2021-2022学年北师大版八年级数学下1.4角平分线同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，若AB＝5cm，CA＝2cm，则△OBC的面积为（　　）cm2．
A．2 B．5 C．10 D．20
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，过点E作EH⊥BC于H交BD于点P，若EH＝4CH，S△EBC＝40，则线段PE长为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）
A．54° B．50° C．48° D．46°
8．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）
A．95° B．115° C．125° D．130°
二．填空题（共6小题，满分24分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是 　 　．
10．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　 　．
11．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB交OA于F点，EC⊥OB于C点，若EC+OF＝9，则EF＝　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，△ABC内一点P到各边的距离相等，则这个距离是　 　．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE是△ACD的高线．若AB＝5，S△ABD＝4，则DE的长为 　 　．
三．解答题（共9小题，满分64分）
15．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝6，DE＝5．求△ADF的面积．
19．△ABC中，AD平分∠BAC，
（1）求证S△ABD：S△ADC＝AB：AC；
（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长．
20．已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）求证：CD＝CE．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°．
（1）求∠AEC的度数．
（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．
22．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
23．如图，△ABC中，过点A，B分别作直线AM，BN，且AM∥BN，过点C作直线DE交直线AM于D，交直线BN于E，设AD＝a，BE＝b．
（1）如图1，若AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，若a＝1，b＝，求AB的长；
（3）如图2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的长．（用含a，b的式子表示）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝4，
∵AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝6．
故选：C．
2．解：过点C作CG⊥OM交于点G，
∵OP是∠MON的平分线，CA⊥ON，
∴CG＝AC，
∵CA＝2cm，
∴CG＝2cm，
∵EB是线段OA的垂直平分线，
∴OB＝AB，
∵AB＝5cm，
∴OB＝5cm，
∴S△BOC＝×OB×CG＝×5×2＝5cm2，
故选：B．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
4．解：如图，过点E作EG⊥AB于G，作EF∥BC交AB于F，
设CH＝x，则EH＝4x，EC＝x，
∵S△BCE＝BC EH＝CE BD，
∴BC 4x＝x BD，
∴BC＝BD，
∴CD＝＝＝BD，
设CD＝m，则BD＝4m，
∵AD＝AC﹣CD＝AC﹣m，
Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∴AC2＝（AC﹣m）2+（4m）2，
∴AC＝m，
∵BE平分∠ABD，EG⊥AB，BD⊥ED，
∴EG＝ED，
在Rt△BEG和Rt△BED中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BED（HL），
∴BG＝BD＝4m，
∴AG＝AB﹣BG＝m﹣4m＝m，
∵AE＝AD﹣ED＝AC﹣m﹣ED＝m﹣m﹣ED＝m﹣ED，
由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2，
∴（m）2+DE2＝（m﹣ED）2，
∴ED＝m，
∴EC＝ED+CD＝m+m＝m，
∴S△BCE＝EC BD＝40，
∴m 4m＝40，
∴m＝，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EFG＝∠ACB，
∵∠EPD+∠DEP＝90°，∠ACB+∠DEP＝90°，
∴∠EPD＝∠ACB＝∠EFG，
∵∠EGF＝∠EDP＝90°，ED＝EG，
∴△EGF≌△EDP（AAS），
∴EF＝EP，
∵FG＝AF﹣AG＝AE﹣AG＝m﹣m﹣m＝m，
由勾股定理得：EP＝EF＝＝＝＝＝6．
故选：C．
5．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，所以①正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；所以②正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，如图，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，所以③正确；
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE OM+AF OD＝OD （AE+AF）＝mn；所以④错误；
故选：C．
6．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝ AB PD，S2＝ BC PF，S3＝ AC PE，
∴S2+S3＝ （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
7．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
8．解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴点O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分）
9．解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠ABC的平分线是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴AD＝DE，
∵AD＝2，
∴DE＝2，
∵BC＝6，
∴S△BDC＝＝＝6，
故答案为：6．
10．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴∠POD＝∠POC，PD＝PH，
∵PC∥OA，
∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°，
∴∠CPO＝∠POC，
∴PC＝OC＝2，
在Rt△PCH中，∵∠PCH＝60°，
∴CH＝PC＝1，
∴PH＝CH＝，
∴PD＝．
故答案为：．
11．解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH＝EC，∠AOB＝30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠BOE，
∴EF＝2EH，∠FEO＝∠FOE，
∵EC+OF＝9，
∴OF+OF＝9，
∴OF＝6，
∴OF＝EF＝6，
故答案为：6．
12．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
13．解：连接AP，BP，CP，
设PE＝PF＝PG＝x，
∵AB＝7，BC＝24，
∴AC＝＝25，
再根据直角三角形的面积，S△ABC＝×AB×CB＝84，
S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC） x＝×56x＝28x，
∴28x＝84，
解得：x＝3，
故答案为：3．
14．解：过D作DF⊥AB于F，
∵DF⊥AB，DE是△ACD的高线，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵S△ABD＝＝4，AB＝5，
∴DF＝4，
解得：DF＝1.6，
∴DE＝1.6，
故答案为：1.6．
三．解答题（共9小题，满分64分）
15．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF AC＝×2×4＝4．
16．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
17．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
18．解：过D点作DM⊥AB，垂足为M，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DM＝DE＝5，
∴，，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝40+15＝55，
∵AF是△ABC的中线，
∴，
∴S△ADF＝S△ACF﹣S△ACD＝27.5﹣15＝12.5．
19．（1）证明：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ADC＝ AB DE：AC DF＝AB：AC；
（2）∵S△ABD：S△ADC＝AB：AC，S△ABD：S△ADC＝BD：CD；
∴AB：AC＝BD：CD，
即5：4＝BD：CD，
∴BD＝CD，
∵BD+CD＝BC＝6，
∴CD+CD＝6，
∴CD＝．
20．证明：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN＝180°，
又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，
∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，
∴△ACB是直角三角形；
（2）过C点作CF∥AM，交AB于F．
∵AM∥BN，CF∥AM，
∴CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，
∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，
∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，
∴AF＝CF＝FB，
∴F为AB的中点，
又CF∥AD∥BE，
根据平行线等分线段定理得到C为DE中点，
∴CD＝CE．
21．解：在△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝25°，
在△DAE中，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°；
（2）∵DE＝2，AE平分∠DAC，
∴点E到AC的距离为：2．
∴三角形AEC的面积为：×6×2＝6．
22．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
23．解：（1）如图1，∵AC平分∠MAB，
∴∠CAB＝∠MAC＝，
同理，∠CBA＝∠NBC＝，
∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣90°＝90°；
（2）如图1，在AB上取一点F，使AF＝AD＝1，连接CF，
在△AFC和△ADC中，
，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠AFC，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∵∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠BEC，
∵∠FBC＝∠EBC，BC＝BC，
∴△BFC≌△BEC（AAS），
∴EB＝BF＝，
∴AB＝AF+BF＝1+＝；
（3）如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，
∵AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵EC＝EH，∠DEB＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴∠ECH＝∠EHC＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠DEB＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC＝∠CHB，∠DAC+∠DCA＝60°，
∵∠DCA+∠ACB+∠HCB+∠ECH＝180°，
∴∠DCA+∠HCB＝60°，
∴∠DAC＝∠HCB，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH＝HE，CD＝BH，
∴AD+DC＝BE，
∴DC＝BE﹣AD＝b﹣a．