2021-2022学年十校联盟高二（下）开学考数学试卷（Word含答案解析）

2021-2022学年十校联盟高二（下）开学考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
数列，，，，，中，有序实数对是
A. B. C. D.
已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则
A.
B.
C.
D.
直线：，：，若，则
A. B. C. 或 D. 或
已知数列中，，前项和为，且点在直线上，则
A. B. C. D.
曲线在处的切线如图所示，则
A.
B.
C.
D.
人教版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数，，，，，，为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图为该螺旋线在正方形边长为，，，，，的部分，如图建立平面直角坐标系规定小方格的边长为，则接下来的一段圆弧所在圆的方程为
A. B.
C. D.
在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是
若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；
若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆；
若点到直线的距离与到点的距离之和为，则动点的轨迹是椭圆；
若点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线．
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
下列求导正确的有
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有
A. 若是“黄金椭圆”，则
B. 若点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为
C. 若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则
D. 设焦点在轴上的“黄金椭圆”左、右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点异于，，设直线，的斜率分别为，，则
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是
A.
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 到平面的距离为
已知数列满足，，且，则下列结论正确的是
A.
B. 的最小值为
C.
D. 当且仅当时，取最大值
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，则两圆的公切线的条数是______．
已知数列的前项和，则该数列的通项公式 ______ ．
数列满足，，其前项积为，则______．
若函数，则在点处切线的斜率为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
设点是曲线上的任意一点，是该曲线在点处的切线的斜率．
求的取值范围；
求当取最大值时，该曲线在点处的切线方程．
已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
求直线的方程；
若圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
在直线：是抛物线的准线；是椭圆的一个焦点；，对于上的点，的最小值为；
在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．
已知抛物线：的焦点为，满足______．
求抛物线的标准方程；
是抛物线上在第一象限内的一点，直线：与交于，两点，若的面积为，求的值．
已知数列的前项和为，且满足．
证明：数列是等比数列；
若数列满足，证明：数列的前项和．
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
判断与题中圆的半径的大小关系，并写出点的轨迹方程；
过点作斜率为，的两条直线，分别交点的轨迹于，两点，且，证明：直线必过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解得，，
故有序实数对是，
故选：．
结合条件中数列的规律可得，，求解即可得到答案．
本题考查了等差数列、等比数列的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦点的位置，属于基础题．
由双曲线的离心率为，分析可得，计算可得的值，结合焦点在轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．
【解答】
解：双曲线：的离心率为，
则有，
即，即有，
又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为：；
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
又，，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
由，解得，经过验证，即可得出．
【解答】
解：由，解得或，
经过验证：时，两条直线重合，舍去．
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的通项及前项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累．
通过将点代入直线，进而可知数列是首项、公差均为的等差数列，从而裂项可知，进而并项相加即得结论．
【解答】
解：因为点在直线上，
所以，
又因为，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以，
，
所以
．
故选A．

6.【答案】
【解析】解：由切线经过点和，
可得切线的斜率为，
切线的方程为，
可得，，
则．
故选：．
由切线经过两点和，可得切线的方程，进而得到切点和切线的斜率，可得所求值．
本题考查切线的斜率和切点的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
根据题意，分析要求圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径，
其圆心为，
则其标准方程为：，
故选：．

