合肥市重点校2021-2022学年高二下学期开学考
数学（文）试题
（满分：100分 时长：70分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。前8小题为单项选择；后2小题为多选题，少选得2分，多选得0分。
1．若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
4．，若是的等差中项，正数是的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B．16 C．64 D．或32
6．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
7．已知双曲线的焦点在轴上，一条渐近线方程是，其中数列是以4为首项的正项数列，则数列通项公式是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中的最小项为第六项
10．（多选题）下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为150°
C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
第Ⅱ卷 （非选择题 共50分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11．记等比数列的前项和为，若，，则
12．与圆外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为__________．
13．经过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的方程________.
14．已知圆柱底面直径为2R，一个与底面成角的平面截这个圆柱，截面边界为椭圆，则此椭圆离心率为
三、解答题：本题共3小题，每小题10分，共30分
15．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值及此时的值.
16．已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线交于，两点，且的面积为，求的方程.
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，面面，面面，是上一点，且.
（1）证明：面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
第6页，共7页
第5页，共7页合肥市重点校2021-2022学年高二下学期开学考
数学（文）试题
（满分：100分 时长：70分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。前8小题为单项选择；后2小题为多选题，少选得2分，多选得0分。
1．若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为点在圆：的外部，
所以，
解得，
又方程表示圆，
所以，
解得，
故实数a的取值范围为．
故选：C
2．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；
【详解】
解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，
故选：C
3．已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题设可得如下示意图，
∴，又为端点的三条棱长均为1，且彼此的夹角都是，
∴，即.
故选：B.
4．，若是的等差中项，正数是的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B．16 C．64 D．或32
【答案】D
【详解】
设等比数列的公比为，
∵，∴，
∴，得，即
解得或，
时，；
时，.
故选：D.
6．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1
①.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，所以|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，即a＝2c ②，由①②及c2＝a2－b2，得a2＝8，b2＝6.故选A.
答案：A
7．已知双曲线的焦点在轴上，一条渐近线方程是，其中数列是以4为首项的正项数列，则数列通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.
【详解】
设点，其中，，则，可得，则，
所以点，故，因此，直线的倾斜角为.
故选：C.
9．（多选题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A．a6＞0 B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中的最小项为第六项
【答案】ABC
【分析】
根据，即可得到，从而判断选项A；
根据，，a3＝12，，列出和的方程组，从而判断选项B；
根据，判断出，再结合，从而判断选项C；
根据题意得到当时，；当时，；当时，，从而可判断选项D.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，故选项A正确；
因为，，a3＝12，，
所以，解得，故选项B正确；
因为，，所以Sn＜0时，n的最小值为13，选项C正确；
根据题意知：当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
所以数列中的最小项为第六项显然错误.
故选：ABC.
10．（多选题）下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为150°
C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
【答案】ABD
【详解】
A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；
C. 圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；
D.因为圆的圆心为，半径为，
当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；
故选：ABD.
第Ⅱ卷 （非选择题 共50分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
11．记等比数列的前项和为，若，，则
【详解】
因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
12．与圆外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为__________．
【答案】；
【详解】
设所求圆的圆心为，
因为圆的圆心为，与原点连线的斜率为，
又所求圆与已知圆外切于原点，
，①
所以所求圆的半径满足，
又被y轴截得的弦长为8，
②
由①②解得
，
所以圆的方程为.
故答案为：
13．经过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的方程________.
【答案】或
【解答】
解：当截距为零时，直线方程为：，即；
当截距不为零时，设直线方程为：，
又直线过点，，解得：，
直线方程为，即；
综上所述：所求直线的方程为或
故答案为：或
14．已知圆柱底面直径为2R，一个与底面成角的平面截这个圆柱，截面边界为椭圆，则此椭圆离心率为
【答案】
三、解答题：本题共3小题，每小题10分，共30分
15．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值及此时的值.
解：（1）由数列为等差数列，故，，
解得，，所以；
（2）由（1）得，，所以当或时，取最小值，最小值为.
16．已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线交于，两点，且的面积为，求的方程.
【答案】(1) (2)
【详解】
分析：⑴由题意可知其轨迹为抛物线
⑵设直线方程，联立抛物线方程求出两根之和与两根之积，按要求表示出面积求出直线斜率
详解：（1）由抛物线定义可知，的轨迹方程是：.
（2）直线的斜率显然存在，设直线：，，，
由得：，
，，
由，∴，
∴直线方程为：，所以直线恒过定点，
∴，∴，
即，∴，
，，
所以直线方程为：.
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，面面，面面，是上一点，且.
（1）证明：面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
解析：（1）面面，且面面，，
面，又面，
，同理由面面可得，
又，面；
（2）因为两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，又，
则，
解得，即，
，设面的法向量为，
则，取，得
又面的一个法向量为
，
又二面角为钝角，
二面角的余弦值为.
（3）
,
则点到平面的距离为
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