x+y）+1
＝2﹣3+1
＝0．
26．解：（1）∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×1
＝9﹣2
＝7；
（2）设a＝7﹣x，b＝x﹣3，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴（7﹣x）2+（x﹣3）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝16﹣2
＝14．
27．（1）解：∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝6，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab＝5﹣6＝﹣1，
∴ab＝﹣，
∴a2b2＝（ab）2＝；
（2）证明：∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），
∴a2+2b2+c2﹣2b（a+c）
＝a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2
＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c．
28．解：（1）原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）2 0002﹣1 9992+1 9982﹣1 9972+…+22﹣12
＝（2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1
＝（2 000+1）+（1 999+2）+（1 998+3）+…（1 001+1 000）
＝2 001×1000
＝2 001 000．