合肥市重点校2021-2022学年高二下学期开学考
数学（理）试题
（满分：100分 时长：70分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。前8小题为单项选择；后2小题为多选题，少选得2分，多选得0分。
1．过圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,若,则（ ）
A．1 B． C． D．
2.已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
3．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4.已知平行于x轴的一条直线与椭圆相交于P，Q两点，（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．数列{}中，，前和为，则为 （ ）
A． B． C． D．
6．在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x＋y＋z．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．直线：与圆：相交于，两点，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．在中，一椭圆与一双曲线都以为焦点，且都过它们的 离心率分别为则的值为( )
A． B． C． D．
9．（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是的中点，则
C．若在平面上的投影向量为，则
D．当时，线段的长为
10．（多选题）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共50分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11．数列中，，且，则数列的通项___________.
12．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），
13．已知P是棱长为1的正方体ABCD--内含正方体表面任意一点，则的最大值为______.
14．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.
三、解答题：本题共3小题，每小题10分，共30分
15.【2020年全国1卷理科17】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
16．如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面⊥平面，，．
（1）求证：⊥平面
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段存在点，使得，并求的值．
17.己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.合肥市重点校2021-2022学年高二下学期开学考
数学（理）试题
（满分：100分 时长：70分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。前8小题为单项选择；后2小题为多选题，少选得2分，多选得0分。
1．过圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,若,则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：0故选C.
2.已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
【答案】B
【分析】
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.
又因为，
所以n＝14.
故选：B
3．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，所以，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又因为，，，所以.
故选：B.
4.已知平行于x轴的一条直线与椭圆相交于P，Q两点，（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出Q的坐标，代入椭圆方程得到a2＝5b2，根据a，b，c的关系得到，求出椭圆的离心率即可．
【解答过程】解：根据椭圆的对称性得点P，Q关于y轴对称，
而，
∴PO＝QO，∴POQ是等边三角形，
∴Q（a，a），将Q的坐标代入，
解得：a2＝5b2，又a2＝c2+b2，∴，
离心率e，
故选：D．
5．数列{}中，，前和为，则为 （ ）
A． B． C． D．
6．在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x＋y＋z．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
7．直线：与圆：相交于，两点，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】
∵直线：的方程可化为，
由可得，
∴ 直线过定点，
圆：的圆心为，半径，设点到直线的距离为，
则，又，
∴ ，当且仅当时取等号，
∵ ，
∴ ，即的最小值是，
故选：C.
8．在中，一椭圆与一双曲线都以为焦点，且都过它们的 离心率分别为则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
9．（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是的中点，则
C．若在平面上的投影向量为，则
D．当时，线段的长为
【答案】ACD
解：对于A，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得，，，，，，，，
则，，，所以，
又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是的中点，则，，所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，取的中点，连接，，则，因为平面，所以平面，
此时即为在平面上的投影向量，则，，，，故C正确；
对于D，设，，则，
所以，所以，解得，此时，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】
推导出，可判断AB选项的正误；利用等比数列的通项公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.
【详解】
因为，所以，，
，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，
故数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，，
，
所以，.
所以，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
第Ⅱ卷 （非选择题 共50分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11．数列中，，且，则数列的通项___________.
【答案】
【分析】
变换得到，是首项为1，公差为1的等差数列，计算得到答案.
【详解】
，则，，
故是首项为1，公差为1的等差数列，，故.
故答案为：.
12．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），
【答案】3
13．已知P是棱长为1的正方体ABCD--内含正方体表面任意一点，则的最大值为______.
【答案】2
【解答】
解：由题意画出图形如图，
因为，
是向量在上的投影，
所以当P在线段上时，投影最大，
的最大值为：
故答案为：
14．已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
由，解得或.
不妨令，，
则弦的垂直平分线的方程为.
由，解得，
∴，半径，
故圆的标准方程为.
故答案为：.
三、解答题：本题共3小题，每小题10分，共30分
15.【2020年全国1卷理科17】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
16．如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面⊥平面，，．
（1）求证：⊥平面
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段存在点，使得，并求的值．
（1）因为为正方形，所以．
因为平面⊥平面，且垂直于这两个平面的交线，
所以⊥平面．
（2）由（1）知， ⊥．由题知，，，
所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系-，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
同理可得，平面BB1C1的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为。
（3）设是直线上一点,且. 所以.
解得，，.
所以.
由,即.解得.
因为,所以在线段上存在点，
使得. 此时，.
17.己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.
【解析】（1）由可化为，则.
当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，
∴，即，
∴抛物线C的标准方程为.
（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，
由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，
由，联立消去y并整理得，，
设，，则，，
∴，又M为AB中点，则，
∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，
∴，，则
∴，
∴直线MN为，整理得，
∴直线MN恒过定点(0,4)
