2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册第7章二元一次方程组单元综合练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《第7章二元一次方程组》单元综合练习题（附答案）
1．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；④若2x+y＝8，则a＝2．正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为x元/千瓦时，第二档电价为y元/千瓦时，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
3．二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　 　件．
5．某个“卡通玩具”自动售货机出售A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是3元/个、5元/个，6元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是B玩具数量的2倍，B玩具的数量（单位：个）是C玩具数量的2倍．某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，70%、50%，且全部售出．但是由于软件出错，发生了一起错单（即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具1个），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了958元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是 　 　元．
6．端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为9：15：2．为促进销售，将全部粽子包装成A、B、C三种礼盒．礼盒A有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒C有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比为 　 　．
7．关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为　 　．
8．一个油罐有进油龙头P和出油龙头Q．油罐空时，同时打开P、Q，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q，12小时后关上；接着打开P，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q，5小时后油罐恰好流空．那么P的流量是Q的流量的 　 　倍．
9．某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是　 　分钟．
10．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲种原料含0.5单位的蛋白质和1单位铁质，每克乙种原料含0.7单位的蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位的蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰能满足病人的需要？
11．阅读理解：
对于任意一个三位数正整数m（各个数位上的数字互不相同且都不为零），将m三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的数，把这6个数的和与111的商记为m的星河数T（m）．例如m＝234，可以得到243、324、342、423、432这5个不同的数，这6个数的和为234+243+324+342+423+432＝1998，因为1998÷111＝18，所以234的星河数T（234）＝18．
（1）计算T（169）的值；
（2）若p和q都是各个数位上的数字互不相同且都不为零的三位正整数，p的十位和个位上的数字分别是6和3，3和7分别是q的百位和个位上的数字，且p的百位上的数字比q的十位上的数字大3．若15T（p）+17T（q）＝828，求p和q的值．
12．平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元．
（1）求甲种商品每件的进价；（利润率＝×100%）
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于480元 不优惠
超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠
超过680元 按购物总额给予7.5折优惠
按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
13．若关于x，y的方程组有非负数整数解，求正整数m．
14．如果一个三位数满足各位数字都不为0，且个位数字比十位数字大1，则称这个三位数为“圆梦数”，若m、n都是“圆梦数”，将组成m的各位数字中最大的数字作为两位数p的十位数字，组成n的各位数字中最大的数字作为两位数p的个位数字，再将组成m的各位数字中最小的数字作为另一个两位数q的十位数字，组成n的各位数字中最小的数字作为两位数q的个位数字，所得的这两个两位数p、q之和记为F（m，n）．
例如：
∵5+1＝6，2+1＝3，∴556和923都是“圆梦数”，∴F（556，923）＝69+52＝121；
∵1+1＝2，8+1＝9，∴212和689都是“圆梦数”，∴F（212，689）＝29+16＝45．
（1）计算：F（767，634）；F（978，445）；
（2）若s和t都是“圆梦数”，其中s＝500+10x+y，t＝210+100a+b（1≤x≤8，0≤a≤7，且x、a都是整数），规定：K（s，t）＝|s﹣t|，当F（s，312）﹣F（t，678）＝20时，求K（s，t）的最大值．
15．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片　 　张，正方形铁片　 　张；
（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
16．阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
17．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？
（2）若y＜0，且m≤n，试求x的最小值．
