(共28张PPT)
1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
北师版 八年级下册
新知导入
线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
新知导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
·
·
·
A
B
C
猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
新知讲解
求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图 ，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点 P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，
且PA=PB=PC.
新知讲解
证明：
∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
新知讲解
∴ 点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.
求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
新知讲解
三角形三边的垂直平分线的性质
【总结归纳】
文字语言：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：
∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴PA =PB=PC．
新知讲解
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
能作出无数个
所画出的三角形不全等
新知讲解
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
议一议
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
新知讲解
【例3】已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
新知讲解
作法：
（1）作线段 BC=a.
（2）作线段BC的垂直平分线 l，交BC于点 D.
（3）在 l 上作线段DA，使DA=h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC 为所求的等腰三角形.
B
C
l
D
A
新知讲解
【做一做】已知直线l和l上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
小明的作法如图所示.
你能说说小明是怎样作的吗？
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
新知讲解
议一议
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过
点 P 呢？
l
· P
新知讲解
作法：
（1）任取一点K，使K和P在l的两旁.
（2）以P为圆心，PK的长为半径作弧，交l于点D和E.
（3）分别以D和E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F.
（4）作直线PF.
直线PF就是所求的垂线.
·
K
l
· P
D
E
F
课堂练习
B
1．三角形三边的垂直平分线的交点( )
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离都相等
D．不能确定
课堂练习
2．如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
A
课堂练习
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
D
课堂练习
4．如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线的交点E恰好在AB边上，且AB＝12 cm，则点E到点C的距离为________cm.
6
课堂练习
5.等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P在( )
A．三角形底边上
B．三角形内
C．三角形外
D．无法确定
C
拓展提高
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.
(1)求∠ADE的度数(直接写出结果)；
解：∠ADE＝90°.
拓展提高
(2)当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．
解：由题意知MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC.
∴AB＋BE＋AE
＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝7，
即△ABE的周长为7.
中考链接
7.【中考·河北】如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤用尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD
A
中考链接
8.【中考·安顺】 已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.三角形三边的垂直平分线的性质
文字语言：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.尺规作图
板书设计
课题：1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
教师板演区
学生展示区
一、三角形三边的垂直平分线的性质
二、画已知线段的高
作业布置
课本 P26 练习题
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北师版八年级下册数学1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图教学设计
课题 1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.2.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.3.通过探索、猜测、证明的过程,进一步提升学生的推理能力.
重点 作已知线段的垂直平分线
难点 理解三线共点的证明方法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：1.线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.线段的垂直平分线的判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3.某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 教师提问问题，学生思考，相互交流。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。让学生自己猜想、体会三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性,体验学习探索过程中的乐趣.
讲授新课 求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图 ，在△ABC 中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点 P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.证明：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC.∴ 点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.【总结归纳】三角形三边的垂直平分线的性质文字语言：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.几何语言：∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴PA =PB=PC．议一议（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．【例3】已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.已知：如图，线段 a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段 BC=a.（2）作线段BC的垂直平分线 l，交BC于点 D.（3）在 l 上作线段DA，使DA=h.（4）连接 AB，AC.△ABC 为所求的等腰三角形.【做一做】已知直线l和l上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.小明的作法如图所示.你能说说小明是怎样作的吗？作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．2．作线段AB的垂直平分线PC．直线PC就是所求 l 的垂线．议一议如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？作法：（1）任取一点K，使K和P在l的两旁.（2）以P为圆心，PK的长为半径作弧，交l于点D和E.（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F.（4）作直线PF.直线PF就是所求的垂线. 学生在教师的引导下证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.学生在教师的引导下总结归纳。学生通过小组讨论,并尝试作出草图,验证自己的结论.学生在教师的引导下画图，小组之间讨论。 通过先查看学生书写的证明过程,教师再点评,提高学生用几何符号语言表述问题的能力.总结归纳有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。通过这几个作图问题的讲解,让学生理解并掌握尺规作图的知识.
课堂练习 1．三角形三边的垂直平分线的交点( B )A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离都相等D．不能确定2．如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( A )A．10° B．20° C．30° D．40°3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( D )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线的交点E恰好在AB边上，且AB＝12 cm，则点E到点C的距离为____6____cm.5.等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P在( C )A．三角形底边上 B．三角形内C．三角形外 D．无法确定6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.(1)求∠ADE的度数(直接写出结果)；解：∠ADE＝90°.(2)当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．解：由题意知MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC.∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝7，即△ABE的周长为7.7.【中考·河北】如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤用尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是( A )BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD8.【中考·安顺】 已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( D ) 学生做练习，完成后老师引导学生理清证明的思路和方法,并给出完整的证明过程. 通过练习,让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,并且规范证明的书写格式.
课堂小结 本节课你学到了什么？1.三角形三边的垂直平分线的性质文字语言：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2.尺规作图 学生在教师的引导下总结归纳。 以教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图一、三角形三边的垂直平分线的性质二、画已知线段的高
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