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北师版八年级下册数学1.2.2直角三角形全等的判定教学设计
课题 1.2.2直角三角形全等的判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.能够证明直角三角形全等的“HL”定理,进一步理解证明的必要性.2.利用“HL”定理解决实际问题.3.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.4.进一步掌握推理证明的方法,提升演绎推理能力和思维能力.
重点 直角三角形全等的判定方法
难点 直角三角形全等的判定的应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 下图是两个三角形花圃，花圃管理员想知道这两个三角形是否全等，但是每个三角形都有一条边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 学生思考回答问题。 通过问题串的形式,既复习了如何判定三角形全等的知识,又自然而然地引入课题.通过复习提问,自然引入直角三角形全等的“斜边、直角边”的判定定理,过渡自然.
讲授新课 【做一做】已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如下图，线段 a，c（a课堂练习 1.如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( D )A．SSS B．ASA C．SSA D．HL2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( B )A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一个锐角和一条直角边对应相等D．斜边和一条直角边对应相等3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( C )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm4.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( C )A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D )①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.7.【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，(1)求证：△ACB≌△BDA；证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形．在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，BC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA.(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝20° 学生根据所学知识做课堂练习。 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂小结 本节课你学到了什么？判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定． 学生在教师的引导下总结归纳。 课堂上以教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：1.2.2 直角三角形全等的判定一、画一画二、“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等
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1.2.2 直角三角形全等的判定
北师版 八年级下册
新知导入
下图是两个三角形花圃，花圃管理员想知道这两个三角形是否全等，但是每个三角形都有一条边被花盆遮住无法测量.
你能帮工作人员想个办法吗？
新知导入
两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
E
F
由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.
新知导入
如果其中一组等边所对的角是直角呢？
两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
E
F
新知讲解
【做一做】
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如下图，线段 a，c（a求作：Rt△ABC，使 ∠C=∠α，BC=a，AB=c.
你能画出这个三角形吗？
新知讲解
（1）作∠MCN=∠α=90 ° .
（2）在射线CM截取CB=a.
B
新知讲解
B
（3） 以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点 A.
（4） 连接AB，得到Rt△ABC.
A
同桌相互比较所画的三角形是否全等？
新知讲解
【思考】你能得到什么结论？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
你能证明这个结论吗？
新知讲解
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，
AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC 中，∵ ∠C= 90 ° ，
∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理， B′C′2= A′B′2- A′C′2.
∵ AB=A′B′，AC=A′C′，
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′ （SSS）.
新知讲解
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
【总结归纳】
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
新知讲解
【例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90 ° ，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）.
∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵ ∠DEF+∠F=90 ° （直角三角形的两锐角互余），
∴ ∠ B + ∠ F = 90 °
课堂练习
1.如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )
A．SSS
B．ASA
C．SSA
D．HL
D
课堂练习
2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
B
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
C
课堂练习
4.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
C
课堂练习
5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )
①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
拓展提高
证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
6.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
拓展提高
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
中考链接
7.【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________.
证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB＝BA，BC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
20°
课堂总结
本节课你学到了什么？
判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
板书设计
课题：1.2.2 直角三角形全等的判定
教师板演区
学生展示区
一、画一画
二、“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等
作业布置
课本 P21 练习题
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