18．m为何值时，方程组的解也满足2x+3y＝6？
19．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
20．已知关于x，y的方程组的解为满足x+y＝4，求a的值．
21．阅读理解题：
阅读例子：已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
解：方程组可化为
∵方程组的解是，
∴ ∴
∴方程组的解是
通过对上面材料的认真阅读后，解方程组：
已知：关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
22．小红和小丽对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．小红说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；小丽说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过整体代换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎样求解呢？
23．4月14日青海省玉树发生了7.1级大地震，驻军某部（位于距玉树县城结古镇91公里处的上拉秀镇）接到上级命令，须火速前往结古镇救援．已知该部有120名官兵，且步行的速度为每小时10公里，现仅有一辆时速为80公里的卡车，可乘坐40人，请你设计一个乘车兼步行方案，使该部120人能在最短时间内赶往重灾区结古镇救援．其中中途换车（上、下车）的时间均忽略不计，最快多少时间可以赶到？（可用分数表示）
参考答案
1．解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程组，得
若x，y是互为相反数，则x+y＝0，
即2a+1+2﹣2a＝0，方程无解．
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
2．解：小颖家7月电费：170x+（210﹣170）y＝102.17，①
小颖家8月电费：170x+（180﹣170）y＝86.36，②
①和②联立可得方程组．
故选：C．
3．解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y＝0时，x＝10；
y＝1时，x＝7；
y＝2时，x＝4；
y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有4对．
故选：D．
4．解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条，
由题意可得：
4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10，
整理得：
3ma+8m＝18+4（x+y+z），
由题意得：x+y+z＝12，
代入上式整理可得：
m＝，
又因为m是正整数，
所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33，
结合0≤a≤6且a为正数，
可得3a+8＝11，即a＝1，
所以m＝6，
所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5条生产线，
且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m﹣4）（件）、（m﹣4）（件），
即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2（件），
再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67，
可得＝，
化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300，
移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z，
而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z，
代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z，
整理得：z＝，
因为x、y、z均为非负整数，
所以454﹣49y一定能被整除，
所以454﹣49y的个位数字一定是0，
即49y的个位数字一定是4，
所以y＝6（条），
那么z＝4（条），
随即可得x＝2（条），
再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立．
最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：
20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）．
故答案为：134．
5．解：工作日期间C玩具的数量为x个，则B玩具的数量为2x个，A玩具的数量为4x个，
∴工作日期间一天的销售收入为：12x+10x+6x＝28x元，
周六C玩具的数量为1.5x个，则B玩具的数量为3.4x个，A玩具的数量为6x个，
∴周六销售销售收入为：18x+17x+9x＝44x元，
∴周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：44x﹣28x＝16x元，
由于发生一起错单，收入的差为958元，
∴958加减一个玩具的差价一定是16的整数倍，
又∵958÷16＝59……14（元），
∴付款是多14元或少2元，
∴这起错单发生在A、B玩具上（A、B的差价为2元），且是消费者付A玩具的钱，取走的是B玩具，
于是有：16x﹣（5﹣3）＝958，
解得：x＝60，
工作日期间一天的销售收入为：60×28＝1680元，
故答案为：1680．
6．解：设该商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为9x个、15x个、2x个，礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数分别为a盒、b盒、c盒．
由题意，可得：
解得：
∴a：b：c＝3x：x：＝6：2：1．
故答案为：6：2：1．
7．解：2x+ay＝7，
ay＝7﹣2x，
①当x＝1时，7﹣2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，
②当x＝2时，7﹣2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7﹣2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
