2021-2022学年鲁教版(五四制)八年级数学下册6.2矩形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为16cm，则这个矩形较短边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为（　　）
A．10 B．5 C．2.5 D．2.25
3．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝3，则OC等于（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．16 B．20 C．29 D．34
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．6
6．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
7．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
9．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
10．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③S△AOB＝S△BOC；④S△AOE＝S△COE，
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　 　°时，四边形AEDF是矩形．
12．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，你添加的条件是 　 　（填一个即可）．
13．如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝3，则矩形的周长为 　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 　 　cm．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，∠ADE：∠CDE＝2：1，则∠AOD＝　 　．
17．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E．已知∠EAD＝3∠BAE，且AC＝8，则AE的长为 　 　．
18．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，求线段EF的最小值．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使BC＝CE，连接AE、DE、AC．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
21．如图，在 ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连结BE、CE．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若DE＝AB，∠ABC＝130°，求∠DEC的度数．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）当AE长度为 　 　时，四边形AECF是矩形，说明四边形AECF是矩形的理由．
23．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的周长．
24．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝14，DE＝8，求△ABE的周长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝16cm，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝8cm，
∴OA＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝OB＝8cm．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝3，
∴OA＝OC＝3；
故选：A．
4．解：∵AB＝5，
∴CD＝5，
∵AD＝12，∠D＝90°，
∴AC＝13，
∵点O和点M分别是AC和AD的中点，
∴OB＝6.5，AM＝AD＝6，OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
∴C四边形ABOM＝AB+BO+OM+MA＝5+6.5+2.5+6＝20．
故选：B．
5．解：如图，连接CE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故选：B．
6．解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
7．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定 ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
9．解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
而AC＞BC，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△BOC、S△AOE＝S△COE，故③、④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为45．
12．解：添加条件：OA＝OB，理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴OA+OC＝OB+OD，
即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：OA＝OB（答案不唯一）．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AOB＝60°，OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝3，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+6．
故答案为：6+6．
14．解：∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2OD＝16，
∴OD＝8，
故答案为：8．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝5（cm）．
故答案为：5．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵∠ADE：∠CDE＝2：1，
∴∠CDE＝×90°＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠AOD＝∠ODC+∠OCD＝120°，
故答案为：120°．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝AC＝×8＝4，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴∠BAE+3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝67.5°，
∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE＝2，
故答案为：2．
18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝55°，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，
故答案为：35°．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×12×5＝×13 CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
又∵四边形ACED是平行四边形，
∴平行四边形ACED是矩形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ED∥BF．
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝130°，
∵DE＝AB，
∴DE＝CD，
∴．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，AD＝BC，
∵DF＝BE，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
当∠AEC＝90°时，四边形AECF是矩形，
则AE⊥BC，
∵AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AE，
即，
∴AE＝4.8．
故答案为：4.8．
23．证明：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
22+（3﹣x）2＝x2，
解得 x＝．
∴AF＝，
∴菱形AECF的周长为．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠F．
∵∠F＝45°，
∴∠DAE＝45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE＝45°．
∴∠DAB＝90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．
∵AB＝14，DE＝8，
∴CE＝6．
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴∠DEA＝∠DAE＝45°．
∴AD＝DE＝8．
∴BC＝8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝8，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝24+8．