2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.4（2）组合的综合应用教案

6.2.4（2） 组合的综合应用
一：学习任务：1.使学生学会运用组合解决简单的实际问题
2.让学生掌握解决组合问题的常见方法
二：教学重难点：1.重点：常见的组合问题的解题策略
2.难点：实际问题的转化
3.易混点：平均分组问题易漏掉除以n！
三：教学过程：
知识回顾：
1：组合的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组。
2：组合数公式：
3：组合数性质： ;
（二）典型例题讲解：
类型一 简单的组合问题
例1、从4名男生，3名女生中选出3名代表．
①不同的选法共有多少种？
②至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
③代表中男、女都要有的不同的选法共有多少种？
小结1：解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．
(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
变式1、现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
类型二 有限制条件的组合问题
例2、　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
小结2：有限制条件的组合问题主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
变式2、现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？
(1)选出男、女教师各2名去参加会议；
(2)选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师；
(3)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师；
(4)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师．
类型三 几何中的组合问题
例3、四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有(　　)
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种
小结3：解答几何组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
变式3．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
类型四 分组(分配)问题
例4、 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
小结4：分组与分配问题小结
(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题，若有分配对象则为分配问题，若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题．
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
变式4、8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)
(1)平均分成四份；(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；
(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；
(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张； (7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；
(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．
四：当堂达标
1、某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．
A．120 B．72 C．60 D．30
2、某城市的汽车牌照号码由 2个英文字母后接 4个数字组成，其中 4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
3书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
五：课堂总结：
内容方面 ：掌握四类组合问题：1.简单的组合问题 2.有限制条件的组合问题
3.几何中的组合问题 4.分组（分配）问题
方法层面 ：直接法、间接法、先特殊后一般，先选后排，先分类后分布
素养层面：提升逻辑推理和数学运算的素养
六：教师复备
例1[解]　①即从7名学生中选出三名代表，共有选法C＝35种．
②至少有一名女生的不同选法共有CC＋CC＋C＝31种(或C－C＝31种).
③男、女生都要有的不同的选法共有C－C－C＝30种(或CC＋CC＝30种)
变式1[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种).
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即C＋C＝21(种).
例2[解]　(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种(或采用排除法有C－C＝825种).
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，则男队长当选，
有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．
变式2[解]　(1)可把问题分两步：
第一步，从6名男教师中选2名有C种选法；
第二步，从4名女教师中选2名有C种选法．
根据分步乘法计数原理，共有CC＝15×6＝90(种)不同选法．
(2)2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有CC＝6×4＝24(种)不同选法．
(3)(直接法)至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种选法，2男0女有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝39(种)不同选法．
(间接法)选出2名教师参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C－C＝39(种).
(4)(直接法)至多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种选法，0男2女有C种选法．由分类加法计数原理，有CC＋C＝30(种)选法．
(间接法)选出2名教师参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C－C＝30(种).
例3[解]如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时共有3种取法．
故与顶点A共面的3个点的取法共有3C＋3＝33(种).
变式3[解]　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216个．
法二：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为C－C＝216个．
例4[解]　(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种分法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种分法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种分法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种分法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种分法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情况，有CCC＝90种分法；②“1、2、3型”，即(4)中的分配情况，有CCCA＝360种分法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种分法．
变式4[解]　(1)本题属平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有种不同分法．
(2)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组，与顺序无关，有种分法，再分配给四个人，与顺序有关，有A种排列方法，共有A种不同的分配方法，所以有CCCC种分法．
法二：①甲从8张邮票中取2张有C种取法；②乙从余下的6张中取2张有C种取法；③丙从余下的4张中取2张有C种取法；④丁从余下的2张中取2张有C种取法．所以根据分步乘法计数原理知不同分法数为CCCC.
(3)属部分平均分组问题，与顺序无关，有C种不同分法．
(4)属部分平均定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有CA＝CCC(种)不同分法．
(5)属部分平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，有(C)A种不同分法．
(6)属非平均分组问题，仅仅分组，与顺序无关，是组合问题，共有CCC种不同的分法．
(7)属非平均定向分配问题，先分组，再分配，但是定向分配不涉及排序，所以共有CCC种不同的分法．
(8)属非平均不定向分配问题，先分组，再分配，与顺序有关，需排列，共有CCCA种不同的分法．
当堂达标
1 【答案】C
【详解】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.
2 【答案】D
【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个.故选：D．
3 【详解】
（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；
（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：
第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.
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