8．解：设P的工作效率为x，Q的工作效率为y，依题意得
①，
解得y＝（与Q的工作效率不大于不相符，舍去）；
②，
解得，
∴x÷y＝倍，
故答案为倍．
9．解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，
所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
由题意得，
由①÷②得b﹣a＝16（米/分），那么x＝96米/分
将x代入③得 a＝384米/分
∴b＝400米/分．
∴乙跑完全程所用的时间＝＝25（分）．
故答案为25．
10．解：设每餐需甲原料x克，乙原料y克，
根据题意可列方程组
解得：．
答：每餐需甲种原料28克，乙种原料30克．
11．解：（1）T（169）＝（169+196+619+691+916+961）÷111＝32，
（2）设p＝100x+63，q＝307+10y，则y＝x﹣3，
∴T（p）＝（100x+63+100x+36+306+10x+360+x+603+10x+630+x）÷111＝18+2x，
T（q）＝（100y+37+100y+73+307+10y+370+y+703+10y+730+y）÷111＝20+2y＝20+2（x﹣3）＝14+2x，
∵15T（p）+17T（q）＝828，
∴15×（18+2x）+17×（14+2x）＝828，
解得：x＝5，y＝2，
故：p＝563，q＝327．
12．解：（1）设甲种商品的进价为a元，则
98﹣a＝40%a．
解得a＝70．
答：甲种商品的进价为70元；
（2）设该商场购进甲种商品x件，根据题意可得：
70x+80（50﹣x）＝3800，
解得：x＝20；
乙种商品：50﹣20＝30（件）．
答：该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件．
（3）设小华在该商场购买乙种商品b件，
根据题意，得
①当过480元，但不超过680元时，480+（128b﹣480）×0.6＝576，
解得b＝5．
②当超过680元时，128b×0.75＝576，
解得b＝6．
答：小华在该商场购买乙种商品5或6件．
13．解：解方程组得，，
∵关于x，y的方程组有非负数整数解，
∴m+1＝4或2或1，
∴m＝3或1或0（舍去），
答：正整数m为1、3．
14．解：（1）∵6+1＝7，3+1＝4，
∴767和634都是“圆梦数”，
∴F（767，634）＝76+63＝139；
∵7+1＝8，4+1＝5，
∴978和445都是“圆梦数”，
∴F（978，445）＝95+74＝169．
（2）∵s和t都是“圆梦数”，其中s＝500+10x+y，t＝210+100a+b（1≤x≤8，0≤a≤7，且x、a都是整数），
∴y＝x+1，b＝1+1＝2，
∵K（s，t）＝|s﹣t|，
∴K（s，t）＝|500+10x+x+1﹣210﹣100a﹣2|＝|11x﹣100a+289|，
①当x≥5时，有F（s，321）＝10y+3+51＝10y+54＝10（x+1）+54＝10x+64，
F（t，678）＝10（a+2）+8+16＝10a+44，
∵F（s，312）﹣F（t，678）＝20，
∴10x+64﹣10a﹣44＝20，
∴x＝a，
∵K（s，t）＝|11x﹣100a+289|，
∴k（s，t）＝|11x﹣100x+289|＝|289﹣89x|，
∵1≤x≤8，0≤a≤7，x＝a，
∴5≤x≤7，
∴当x＝7时，k（s，t）有最大值为：k（s，t）＝|289﹣89×7|＝334；
②当x＜5时，有F（s，312）＝53+10x+1＝10x+54，
F（t，678）＝10（a+2）+8+16＝10a+44，
∵F（s，312）﹣F（t，678）＝20，
∴10x+54﹣10a﹣44＝20，
∴x﹣1＝a，
∵K（s，t）＝|11x﹣100a+289|，
∴k（s，t）＝|11x﹣100（x﹣1）+289|＝|389﹣89x|，
∵1≤x≤4，
∴当x＝1时，k（s，t）有最大值为：k（s，t）＝|389﹣89×1|＝300；
∵300＜334，
∴k（s，t）有最大值为334．
15．解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，
解得
答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；
（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，
依题意，得：，
解得：．
∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，
∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张），
∴可做铁盒76÷4＝19（个）．
答：最多可以加工成19个铁盒．
16．解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴xy＝10×6＝60．
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则12x+y＝12×1+8＝20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．
故答案为：64．
17．解：（1）∵二元一次方程组的解是，
∴，解得：；
（2），
由①得：m＝，
由②得：n＝，
∵m≤n，
∴≤，
∵y＜0，
∴3x﹣10≥15﹣2x，
x≥5，
∴x的最小值是5．
18．解：，
①+②得：2x＝14m，
x＝7m，
①﹣②得：2y＝﹣4m，
y＝﹣2m，
把x＝7m，y＝﹣2m代入2x+3y＝6中得：14m﹣6m＝6，
8m＝6，
m＝．
19．解：方程组变形为，
∵关于x，y的方程组的解是，
∴所求的方程组中，
整理得，，
解得，
即所求方程组的解是．
20．解：由，
①+②得，5x+5y＝3a+2，
把x+y＝4代入，
得，3a+2＝20，
∴a＝6．
21．解：方程组可化为，
∵方程组的解是，
∴，
∴．
∴方程组的解是．
22．解：将方程组两边同时除以5，原方程组化为
，
方程组的解是，
∴，
解得．
23．解：要使所用时间最短，卡车只能一直不停地往返载人行进，没有乘车的人也一直不停地向目的地行进，最后使120人同时到达结古镇，由于每车只能乘坐40人，因此将120人分成三组，安排乘车和步行如图所示：
其中图中箭头路线是汽车往返路线，
易知AE＝CF＝DB，AC＝CD＝EF＝FB，
设AE＝CF＝DB＝x（公里），AC＝CD＝EF＝FB＝y（公里），
由题意知：第一组乘车AE+步行EB＝全程AB，
汽车AE+EC所用时间与步行AC所用时间相等，
∴，
解得：，
则全部由上接秀镇赶到玉树县城所用最短时间为：（小时）（8分）．
答：最快3小时可以赶到．