同步训练 向量数量积的运算律
一、选择题
1．(2021·上海高一检测)已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
2．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
3. 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．不确定
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，则·＝( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28
6．(2021·太原高一检测)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝7，O是△ABC的外心，则·的值为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
7．(2021·北京高一检测)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且·＝－3，则|－λ|(λ∈R)的最小值是( )
A． B． C． D．2
8．在矩形ABCD中，AB＝2，点P为直线BC上一点，则·＝( )
A．0 B．2 C．4 D．8
9．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·( )
A．最大值为8 B．为定值6
C．最小值为2 D．与P的位置有关
10．△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有( )
A．a为单位向量 B．b∥
C．a⊥b D．⊥
11．(2021·南京高一检测)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形．
12. 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则的值可能为( )
A．－1 B．1
C． D．2
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________.
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则向量b在向量a上的投影的数量是________．
15．在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E，F分别在边AD，BC上，且＝3，＝3，若向量与的夹角为60°，则·的值为________．
16. 已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________．
三、解答题
17．(2021·宁夏高一检测)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|3a＋b|.
18．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角．
(2)求向量a＋b在向量b方向上的投影的数量．
19．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
20．(2021·西安高一检测)已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且＝λ (0≤λ≤1).
(1)若等边三角形ABC的边长为6且λ＝求||；
(2)若·≥·，求实数λ的取值范围．
21. 已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，若向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．同步训练 向量数量积的运算律
一、选择题
1．(2021·上海高一检测)已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
【解析】选C.(a＋b)·(a＋3b)＝a2＋4a·b＋3b2＝33＝|a|2＋4×|a||b|cos θ＋3|b|2＝33
＝9＋4×3×4cos θ＋48＝33，解得cos θ＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
【解析】选D.由已知可得：a·b＝··cos 60°＝1×1×＝.
A：因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，所以本选项不符合题意；
B：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；
C：因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，所以本选项不符合题意；
D：因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以本选项符合题意．
3. 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】选C.由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，所以2|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝0.
所以cos 〈a，b〉＝－＝－＝－，所以〈a，b〉＝120°.
4．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．不确定
【解析】选C.因为向量a＋b与向量ka－b垂直，所以(a＋b)(ka－b)＝0，
即ka2－b2＋(k－1)a·b＝0 ，
因为a与b为单位向量，所以k－1＋(k－1)a·b＝0，即(k－1)(a·b＋1)＝0.
因为a与b为两个不共线的单位向量，所以a·b＋1≠0，所以k－1＝0，所以k＝1 .
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，则·＝( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28
【解析】选A.在△ABC中，设BC的中点为D，则＝－.
由题意知＝4，＝3.则·＝·
＝·＝2－2＝9－16＝－7.
6．(2021·太原高一检测)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝7，O是△ABC的外心，则·的值为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
【解析】选D.
过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，根据圆的性质，可得D、E分别为AB、AC的中点，所以·＝·(－)＝·－·
＝||||cos ∠CAO－||||cos ∠BAO
＝|AC|·||－||·||＝(||2－||2)，
由AB＝5，AC＝7可知，·＝(72－52)＝12.
7．(2021·北京高一检测)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且·＝－3，则|－λ|(λ∈R)的最小值是( )
A． B． C． D．2
【解析】选A.因为AB＝2，AC＝3，且·＝－3，
所以|－λ|2＝2－2λ·＋λ22＝9＋6λ＋4λ2＝4＋，
当λ＝－时，|－λ|2取得最小值为，则|－λ|取得最小值为.
8．在矩形ABCD中，AB＝2，点P为直线BC上一点，则·＝( )
A．0 B．2 C．4 D．8
【解析】选D.由题意，得PB⊥BA，PC⊥BA，
所以(＋)·＝(＋＋＋)·
＝(＋)·＝2＋·＝22＝8.
9．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·( )
A．最大值为8 B．为定值6
C．最小值为2 D．与P的位置有关
【解析】选B.因为B，C，P共线，
故＝＋λ，λ∈R.
所以·＝·
＝2＋λ2＋λ·＋·
＝22＋·＝6.
