(共27张PPT)
1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定
北师版 八年级下册
新知导入
【思考】
（1）线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
（2）什么叫线段的垂直平分线？
新知导入
【做一做】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.
B
B′
E
F
E
F
B
(B′)
折痕EB=EB′ ， FB=FB′
新知讲解
想一想：利用折纸的办法你能得到什么结论？
请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
新知讲解
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA = PB.
证明：∵ MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° .
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
线段垂直平分线的性质定理：
【总结归纳】
文字语言：线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
∵PC垂直平分AB（AC=BC，PC⊥AB）
∴PA=PB.
新知讲解
【做一做】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上,
AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系
C
B
D
A
E
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
新知讲解
你还记得逆命题的定义吗？
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
新知讲解
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.
新知讲解
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
新知讲解
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，
PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
l
O
新知讲解
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
新知讲解
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【总结归纳】
符号语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
（PO是线段AB的垂直平分线）
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
新知讲解
【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他方法证明吗？
合作探究
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴Rt△DBO≌Rt△DCO（HL）. ∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
D
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( )
A．3 cm
B．12 cm
C．9 cm
D．6 cm
D
课堂练习
2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝________°.
24
课堂练习
3.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段
( )的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
B
拓展提高
分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.
故∠B＝70°或20°.
4.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
中考链接
5.【2021·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( )
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
D
中考链接
证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
6.【中考·温州】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
中考链接
解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3.
6.【中考·温州】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F.
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
课堂总结
本节课你学到了什么？
垂直平分线的性质：
在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.
作用：证明线段相等。
垂直平分线的判定：
与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
板书设计
课题：1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定
教师板演区
学生展示区
一、垂直平分线的性质
二、垂直平分线的判定
三、垂直平分线的应用
作业布置
课本 P23 练习题
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北师版八年级下册数学1.3.1线段垂直平分线的性质与判定教学设计
课题 1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.要求学生掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理,能够利用这两个定理解决一些问题.2.能够证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理.3.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.4.通过探索、猜测、证明的过程,进一步提高学生的推理能力.
重点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
难点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问问题。【思考】（1）线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（2）什么叫线段的垂直平分线？垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 【做一做】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′， FB和FB′的关系.折痕EB=EB′ ， FB=FB′ 学生思考回答问题。学生动手操作。 复习已有知识,自然过渡到本课时的教学。通过学生动手操作,不仅锻炼了学生的动手能力,也加深了学生对知识的理解,同时也非常自然地引入课题.
讲授新课 想一想：利用折纸的办法你能得到什么结论？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA = PB.证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° .∵ AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】线段垂直平分线的性质定理：文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵PC垂直平分AB（AC=BC，PC⊥AB）∴PA=PB.【做一做】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上, AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上, ∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.你还记得逆命题的定义吗？在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．你能写出上面这个定理的逆命题吗？运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？ 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.（PO是线段AB的垂直平分线）作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.方法一：证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.方法二：证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD.∴直线AO垂直平分线段BC. 学生思考回答问题，分析证明过程。学生在教师的引导下总结归纳。学生利用所学知识做练习。学生回忆前面学过的关于互逆命题和互逆定理的知识,让学生说出自己整理的互逆命题和互逆定理.学生类比原命题画出图形、写出已知、求证,并证明逆定理,解释几何意义.学生在教师的引导下总结归纳。学生利用所学知识做练习。 学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。通过总结有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明过程,加深学生对逆命题和逆定理定义的理解.通过师生间的互动,锻炼了学生解决问题的能力,规范学生的证明过程,培养学生的逻辑思维能力.巩固课堂学习的新知识，学以致用。
课堂练习 1.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D )A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝____24____°.3.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( B )的垂直平分线上．A．AB B．AC C．BC D．不确定4.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝___70°或20°____.分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.5.【2021·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( D )A．25° B．20° C．30° D．15°6.【中考·温州】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3. 学生做练习，完成后老师引导学生理清证明的思路和方法,并给出完整的证明过程. 通过练习,让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,并且规范证明的书写格式.
课堂小结 本节课你学到了什么？垂直平分线的性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.作用：证明线段相等。垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 学生在教师的引导下总结归纳。 以教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定一、垂直平分线的性质二、垂直平分线的判定三、垂直平分线的应用
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