安徽省六安市舒城县2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题（Word版含答案解析）

舒城县2021-2022学年高二下学期开学考试
数学
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（5分*12=60分）
1．若复数z满足（其中为虚数单位），则 （）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是 （）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为 （）
A． B．
C． D．
4．若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为 （）
A． B． C． D．
5．若函数是上的奇函数，又为偶函数，-1≤x1A． B．
C． D．
6．已知等差数列满足，数列满足，记数列的前n项和为，则使达到最大值的n值为 （）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是 （）
A． B． C． D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比，当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（附：）
A． B． C． D．
9．在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为 （）
A． B． C． D．
10．已知函数，且，则当时，的取值范围是 （）
A． B． C． D．
11．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为 （）
A． B． C． D．
12．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为 （）
A．2021 B．100 C．81 D．90
二、填空题（5分*4=20分）
13．下列数据的70%分位数为________．
20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.
14．已知函数是偶函数，则．
15．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________.
16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．
三、解答题（10分+12分*5=70分）
17．已知不等式的解集为.
(1)求的值；
(2)解不等式.
18．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
19．已知向量，，函数.
(1)求在上的值域；
(2)若，且，求的值.
20．如图，在四棱锥S ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．
(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；
(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P AC D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
21．已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
22．已知点A（，0），点C为圆B：（B为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G．
(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；
(2)若过点P（m，0）（）作圆O：的一条切线l交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．
舒城县2021-2022学年高二下学期开学考试
数学参考答案
一、单选题
1．若复数z满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，因此，.故选：B.
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，，故
由于倾斜角故直线的倾斜角是故选：D
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.
4．若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，关于轴对称，∴且，则，，又，
∴的最小值为.故选：B.
5．若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数是上的奇函数，又为偶函数，
，，，即函数的周期，
时，，，
即，函数在上为增函数，
，，
，.故选：D.
6．已知等差数列满足，数列满足，记数列的前n项和为，则使达到最大值的n值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】等差数列满足,
即 ，解得 ，故 ，
则等差数列是递减数列，且 ，
故，
所以 , ，
,而，故 ,
故使达到最大值的n值为7，故选：C
7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，，由抛物线的定义可得，
又因为的中点到轴的距离是6，所以，所以，
所以抛物线的方程为：，设直线的方程，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得，
，所以，
解得，所以的方程为：，
.故选：B
8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比，当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，计算出的值即可
【详解】当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了23%，
故选：B.
9．在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
∴，又，∴，即，又，
∴，又，
∴.
，
由，有，则，
，即面积的最大值是.故选：A.
10．已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】单调递增，又知：为奇函数，
有，
∴，整理得，时即的取值区域如下图阴影部分所示：
∴表示直线在过图中阴影部分的点时斜率，即问题转化为直线与阴影区域有交点时，的取值范围，∴当与半圆相切，取最大值，而此时圆心到的距离，得；当交半圆于右端点时，取最小值为，所以的取值范围.故选：A
11．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：
连接，因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，平面，
所以平面，所以，同理可知：，
又因为平面，平面，，所以平面，
根据题意可知：，所以为正三角形，所以，所以，设到平面的距离为，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以，
所以，再如下图所示：
在正三角形中，高，
所以内切圆的半径，且，
取的两个三等分点，连接，所以，
所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，圆的周长为，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为，故选：B.
12．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．2021 B．100 C．81 D．90
【答案】D
【详解】依题意，把数列排列成如下所示的形式：
第1行 1
第2行 1，2，1
第3行 1，2，4，2，1
第4行 1，2，4，8，4，2，1
… …
第行 1，2，4，…，，…，4，2，1
可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，…，第行有项，
前行共有项．设第行的个数的和为，
则．
则前行的和，，
， 所以，．又，
，，
所以的最小值为90．故选：D
二、填空题
13．下列数据的70%分位数为________．
20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.
28　[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：
12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，
因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]
14．已知函数是偶函数，则______．
【答案】－1
【详解】
由为偶函数，则即
即
所以，则，故
故答案为：
15．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________.
【答案】或
【详解】由，得，因为向量和的夹角为150°，且，
所以，得，，
所以或，当时，在上的投影为，
当时，在上的投影为，
综上，在上的投影为或，
故答案为：或
16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．
【答案】
【详解】由题意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因为，解得：，，因为，即，解得：，故
故答案为：
三、解答题
17．已知不等式的解集为.
(1)求的值；(2)解不等式.
【解析】(1)的解集为，和是的两个根，
根据根与系数的关系可知：，. ………………………4分
(2)由（1）可知，即,,
①、当即时，，此时解集为且；
②、当即时，，此时解集为或；
③、当即时，，此时解集为或；、
综上：当时，解集为且；
当时，解集为或；
当时，解集为或； ………………………………10分
18．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
[解]　(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元，
都付2元的概率P1＝×＝，
都付4元的概率P2＝×＝，
都付6元的概率P3＝×＝，
∴所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. …………6分
(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A，B，C，
P(A)＝×＋×＋×＝，
P(B)＝×＋×＝，
P(C)＝×＝，
设两人费用之和大于或等于8的事件为W，则W＝A＋B＋C，∴两人费用之和大于或等于8的概率
P(W)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. ……………12分
19．已知向量，，函数.
(1)求在上的值域；(2)若，且，求的值.
【解析】(1)由题意可得
.
因为，所以，
所以
所以，即在上的值域为. ……6分
(2)因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
故 ……………………12分
20．如图，在四棱锥S ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．
(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；
(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P AC D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为点S在底面ABCD上的射影为O，所以平面ABCD，
因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，
又因为的面积为1，所以，，所以，
因为，点P为SD的中点，所以，同理可得，
因为，AP，平面PAC，所以平面PAC，
又平面SCD，∴平面平面PAC． …………………………6分
(2)存在，连接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
又， 可得两两垂直，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
假设在棱SD上存在点P使二面角的余弦值为，
设，，，所以，，
设平面PAC的一个法向量为，则，
因为，，所以，令，得，，因为平面ACD的一个法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍），
所以存在P点符合题意，点P为棱SD靠近点D的三等分点．……………………12分
21．已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
【解析】(1)解：设正项等比数列的公比为，当时，，即，则有，即，而，解得，又，则，所以，
所以数列，的通项公式分别为：，. ………………5分
(2)
解：由(1)知，，
则，
则，
两式相减得：
于是得，由得：，即，令，，显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.
22．已知点A（，0），点C为圆B：（B为圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线与直线BC交于点G．
(1)设点G的轨迹为曲线T，求曲线T的方程；
(2)若过点P（m，0）（）作圆O：的一条切线l交（1）中的曲线T于M、N两点，求△MNO面积的最大值．
【解析】
(1)依题意有，，
即G点轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为
由题意可知，，则，，
所以曲线T的方程为． ……………………4分
(2)设，，设直线l的方程为，
因为直线l与圆相切，所以，即，
联立直线l与椭圆的方程，整理得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
又点O到直线l的距离为1，
所以
．
当且仅当，即时，取等号，
所以的面积的最大值为1．