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第一讲 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
3．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12
两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
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A．36° B．54° C．18° D．64°
6．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
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A．35° B．40° C．45° D．50°
8．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ).
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A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
9．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
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A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是21世纪教育网版权所有
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A．2 B．3 C．4 D．5
12．12．如图，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒21教育网
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A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
13．等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
14．已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．90° D．不能确定
15．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（ ）
A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm
二、填空题
16．一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为______．
17．等腰三角形的对称轴是______．
18．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．
19．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.
20．中，若，，，则的长为______.
21．如图，在△ABC中，∠B与∠C ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______.21cnjy.com
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三、解答题
22．在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，连接AF．求证：AF平分∠BAC．21·cn·jy·com
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24．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：www.21-cn-jy.com
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD．
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25．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
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第一讲 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【答案】B
【解析】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
【答案】D
【详解】
解：分两种情况：①当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；
②当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13．
故选：D．
3．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12
两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
【答案】B
【分析】
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案.21教育网
【详解】
解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b.
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝AC＝a.
根据题意得或
解得或
又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
∴这个等腰三角形的底边长为7或11.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算.学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15,12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况.注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理.2·1·c·n·j·y
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为
【详解】
解：如图1，
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∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠A=90°-∠ABD=30°；
如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠BAD=90°-∠ABD=30°，
∴∠BAC=180°-∠BAD=150°；
∴顶角的度数为30°或150°．
故选：B．2-1-c-n-j-y
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．【版权所有：21教育】
5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
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A．36° B．54° C．18° D．64°
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-36°=54°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
6．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
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A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
∴35°.
故选A.
7．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
略
【详解】
∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5．
故选D．
【点睛】
略
8．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ).
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A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】
本题需先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD，
∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．
故选B．
9．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
【答案】B
【解析】
试题分析：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB="AC=x" cm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选B．www.21-cn-jy.com
考点：1．等腰三角形的性质；2．解一元一次不等式组；3．三角形三边关系．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
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A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm
【答案】C
【解析】
∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm.
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm.
故选C.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A ( http: / / www.21cnjy.com )（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
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∵A（0，3），B（0，6），
∴AB=6-3=3，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×，
∵＞3，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
AB的垂直平分线与直线的交点有一个
所以，点C的个数是1+2=3．
故选B．
考点：1．等腰三角形的判定；2．一次函数图象上点的坐标特征．
12．12．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒21世纪教育网版权所有
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A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【解析】解：设运动的时间为x ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．21*cnjy*com
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
13．等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】
如图， 由题，底边的高，角平分线，中线三线合一，加上腰上的高，角平分线，中线共7条.
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试题分析：等腰三角形中，底边的高，角平分线，中线三线合一，由题，底边的高，角平分线，中线三线合一，加上腰上的高，角平分线，中线共7条.
考点：等腰三角形的性质.
14．已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．90° D．不能确定
【答案】A
【详解】
△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0
∴b-c=0，a-b=0，
∴b=c，a=b，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形，
∴∠A=60°.
故选A.
15．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（ ）
A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm
【答案】B
【解析】因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；
(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；
(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；
∵6+6＜24，∴该假设不成立．
所以等腰三角形的底边为4cm．
故选B.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边关系，题目中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.
二、填空题
16．一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为______．
【答案】70°或55°
【分析】
根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是110°，从而求出答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°-110°=70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°-110°=70°，
则底角为：（180°-70°）× =55°，
∴底角为70°或55°．
故答案为：70°或55°．21教育名师原创作品
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．
17．等腰三角形的对称轴是______．
【答案】顶角平分线所在直线
【解析】
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完 ( http: / / www.21cnjy.com )全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴,如图所示：等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线.
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故答案是：顶角平分线所在直线.
18．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．
【答案】72° 3
【解析】
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180° 36°）=72°.
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，
∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.
图中共有3个等腰三角形．
19．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.
【答案】80°或50°或20°
【解析】
∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．
分两种情况：
（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；
（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C= (180° 80°) =50°
（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．
综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.
点睛：本题考查了等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．21·cn·jy·com
20．中，若，，，则的长为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可．
【详解】
如图，
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∵∠A=80°，∠B=50°，
∴∠C=180°-80°-50°=50°，
∴AB=AC=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；求出∠C的度数是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______.
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【答案】9
【详解】
∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC．
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD．∴∠DBO=∠BOD．∴DO=DB．
同理，EO=EC．
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9
故答案为：9
三、解答题
22．在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
【答案】27° 2
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.
试题解析：
∵AB=AC，∠C=63°，
∴∠B=∠C=63°，
∴∠BAC=180°-63°-63°=54°.
又∵AD是BC边上的高，
∴AD是∠BAC的平分线，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，连接AF．求证：AF平分∠BAC．【出处：21教育名师】
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【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：先根据AB=AC，可得∠ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．21*cnjy*com
试题解析：证明：∵AB=AC(已知)，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义).
∴∠CEB=∠BDC=90°.
∴∠ECB=90° ∠ABC,∠DBC=90° ∠ACB.
∴∠ECB=∠DBC(等量代换).
∴FB=FC(等角对等边)，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF(SSS)，
∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等)，
∴AF平分∠BAC.
24．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：21cnjy.com
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
（4）FH∥BD．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；（2）由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；（3）两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；（4）根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD.
试题解析：
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
在△BCF和△ACH中，
∴∠ACH=60°，
∴∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
（4）∵△CHF为等边三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD
点睛：本题考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．21·世纪*教育网
25．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
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【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：首先根据AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
试题解析：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
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