课时训练 两角和与差的余弦
一、选择题
1．(2021·成都高一检测)cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°等于( )
A．－ B．－ C． D．
2．已知cos α＝，α∈(－π，0)，则cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．(2021·天津高一检测)已知a∈，cos α＝，则cos 等于( )
A．－ B．1－
C．－＋ D．－1＋
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．(2021·天津高一检测)已知<α<π，
且sin ＝，则cos α的值为( )
A． B．－
C． D．－
6．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos (2π－β)的值为( )
A． B．－ C． D．－
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角θ终边过点，则cos 的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
8．(2021·梅河口高一检测)已知α，β∈，则sin (α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
9．下列各式化简正确的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos ＝cos α－sin α
10．化简cos x－sin x等于( )
A．2sin B．2cos
C．2sin D．2cos
11. 若sin x＋cos x＝cos (x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A. － B.
C. D.
二、填空题
12. cos (36°＋α)cos (α－54°)＋sin (36°＋α)sin (α－54°)＝________．
13．已知α为三角形的内角且cos α＋sin α＝，则α＝________.
14．(2021·西安高一检测)函数f(x)＝sin x＋cos 的值域为________．
15．若a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0＜β＜α＜，且a·b＝，则α－β＝________.
16．(2021·洛阳高一检测)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角β满足sin (α＋β)＝，则cos β的值为________．
17．若cos ＝， 则2＋(cos α－cos β)2＝________.
三、解答题
18．已知tan α＝4 ，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
19．已知函数f(x)＝A sin (x∈R)，且f＝1.
(1)求A的值；
(2)若f(α)＝－，α是第二象限角，求cos α.
20．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈，求cos 的值．课时训练 两角和与差的余弦
一、选择题
1．(2021·成都高一检测)cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°等于( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°＝cos (80°＋130°)＝cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
2．已知cos α＝，α∈(－π，0)，则cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】选A.因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－.
3．(2021·天津高一检测)已知a∈，cos α＝，则cos 等于( )
A．－ B．1－
C．－＋ D．－1＋
【解析】选A.因为α∈，cos α＝，
所以sin α＝＝，
因此cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－.
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选B.因为a·b＝cos A cos B＋sin A sin B＝
cos (A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，
所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
5．(2021·天津高一检测)已知<α<π，
且sin ＝，则cos α的值为( )
A． B．－
C． D．－
【解析】选D.因为<α<π，
所以a＋∈，又sin ＝，
所以cos ＝－，
所以cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－×＋×＝－.
6．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos (2π－β)的值为( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选A.因为α，β为锐角，cos α＝，
cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，sin (α＋β)＝，
所以cos (2π－β)＝cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角θ终边过点，则cos 的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】选D.因为角θ终边过点，
所以cos θ＝，sin θ＝－，
所以cos ＝cos θcos －sin θsin
＝×－×＝.
8．(2021·梅河口高一检测)已知α，β∈，则sin (α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】选D.α，β∈，
所以α＋β∈，β－∈，
所以cos (α＋β)＝，cos ＝－，
所以cos ＝cos
＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋
β)sin ＝－×－×＝－.
9．下列各式化简正确的是( )
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos ＝cos α－sin α
【解析】选ABC.根据两角和与差的余弦公式，A，B，C均正确，cos ＝cos α－sin α，D选项错误．
10．化简cos x－sin x等于( )
A．2sin B．2cos
C．2sin D．2cos
【解析】选AD.cos x－sin x
＝2
＝2
＝2cos
＝2sin
＝2sin .
11. 若sin x＋cos x＝cos (x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A. － B.
C. D.
【解析】选A.对比公式特征知，cos φ＝，
sin φ＝－，故只有A正确．
二、填空题
12. cos (36°＋α)cos (α－54°)＋sin (36°＋α)sin (α－54°)＝________．
【解析】cos cos ＋
sin sin
＝cos
＝cos 90°＝0.
答案：0
13．已知α为三角形的内角且cos α＋sin α＝，则α＝________.
【解析】因为cos α＋sin α＝cos cos α＋sin sin α＝cos ＝，因为0＜α＜π，
所以－＜α－＜，
所以α－＝，α＝.
答案：π
14．(2021·西安高一检测)函数f(x)＝sin x＋cos 的值域为________．
【解析】函数f(x)＝sin x＋cos ＝sin x＋cos x－sin x＝cos ，
因为cos ∈[－1，1]，所以函数的值域为[－1，1].
答案：[－1，1]
15．若a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0＜β＜α＜，且a·b＝，则α－β＝________.
【解析】a·b＝cos α cos β＋sin β sin α＝cos (α－β)＝.
因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以α－β＝.
答案：
16．(2021·洛阳高一检测)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角β满足sin (α＋β)＝，则cos β的值为________．
【解析】由已知得sin α＝－，cos α＝－.
又因为sin (α＋β)＝，所以cos (α＋β)＝±＝±，cos[(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
答案：－或
17．若cos ＝， 则2＋(cos α－cos β)2＝________.
【解析】2＋2
＝sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β＋cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β
＝1＋1－2
＝2－2cos ＝2－2×＝.
答案：
三、解答题
18．已知tan α＝4 ，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
【解析】因为α∈，tan α＝4 ，
所以sin α＝4 cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sinα＝，cos α＝.因为α＋β∈(0，π)，
cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝.
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝×＋×＝.
19．已知函数f(x)＝A sin (x∈R)，且f＝1.
(1)求A的值；
(2)若f(α)＝－，α是第二象限角，求cos α.
【解析】(1)依题意得：f＝A sin ＝A＝1，
所以A＝.
(2)由(1)得f＝sin ，由f＝－，可得f＝sin ＝－，
所以sin ＝－，因为α是第二象限角，
所以2kπ＋＜α＜2kπ＋π，
所以2kπ＋＜α＋＜2kπ＋，
又因为sin ＝－＜0，
所以α＋是第三象限角，所以cos ＝－＝－，
所以cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－×－ ×＝－.
20．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈，求cos 的值．
【解析】因为＜α＜π，0＜β＜，
所以＜＜，0＜＜，＜α＋β＜.
所以＜α－＜π，－＜－β＜，
＜＜.
又cos ＝－，sin ＝，
所以sin ＝，cos ＝.
所以cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝×＋×＝－＋＝.
