2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
3．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积（　　）
A．36 B．27 C．18 D．9
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．30
7．正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（2，1），则以点O为圆心，OP长为半径的圆与x轴正半轴的交点A表示的数为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　）
A．5m B．6m C．3m D．7m
10．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（　　）
A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　．
12．如图，已知OA＝OB，那么数轴上点A所表示的数是　 　．
13．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C＝90°，∠A＝45°，∠EDC＝60°，AB＝4，DE＝6，则EB＝　 　．
14．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2022＝　 　．
15．如图，求黑色部分（长方形）的面积是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝10cm，AC＝8cm，那么D点到直线AB的距离是　 　cm．
17．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8，则BD的长是　 　．
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A，B，C，D的面积之和为100cm2，则最大的正方形M的边长为　 　cm．
19．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则AB长为　 　．
20．已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，两直角顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长．
（2）求AB的长．
22．如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）．
23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．
求（1）∠ACD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
24．如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
25．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．
26．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，小木棍露出杯子外2cm，当小木棍倒向杯壁时（小木棍底端不动），小木棍顶端正好触到杯口，求小木棍长度．
27．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，
∴OA＝OB＝，
∴a＝﹣1﹣．
故选：A．
2．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
3．解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：62+x2＝102；
解得：x＝8，
故选：C．
4．解：当12是斜边时，第三边是＝；
当12是直角边时，第三边是＝13．
故选：B．
5．解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故选：B．
6．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
7．解：观察图形，应用勾股定理，得
AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝5，
边长是无理数的边数是2．
故选：C．
8．解：OP两点之间的距离＝，P点沿O为圆心、为半径的圆与x轴正半轴的交点只有一个，即OP的长．
所以OP长为半径的圆与x轴正半轴的交点A表示的数为，
故选：D．
9．解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
10．解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，连接PA，过A'作A'B'⊥BD于B'，
则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．
∴B'D＝A'C＝CA＝500m，
∴BB′＝BD+BD′＝700+500＝1200（m），
∵A'B'＝CD＝500m，
∴BA'＝1300（m）．
即牧童至少要走的距离为1300m，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
12．解：由图可知，OC＝2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC＝1，
故OB＝OA＝＝＝，
∵A在x的负半轴上，
∴数轴上点A所表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
13．解：在Rt△ABC中，
∵AB＝4，∠A＝45°，
∴BC＝4×＝4
在Rt△EDC中，
∵∠EDC＝60°，DE＝6，
∴CE＝DE sin∠EDC＝6×＝3
∴BE＝CE﹣BC＝3﹣4．
故填空答案：3﹣4．
14．解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2022＝．
故答案为：．
15．解：在直角三角形中，已知两直角边分别为6，8，
则斜边长＝10，
根据矩形面积计算公式S＝长×宽＝3×10＝30，
故答案为 30．
16．解：∵AD＝10cm，AC＝8cm
∴CD＝6cm
∵AD平分∠CAB
∴D点到直线AB的距离＝CD＝6cm
17．解：作FH⊥AD于H，
在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，
∴∠DFE＝30°，
∴EF＝DE＝16，
由勾股定理得，DF＝＝＝8，
∵EF∥AD，
∴∠FDH＝∠DFE＝30°，
∴FH＝DF＝4，
由勾股定理得，DH＝＝12，
在Rt△FBH中，∠ABC＝∠C＝45°，
∴BH＝FH＝4，
∴BD＝DH﹣BH＝12﹣4，
故答案为：12﹣4．
18．解：根据勾股定理的几何意义可知：
SA+SB＝SE，
SC+SD＝SF，
SE+SF＝SM．
于是SM＝SA+SB+SC+SD＝100cm2．
则M的边长为10cm．
故答案为：10．
19．解：如图所示，由勾股定理知：AB＝＝．
故答案是：．
20．解：取AB中点P，连接OP、CP，
则OP＝BP＝AB＝2，
由勾股定理得，CP＝＝，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝，OC的长的最大值为，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC＝15，BD＝9，AC＝20
∴∠CDA＝∠CDB＝90°
在Rt△CDB中，CD2+BD2＝CB2，
∴CD2+92＝152
∴CD＝12；
（2）在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2
∴122+AD2＝202
∴AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
22．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求．
23．（1）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝2BC＝2，
又CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝8，AD2＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴∠ACD＝90°；
（2）解：∵AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
∴四边形ABCD的面积＝三角形ABC的面积+三角形ADC的面积＝＝．
24．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12
∴BC＝＝15，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17
∴BC2+BD2＝CD2
∴△BCD是直角三角形
∴S△BCD＝×15×8＝60．
25．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
26．解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径为6cm，
∴x2+62＝（x+2）2，
即x2+36＝x2+4x+4，
解得：x＝8，
8+2＝10（cm）．
答：小木棍长10cm．
27．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．
在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．
由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．
所以AB＝73（cm）．
因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．