8.【答案】
【解析】解：对于：因为面，面，可得，
因为，，所以面，
因为点总满足，
所以面，
点面，
因为面，
所以点在面与面的交线上，
所以动点的轨迹是一条直线，故选项正确；
对于：点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，
即点的轨迹是小圆，设小圆的半径为，
因为球心到平面的距离为，
所以，交线即以为圆心，为半径的小圆在平面内，
所以小圆的周长为，故选项正确；
对于：点到直线的距离即是点到点的距离，
即平面内点满足，
所以满足条件的点的轨迹是线段，而不是椭圆，故选项不正确；
对于：点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹是以线段的中点为顶点，直线为对称轴的抛物线，在平面内，故选项正确；
所以说法正确的有：，
故选：．
根据线面垂直的判定定理可得面，可得面，进而可得在面与面的交线上可判断；
由已知可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的小圆在平面内可判断；
由，可判断；
根据点到平面的距离以及点到直线的距离结合抛物线的定义可判断；进而可得正确选项．
本题考查了线面关系及动点有轨迹，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，对；
若，则，错；
若，则，对；
若，则，错．
故选：．
根据导数运算性质可解决此题．
本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：中没有指明焦点在轴还是轴，应该有两个值，所以不正确；
中，由题意，则，所以，则的周长为，所以B正确；
中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，
所以，所以，
所以，
，
因为，，
所以，所以，所以C正确；
中，由题意可得，，设，
则为，
因为在椭圆上，所以，
所以，
因为黄金椭圆”上动点，所以，所以，而，
所以，即，
所以，可得D正确．
故选：．
由于没有指明焦点在，轴上，所以答案不止一个，所以不正确；
中由，再由黄金椭圆的性质可得的值，由椭圆的定义求出的周长，可得 B正确；
求出，，的值，求出，可得C正确；
设的坐标，由于在椭圆上，可得的横纵坐标的关系，进而求出为的值，可得D正确．
本题考查黄金椭圆的性质及椭圆的性质，命题真假的判断方法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了利用直线的方向向量判断两条直线位置关系、异面直线所成角的求解、点到面距离公式的应用，属于中档题．
建立合适空间直角坐标系，求出所需的向量，利用直线的方向向量是否平行判断选项A，利用直线的方向向量是否垂直判断选项B，利用异面直线所成角的计算公式判断选项C，利用点到面的距离公式判断选项D．
【解答】
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
对于选项A，，
则有，
所以，故AD，
所以选项A正确；
对于选项B，，
因为，
所以，
故A，
所以选项B正确；
对于选项C，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选项C错误；
对于选项D，因为，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，
所以，
故到平面的距离为
，
故选项D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以数列是等差数列，
因为，，所以，
所以，故A正确；
，当时，取得最小值为，故B正确；
当时，，所以当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
所以，故C错误；
当或时，取最大值，故D错误．
故选：．
由递推式可知数列是等差数列，由，，可求得公差，从而可得数列的通项公式，即可判断选项A；当时，取得最小值为，即可判断选项B；当时，，当时，，当时，，从而可求得，即可判断选项BC由，可知当或时，取最大值，从而判断选项D．
本题主要考查数列递推式，等差数列的通项公式及前项和公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为，
圆：的圆心坐标为，半径为，
则圆心距为：，
故两圆相交，
故两圆的公切线的条数是条，
故答案为：．
根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案．
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，是中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数列前项和与数列通项的关系，注意要分类讨论，本题难度不大，属于基础题．
当时，当时，，验证是否满足即可．
【解答】
解：数列的前项和，
当时，
，
当，时，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：，，
，且，
因为，
所以．
故答案为：．
根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值．
本题考查了数列的递推式以及周期性，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
所以，解得，，
故，故．
故答案为：．
先求出函数的导数，然后将，和代入求出，，最后将代入求解．
本题考查导数的运算与几何意义，属于基础题．
17.【答案】解：设，
因为，
所以的取值范围为．
由知，此时，即，
所以此时曲线在点处的切线方程为．
【解析】求出导数，该导数为关于的二次函数，然后利用二次函数的性质求出最值即可；
结合易知，当时导数取得最大值，切点为，利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于基础题．
18.【答案】解：由已知得：，解得
即两直线交点为，
与垂直，直线的斜率．
过点，的方程即．
设圆的标准方程为，，，
则，解得，．
圆的标准方程为．
【解析】本题考查直线与圆的方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
求出两直线交点，直线的斜率，即可求直线的方程；
利用待定系数法求圆的标准方程．
19.【答案】证明：因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，，所以，，又，平面，平面，平面；分利用几何法亦可
解：由可知平面，可作为平面的法向量，设平面的法向量，因为，．
所以，即，不妨设，得．，
又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为．
【解析】以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，证明，，得到，，即可证明平面．
求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：选条件：由准线方程为知，所以抛物线的方程为．
选条件：因为抛物线的焦点坐标为，
所以由已知得椭圆的一个焦点为．
所以，又，所以，所以抛物线的方程为．
选条件：由题意可知得，当，，三点共线时，，
由两点间距离公式，解得，所以抛物线的方程为分
把代入方程，可得，设，，
直线：与交于，两点，
联立，消去可得，由，解得，
又知，，
所以，分
由到直线的距离为，所以，分
即，解得或
经检验均满足，所以的值为或分
【解析】选条件：求解，得到抛物线的方程．选条件：求出抛物线的焦点坐标，椭圆的一个焦点为求出，得到抛物线方程．选条件：当，，三点共线时，结合由两点间距离公式，解得，得到抛物线的方程．
把代入方程，求出，设，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式，点到直线的距离，求解三角形的面积，即可得到结果．
本题考查抛物线的简单性质，椭圆的简单性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
21.【答案】证明：由题意得，当时，，
，
当时，，
，从而，于是有，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
由可知，
，
，，
，
得：，
，
，故，
．
【解析】直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义的应用求出数列为等比数列；
利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和，最后利用放缩法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：圆即为，
可得圆心，半径，由，
可得，由，可得，
即为，即有，
则，所以其与半径相等．
因为，故E的轨迹为以，为焦点的椭圆不包括左右顶点，
且有，，即，，，则点的轨迹方程为；
证明：当直线斜率不存在时，设直线方程为，
则，，，，则，，
此时直线的方程为，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
与椭圆方程联立：，得，
设，，有，，
则，
将式代入化简可得：，即，，
此时直线：，恒过定点．
又直线斜率不存在时，直线：也过，故直线过定点．
【解析】根据三角形相似得到，得到，故EA，可得与圆的半径的大小关系，因为，故E的轨迹为以，为焦点的椭圆不包括左右顶点，可求椭圆方程；
当直线斜率不存在时，设直线方程为，，可求的值，当直线斜率存在时，设直线方程为：，
与椭圆联立方程可得，由，可得，可得，可求定点坐标．
本题考查了直线方程、椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系，属于中档题．
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