2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.1菱形的性质与判定同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．4 B．2 C． D．4
2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．1
3．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
4．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．5
5．菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（　　）
A．24 B．30 C．40 D．48
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
7．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．8 D．9
9．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若AC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．3 C．2 D．4
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则较长对角线BD的长是　 　．
12．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是　 　．
13．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于　 　．
14．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝4，若过点C作CM⊥AB，垂足为M，则CM的长为　 　．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
17．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积．
18．如图，已知点E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面积．
19．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
20．在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF、OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
21．已知：如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，过点F作FG⊥BF交BC的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求FG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵菱形的面积等于12，
∴AC BD＝12，
∵AC＝6，
∴BD＝4，
∵菱形ABCD对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴菱形的周长为4．
故选：D．
2．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
即该菱形较短的对角线长为2，
故选：C．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
4．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4，
故选：A．
5．解：在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB＝90°，BO＝4，
在RT△AOB中，AO＝＝3，
∴AC＝2AO＝6．
∴则此菱形面积是：＝24．
故选：A．
6．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
7．解：∵∠1＝50°，∠2＝20°，
∴∠BCD＝110°，
在菱形ABCD中，
BC＝CD，
∴∠BDC＝35°，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝70°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°．
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
10．解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝3．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AC＝6，OD＝OC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
故答案为6．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，
∴AC＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，OB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴该菱形的面积是：AC BD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝10，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 10＝×12×16，
∴DH＝．
故答案为：．
14．解：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝2，
∵AB＝5，
∴OB＝＝，
∴BD＝2，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CM，
∴CM＝，
故答案为．
15．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
三．解答题（共6小题，满分55分）
16．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．
18．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC边的中点，
∴AE＝BC＝CE，
同理，AF＝AD＝CF，
∴AE＝CE＝AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝10，
∴AC＝BC＝5，AB＝AC＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝，
∴EF＝5，
∴菱形AECF的面积＝AC EF＝×5×5＝．
19．（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，
∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝4，
∴PH＝2，DH＝8，
∴DP＝＝＝2．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，
∵E为BC的中点，且BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，
∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，
∴EH＝OE＝1，
∴OH2＝OE2﹣EH2＝，
∴CH＝EH+CE＝5，
∴OC＝＝2．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠AEB＝∠BAE．
∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF，AE平分∠BAD
∵AB＝2，∠BAD＝60°，
∴∠BAE＝30°
∴OB＝OF＝1，OA＝OE＝，
∴OE∥FG，
∴，
∴FG＝2．