10．△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有( )
A．a为单位向量 B．b∥
C．a⊥b D．⊥
【解析】选ABD.对于A选项，因为＝3a，所以a＝，
则＝＝1，A选项正确；
对于B选项，因为＝3a＋b＝＋b，
所以b＝－＝，所以b∥，B选项正确；
对于C选项，a·b＝·＝×32×cos ≠0，
所以a与b不垂直，C选项错误；
对于D选项，·＝·＝2－2＝0，所以⊥，D选项正确．
11．(2021·南京高一检测)在△ABC中，下列命题正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形．
【解析】选BC. －＝≠，A错；
由向量加法法则＋＋＝0，B正确；
(＋)·(－)＝2－2＝0，
即2＝2，|AB|＝|AC|，△ABC为等腰三角形，C正确；
·>0，则∠BAC是锐角，但其它两个内角是不是锐角，不知道，D错误．
12. 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则的值可能为( )
A．－1 B．1
C． D．2
【解析】选AB.因为a，b，c均为单位向量，
且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，所以c·(a＋b)≥1，
而|a＋b－c|＝＝
＝≤＝1，所以选项C，D不正确．
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________.
【解析】设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
所以||＝，即AC＝.
答案：
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则向量b在向量a上的投影的数量是________．
【解析】因为|2a＋b|＝2，所以(2a＋b)2＝4，
所以4a2＋b2＋4a·b＝4，
所以4×12＋4＋4a·b＝4，
所以a·b＝－1，
所以b在a上的投影的数量是＝＝－1.
答案：－1
15．在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E，F分别在边AD，BC上，且＝3，＝3，若向量与的夹角为60°，则·的值为________．
【解析】画出图形如图所示，
设直线AB和DC相交于点H，由题意可得∠AHD＝60°.
因为点E，F分别在边AD，BC上，且＝3，＝3，
所以＝＋＋＝＋＋，①
＝＋＋＝＋＋，②
由①×2＋②得3＝2＋，＝＋.
所以·＝·＝2＋·
＝×32＋×3×2×cos 60°＝7.
答案：7
16. 已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________．
【解析】因为M是BC的中点，所以＝
，又O是△ABC的外接圆圆心，
所以·＝||||cos ∠BAO＝||2＝8，
同理，·＝||2＝2，
所以·＝·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案：5
三、解答题
17．(2021·宁夏高一检测)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|3a＋b|.
【解析】(1)因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，
所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
即1＋1×2×cos 〈a·b〉＝0，即cos 〈a·b〉＝－.
因为〈a·b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
(2)|3a＋b|＝＝＝＝.
18．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角．
(2)求向量a＋b在向量b方向上的投影的数量．
【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2－4a·b－3b2＝61，
所以4×16－4×4×3cos 〈a，b〉－3×9＝61，
所以cos 〈a，b〉＝－.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.
(2)a＋b在向量b方向上的投影的数量为＝
＝＝|a|cos 〈a，b〉＋|b|＝4×＋3＝1.
19．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【解析】当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，
则 所以
由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，
得cos θ＝＜0，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，
化简得2t2＋15t＋7＜0.解得－7＜t＜－.
所以所求实数t的取值范围是∪．
20．(2021·西安高一检测)已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且＝λ (0≤λ≤1).
(1)若等边三角形ABC的边长为6且λ＝求||；
(2)若·≥·，求实数λ的取值范围．
【解析】(1)由λ＝，得＝，＝－＝－，
所以||2＝|－|＝2＋2－·
＝×62＋62－×6×6×cos 60°＝4＋36－12＝28，因此||＝2.
(2)设等边三角形ABC的边长为a，
则·＝(＋)·＝(λ－)·＝λ2－·
＝λa2－a2cos 60°＝λa2－a2，
·＝·(－)＝－λ·(－λ)＝λ2a2－λa2，
即－a2＋λa2≥λ2a2－λa2整理得2λ2－4λ＋1≤0，解得≤λ≤.
所以解得≤λ≤1，
因此实数λ的取值范围为.
21. 已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，若向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【解析】由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3，
又(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，
而向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，
所以λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0，
又|a|2＝4，|b|2＝9，a·b＝3，所以3λ2＋13λ＋3＞0，
解得λ＞或λ＜.
但是当λ＝1时，向量a＋λb与λa＋b共线，其夹角不是锐角，故λ的取值范围是∪∪(1，＋∞)．
