课时训练 向量数量积的概念
一、选择题
1．(2021·河源高一检测)已知向量a，b满足|a|＝3|b|，a·b＝6，〈a，b〉＝，则|a|＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，AB为圆O的一条弦，且＝4，则·＝( )
A.4 B．－4 C．8 D．－8
3．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
4．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC满足“勾3股4弦5”．其中AB＝4.D为弦BC上一点(不含端点)，且△ABD满足勾股定理．则·＝( )
A. B． C． D．
5．已知非零向量与满足·＝0且·＝ , 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
6．(2021·济南高一检测)设m，n为非零向量，则“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则在方向上的投影的数量为( )
A．1 B．2 C． D．3
8．(2021·天津高一检测)下列有关向量命题，不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．已知c≠0，且a·c＝b·c，则a＝b
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a＝b，则|a|＝|b|且a∥b
9．关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
10. 已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论正确的是( )
A．·＝0 B．·＝2
C．·＝2 D．||cos B＝||
11. 若Ai是△AOB所在平面内的点，且·＝·，给出下列说法：
(1)||＝||＝||＝…＝||；
(2)的最小值一定是；(3)点A和点Ai一定共线；(4)向量及在向量方向上的投影的数量必定相等．其中正确说法的个数是( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
13．(2021·盘州高一检测)已知向量a与b夹角为60°，|a|＝8，向量a在向量b方向上的投影为________．
14．已知a，b是两个非零向量，且满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，求向量a＋b与a－b的夹角为 。
15．(2021·南充高一检测)已知菱形ABCD的边长为2，且∠DAB为60°，则·＝________．
16．给出下列命题：
①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形 ·＝0.
其中，真命题的序号是________．
三、解答题
17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．
18．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围．课时训练 向量数量积的概念
一、选择题
1．(2021·河源高一检测)已知向量a，b满足|a|＝3|b|，a·b＝6，〈a，b〉＝，则|a|＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】选D.因为a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝|a|·|a|·cos ＝6，所以|a|＝6.
2．如图，AB为圆O的一条弦，且＝4，则·＝( )
A.4 B．－4 C．8 D．－8
【解析】选D.设AB的中点为M，连接OM，
则OM⊥AB，则·＝2·
＝2||||cos
＝－2×2·||·cos ∠OAB＝－4||＝－8.
3．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
【解析】选A.因为＝，所以AB与DC平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形．
又·＝0，所以AC⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，所以平行四边形ABCD为菱形．
4．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC满足“勾3股4弦5”．其中AB＝4.D为弦BC上一点(不含端点)，且△ABD满足勾股定理．则·＝( )
A. B． C． D．
【解析】选D.依题意可得，AD⊥BC，由等面积法知AD＝＝，
又在上的投影的数量为，所以·＝||2＝.
5．已知非零向量与满足·＝0且·＝ , 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
【解析】选D.非零向量与满足·＝0，
即∠A的平分线垂直于BC，所以 AB＝AC.
又因为cos A＝·＝ ，所以∠A＝，所以△ABC为等边三角形．
6．(2021·济南高一检测)设m，n为非零向量，则“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.由题意，存在正数λ，使得m＝λn，所以m，n同向，所以m·n＝|m|·|n|·cos 〈m，n〉>0，即充分性是成立的，反之，当非零向量a，b夹角为锐角时，满足m·n>0，而m＝λn不成立，即必要性不成立，所以“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的充分不必要条件．
7．三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则在方向上的投影的数量为( )
A．1 B．2 C． D．3
【解析】选C.如图，设BC中点为D，
则＋＝2，又＋＋＝0，
所以＋＝－＝，所以＝2，
所以A，D，O三点共线且D为AO的中点，连接OB，
因为||＝||＝2，所以△OAB为等边三角形，
所以BC⊥AD，所以即为在方向上的投影，
易知，在Rt△ACD中，AC＝AB＝2，AD＝1，所以CD＝.
8．(2021·天津高一检测)下列有关向量命题，不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．已知c≠0，且a·c＝b·c，则a＝b
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a＝b，则|a|＝|b|且a∥b
【解析】选AB.向量由两个要素方向和长度描述，A错；若a∥b，且与c垂直，结果成立，但a不一定等于b，B错；由向量相等的概念知，CD选项对．
9．关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
【解析】选ABC.因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD，所以∥，A正确；
因为对角线AC与BD互相垂直，且＋＝，＋＝，
所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；
因为－＝，－＝，
又因为⊥，即·＝0，
所以(－)·(－)＝0，C正确；
易知〈，〉＝180°－〈，〉，
且||＝||＝||＝||，
所以·＝－·，D错误．
10. 已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论正确的是( )
A．·＝0 B．·＝2
C．·＝2 D．||cos B＝||
【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，
则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，所以·＝0 ，选项A正确；
·＝||||cos 45°＝2，选项B正确；
·＝||||cos 135°＝－2，选项C不正确；
向量在上投影的数量为||，即||cos B＝||，选项D正确．
11. 若Ai是△AOB所在平面内的点，且·＝·，给出下列说法：
(1)||＝||＝||＝…＝||；
(2)的最小值一定是；(3)点A和点Ai一定共线；(4)向量及在向量方向上的投影的数量必定相等．其中正确说法的个数是( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.根据两个向量的数量积的定义，
·＝·为定值，而·＝||||cos 〈，〉，
所以||＝，故(1)不一定成立，(2)也不一定成立．向量及在向量方向上的投影的数量为，故(4)正确．
因为·＝·，所以(－)·＝0，
所以·＝0，⊥，即点A，Ai在一条直线上，如图，故(3)正确．
二、填空题
12．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
【解析】三个命题中只有③正确，
因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.
当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
13．(2021·盘州高一检测)已知向量a与b夹角为60°，|a|＝8，向量a在向量b方向上的投影为________．
【解析】由题得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝8×cos 60°＝4.
答案：4
14．已知a，b是两个非零向量，且满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，求向量a＋b与a－b的夹角为 。
【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，
因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形ABCD为矩形．
在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，所以∠ABD＝.
所以a＋b和a－b的夹角为.
15．(2021·南充高一检测)已知菱形ABCD的边长为2，且∠DAB为60°，则·＝________．
【解析】由ABCD为菱形，则AC⊥BD，所以·＝||·||cos 90°＝0.
答案：0
16．给出下列命题：
①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形 ·＝0.
其中，真命题的序号是________．
【解析】利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．
①因为·＜0，所以·＝－·＞0，所以∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角．所以推不出△ABC是锐角三角形．故命题①是假命题．
②因为·＞0，所以·＝－·＜0，∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形．故命题②是真命题．
③若△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C.而·＝0仅能保证∠B是直角．故命题③是假命题．
答案：②
三、解答题
17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．
【解析】因为方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
所以Δ＝|a|2－4a·b≥0，所以a·b≤|a|2.
cos 〈a，b〉＝＝＝≤＝，
又因为0≤〈a，b〉≤π，所以≤〈a，b〉≤π.即a与b的夹角的取值范围为.
18．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围．
【解析】因为·＝||||cos θ＝6＞0，
所以cos θ＞0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
则|CD|＝|BC|sin θ.
由题意知，·＝||||cos θ＝6， ①
S＝|AB||CD|＝||||sin θ. ②
由②÷①得＝tan θ，即3tan θ＝S.
因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1.
又因为θ为与的夹角，θ∈[0，π]，所以θ∈.
